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浙江省创新教育初中协作体2024-2025学年八年级下学期创新素养学科基础能力与创新思维水平考察数学试题
1．（2025八下·浙江月考）从四个数，，，中任取两个不同的数相乘，则乘积等于的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
共有种可能得结果，任取两个不同的数相乘，乘积为的有6种，
乘积为的概率是．
故答案为：D．
【分析】用列表法或画树状图列出所有情况，即可求出符合条件的概率.
2．（2025八下·浙江月考）在下列五类四边形中，有外接圆的有（　　）类
①正方形，②非正方形的矩形，③非正方形的菱形，④非矩形或非菱形的平行四边形，⑥等腰梯形
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；四边形的综合
【解析】【解答】解：①正方形的对角线交点为圆心、对角线为半径画圆，可以画出该正方形的外接圆；
②非正方形的矩形，可以以对角线交点为圆心、对角线为半径画圆，可以画出该矩形的外接圆；
③非正方形的菱形，因为对角线不相等，因此不可以画出外接圆；
④非矩形或非菱形的平行四边形，不可以画出外接圆；
⑤等腰梯形，可以以每条边的垂直平分线的交点为圆心、该圆点到梯形的任意内角为半径画圆，可以画出该等腰梯形的外接圆。
因此有外接圆的是①②⑤。
故答案为：B.
【分析】与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。本题分别画出各图形的每条边的垂直平分线，如果交于一点，则可以画出该图形的外接圆。
3．（2025八下·浙江月考）已知方程 有两个实数根，且这两根之比为 ，则 的值为（　　）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意，得，
设两个根是，
则，
解得，
∴这两个根是，
∴，
解得．
故答案为：C．
【分析】先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，由题意设两个根是，再根据根与系数的关系列出关于a的方程求出a，然后根据两根之积求出答案．
4．（2025八下·浙江月考）如图，与水平面相切于点，过点作的内接矩形，已知的半径为，且，在保证不滑动的情况下，使在水平面上沿直线向右滚动，当滚动的路程为时，与地面相切的切点所在的弧为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；弧长的计算；圆的周长
【解析】【解答】解：四边形是的内接矩形，
，，
所对的弧是半圆，
圆的周长为，
，
滚动圈回到点后又滚动了的路程，
，，，
则，
，
与地面相切的切点所在的弧为在上，
故答案为：A
【分析】根据圆滚动的路程求出圆转动的周数，再结合每段的弧长进行判断即可解答.
5．（2025八下·浙江月考）如图，将矩形纸片折起一个角，使得点落在边上的点处，若，则可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵矩形纸片，
∴，，
∴，
由对折可得：，，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质，利用三角函数的定义解直角三角形求出，，即可解答.
6．（2025八下·浙江月考）在中，，点P在边上，，，（　　）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
如图1，若，则是的平分线，
∵，
∴，故A选项错误；
如图2，若时，
∵，
∴，
∴，
∴，此时，故选项B，C错误，选项D正确，
故答案为：D．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，若，则是的平分线，若时，证明，分别由直角三角形斜边上的中线、高线，及角平分线的性质计算验证四个选项即可.
7．（2025八下·浙江月考）已知数列 满足 ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，记 为数列 的前 项和，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
，
，
，
相加，得，
∴．
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据题意可知，依次写出，，再通过累加可得，然后代入数值即可得出解．
8．（2025八下·浙江月考）在28+1与218+1之间有（　　）个立方数
A．9 B．10 C．57 D．58
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵ =257，=262145，
而63=216，73=343，643=262144，653=274625，
且＞63，＜＞653，
因此有64-7+1=58个立方数，
故答案为：D.
【分析】本题首先计算出两个数的具体值，然后找到最接近并且略小于的立方数是63，再找出略大于的立方数653，最后即可计算出之间的立方数的个数。
9．（2025八下·浙江月考）已知一条弧长为，这条弧所在圆的半径为36，则弧所对的圆心角为　 　.
【答案】150°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设弧所对的圆心角为n。则
，解得n=150°
因此弧所对的圆心角为150°。
故答案为：150°.
【分析】本题根据弧长公式，其中n是圆心角，r为弧所在圆的半径。根据题中条件列式计算即可。
10．（2025八下·浙江月考）如图，等边 的三个顶点分别在等边 的三条边上， ，若 与 的面积分别为 和 ，则 的值为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴.
∵，
即，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴．
过点F作，交于点G，
在中，，
∴，
根据勾股定理，得．
∴，
即，
解得．
故答案为：8．
【分析】由题意，先根据等边三角形的性质证明出，再根据全等三角形的性质及三角形面积公式求出并作FG⊥AC于G，表示出面积即可解答.
11．（2025八下·浙江月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过　 　时间，小李和小张首次处于同一段步道上．
【答案】分钟
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米，
设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，
根据题意得：，
解得：，
从出发开始计时，经过分钟，小李行进，
小张行进，
，
，
如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处，
此时，点、分别是边、的中点，
小李从到用时 ，
小张从N到E用时，
，
小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上，
小李和小张首次处于同一段步道上，用时，
故答案为：分钟．
【分析】根据问题情境，先求出正五边形 的主题公园步道的边长米，求出小李比小张多走米的时间，判断出此时两人的位置，从而进一步推出两人首次处于同一段步道的时间.
12．（2025八下·浙江月考）如图，在中，是直径，是切线，点C、O的连线交于点的延长线交于点的延长线交于点F，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是直径，是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
，
解得（舍）或，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：.
【分析】连接，根据切线的性质，先证明出，得到相似三角形对应边成比例，根据 ，整理代入到比例式中，求出，再根据角关系得到，即可解答.
13．（2025八下·浙江月考）已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
当时，，
∵，
∴；
当时，，
∴．
综上所述，m的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”确定x的范围，再分两种情况，分别去绝对值化简，整理出m关于x的表达式，即可解答.
14．（2025八下·浙江月考）已知为互不相等的非零实数，满足，则　 　.
【答案】-8
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：a2( b + c )=b2( c + a )，
∴a2b+a2c=b2c+b2a，
即a2b-b2a+a2c-b2c=0， ab ( a - b )+ c ( a + b )( a - b )=0，( a - b )( ab + ac + bc )=0，
∵a ≠ b ，
∴ ab + ac + bc =0，
∵a2( b + c )=8，∴ a ( ab + ac )=8， a (- bc )=8，- abc =8，
∴abc =-8，
∴c2( a + b )+2abc=c( ac + bc )+2abc= c (- ab )+2abc=- abc +2abc= abc =-8．
故答案为：-8.
【分析】本题先对进行因式分解变形，求出ab + ac + bc =0和abc =-8，然后对c2( a + b )+2abc进行因式分解变形，最后替换即可求出答案。
15．（2025八下·浙江月考）如图，在一个圆形建筑的设计图中， 是过圆心的两条主支撑钢梁，有一根连接边缘的金属杆 ，其垂直于直径 于点 ，连接 点和 点与金属杆相交于点 ．
（1）已知金属杆 的长度为 ，，求这个圆形建筑的直径；
（2）若满足 ，求 的度数．
【答案】（1）解：设 的直径为 ，则：，，为直径，
，
又 ，
∴，
由勾股定理，得：，
，
解得 ，
的直径为．
（2）解： ∵，∴，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用垂径定理和勾股定理进行求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质“等边对等角”及圆周角定理便可以求出，再利用三角形外角的性质，即可解答．
（1）解：设 的直径为 ，则：，
，为直径，
，
又 ，
∴，
由勾股定理，得：，
，
解得 ，
的直径为．
（2）解： ∵，
∴，
，
，
，
，
．
16．（2025八下·浙江月考）如图，为等边三角形，边长为8，过点的直线交于点，交于点，且点在反比例函数的图象上，
（1）求直线的解析式；
（2）记的面积为，的面积为，试判断和的大小关系， 并说明理由．
【答案】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵为等边三角形，边长为8，点的坐标为，，
设，，，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴将E点代入反比例函数，解得，（舍），
；
设直线的解析式为，将C和E点代入解析式得，
解得，
解得：；
（2）解：比较与的面积大小，可转化为比较与的面积大小，∴，
，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，结合等边三角形的性质，设，，，求得，将E点坐标代入反比例函数中，求得E点坐标后，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，，据此即可证明结论成立．
（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵为等边三角形，边长为8，点的坐标为，，
设，，，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴将E点代入反比例函数，解得，（舍），
；
设直线的解析式为，将C和E点代入解析式得，
解得，
解得：；
（2）解：比较与的面积大小，可转化为比较与的面积大小，
∴，
，
∴，
∴．
17．（2025八下·浙江月考）如图，抛物线的顶点在矩形的边上，且过矩形的顶点、．
（1）若，求矩形的面积；
（2）当矩形的面积为常数时，求矩形的长的大小．
【答案】（1）解：设抛物线为，则，设
，
点的坐标为，
∴
∴
又
∴，
矩形的面积为；
（2）解：根据题意得，只需考虑的情形，如图所示，
设矩形的面积为，
∴，则，
∴
∴．
【知识点】矩形的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式为，则，设，根据矩形的性质及A点、M点的位置关系，表示出点的坐标为，然后将其代入抛物线解析式求出，得到，，进而求解即可；
（2）根据题意得，只需考虑的情形，如图所示，设矩形的面积为，，表示出，则，，然后由矩形的面积，代入计算整理即可求解．
（1）解：设抛物线为，则，设
，
点的坐标为，
∴
∴
又
∴，
矩形的面积为；
（2）解：根据题意得，只需考虑的情形，如图所示，
设矩形的面积为，
∴，则，
∴
∴．
18．（2025八下·浙江月考）在直角梯形中，，为直角，若有一条动直线交于，交于，且将梯形分为面积相等的两部分．
（1）证明：这条动直线必定经过一个定点，请指出这个定点；
（2）若边，求顶点到动直线的距离的最大值和最小值．
【答案】（1）如图
取BC中点E，作EF⊥AB于F，与DC延长线相交于G，
连接DF、AG相交于O，过点O作直线l，即可将梯形分为面积相等的两部分.
证明：
∵E是BC的中点
∴CE=BE
∵AB∥CD
∴∠B=∠ECG
∵∠CEG=∠BEF
∴△CEG≌△BEF
∴CG=BF
∵，为直角，
∴∠DAF=∠AFG=∠ADG=90°
∴四边形AFGD是矩形
∴OD=OF，
∴△ODQ≌△OFP
∴DQ=FP
]
∴
（2）∵四边形AFGD是矩形
∴AF=DG
由（1）知，CG=BF
∴AF+DG=AB+CD=5+3=8
∴AF=4
在Rt△ADF中，
如图，当垂直于时， 顶点到动直线的距离最大，最大值为OA，
如图，当经过C点时，到的距离最小值，过A作于K，即最小值为AK
过O作OH⊥AB于H，
∵∠DAB=90°
∴OH∥AD
∴，
∵AP=1
∴PH=AH-AP=1
∴∠OPH=45°
∴∠APK=45°
在Rt△APK中，AK=
最大值为，最小值为 .
【知识点】矩形的判定与性质；直角梯形；四边形的综合
【解析】【分析】
（1）先结合梯形的面积转化为矩形的面积，在根据矩形的面积的特点，只需让l经过矩形的中心，即可等分矩形的面积；
（2）当垂直于时， 顶点到动直线的距离最大，画出图形，根据勾股定理即可求解，当经过C点时，到的距离最小值，结合中位线性质，及勾股定理即可求解.
（1）解：如图：
∵动直线将梯形分为面积相等的两部分，且这两部分图形都是梯形，
则，
即，
当与重合时，与C重合；当与重合时，与D重合．
因此动直线必定经过与的交点．
（2）解：如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，为直角，
∴
∵，
则，
∵，，
∴，
当经过点时，到的距离最小值为0；
当垂直于时，如图所示：
则到的距离最大值为的长度，即．
∴动直线必定经过定点，顶点到动直线的距离的最大值为，最小值为 0．
19．（2025八下·浙江月考）（1）已知实数，，代数式，求该代数式的最小值及取到最小值时，的值；
（2）已知实数，，，代数式 ，求该代数式的最小值及取到最小值时，，的值．
【答案】（1）
∵，
∴当，时，代数式有最小值为
即，时，代数式有最小值为.
（2）令，
则原式
，，
当时，代数式有最小值．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【分析】
（1）将原代数式配方变形为，再利用平方的非负性即可求解；
（2）多次利用完全平方公式将原式变形，再利用平方的非负性即可求解．
20．（2025八下·浙江月考）已知、是正整数，满足，且、、7是一个三角形的三边长，若，也是一个三角形的三边长，求满足条件的
【答案】解：∵、是正整数，满足，且、、7是一个三角形的三边长，
∴a-b＜7，
而，也是一个三角形的三边长，因此有a3＞b3＞73，且a3-b3＜73，即（a-b）（a2+ab+b2）＜343；
①当b=8、a=9时，满足a-b＜7，满足a3-b3＜73；
②当b=8、a=10时，满足a-b＜7，不满足a3-b3＜73；
③当b=9、a=10时，满足a-b＜7，满足a3-b3＜73；
④当b=9、a=11时，满足a-b＜7，不满足a3-b3＜73；
⑤当b=10、a=11时，满足a-b＜7，满足a3-b3＜73；
⑥当b=10、a=12时，满足a-b＜7，不满足a3-b3＜73；
⑦当b=11、a=12时，满足a-b＜7，不满足a3-b3＜73；
因此满足条件的a和b的值，有a=9、b=8；a=9、b=10；b=10、a=11.故答案为：a=9、b=8；a=9、b=10；b=10、a=11.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】本题利用三角形的三边性质，即两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，简单来说就是三角形较长的两条边的差一定小于第三边。根据条件可知，因为a和b都是正整数，因此b最小是8，这样进行试数计算分析即可得出答案。
1 / 1浙江省创新教育初中协作体2024-2025学年八年级下学期创新素养学科基础能力与创新思维水平考察数学试题
1．（2025八下·浙江月考）从四个数，，，中任取两个不同的数相乘，则乘积等于的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·浙江月考）在下列五类四边形中，有外接圆的有（　　）类
①正方形，②非正方形的矩形，③非正方形的菱形，④非矩形或非菱形的平行四边形，⑥等腰梯形
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2025八下·浙江月考）已知方程 有两个实数根，且这两根之比为 ，则 的值为（　　）
A． B． C．4 D．6
4．（2025八下·浙江月考）如图，与水平面相切于点，过点作的内接矩形，已知的半径为，且，在保证不滑动的情况下，使在水平面上沿直线向右滚动，当滚动的路程为时，与地面相切的切点所在的弧为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·浙江月考）如图，将矩形纸片折起一个角，使得点落在边上的点处，若，则可表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·浙江月考）在中，，点P在边上，，，（　　）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2025八下·浙江月考）已知数列 满足 ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，记 为数列 的前 项和，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·浙江月考）在28+1与218+1之间有（　　）个立方数
A．9 B．10 C．57 D．58
9．（2025八下·浙江月考）已知一条弧长为，这条弧所在圆的半径为36，则弧所对的圆心角为　 　.
10．（2025八下·浙江月考）如图，等边 的三个顶点分别在等边 的三条边上， ，若 与 的面积分别为 和 ，则 的值为　 　．
11．（2025八下·浙江月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过　 　时间，小李和小张首次处于同一段步道上．
12．（2025八下·浙江月考）如图，在中，是直径，是切线，点C、O的连线交于点的延长线交于点的延长线交于点F，若，则的值为　 　．
13．（2025八下·浙江月考）已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为　 　．
14．（2025八下·浙江月考）已知为互不相等的非零实数，满足，则　 　.
15．（2025八下·浙江月考）如图，在一个圆形建筑的设计图中， 是过圆心的两条主支撑钢梁，有一根连接边缘的金属杆 ，其垂直于直径 于点 ，连接 点和 点与金属杆相交于点 ．
（1）已知金属杆 的长度为 ，，求这个圆形建筑的直径；
（2）若满足 ，求 的度数．
16．（2025八下·浙江月考）如图，为等边三角形，边长为8，过点的直线交于点，交于点，且点在反比例函数的图象上，
（1）求直线的解析式；
（2）记的面积为，的面积为，试判断和的大小关系， 并说明理由．
17．（2025八下·浙江月考）如图，抛物线的顶点在矩形的边上，且过矩形的顶点、．
（1）若，求矩形的面积；
（2）当矩形的面积为常数时，求矩形的长的大小．
18．（2025八下·浙江月考）在直角梯形中，，为直角，若有一条动直线交于，交于，且将梯形分为面积相等的两部分．
（1）证明：这条动直线必定经过一个定点，请指出这个定点；
（2）若边，求顶点到动直线的距离的最大值和最小值．
19．（2025八下·浙江月考）（1）已知实数，，代数式，求该代数式的最小值及取到最小值时，的值；
（2）已知实数，，，代数式 ，求该代数式的最小值及取到最小值时，，的值．
20．（2025八下·浙江月考）已知、是正整数，满足，且、、7是一个三角形的三边长，若，也是一个三角形的三边长，求满足条件的
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
共有种可能得结果，任取两个不同的数相乘，乘积为的有6种，
乘积为的概率是．
故答案为：D．
【分析】用列表法或画树状图列出所有情况，即可求出符合条件的概率.
2．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；四边形的综合
【解析】【解答】解：①正方形的对角线交点为圆心、对角线为半径画圆，可以画出该正方形的外接圆；
②非正方形的矩形，可以以对角线交点为圆心、对角线为半径画圆，可以画出该矩形的外接圆；
③非正方形的菱形，因为对角线不相等，因此不可以画出外接圆；
④非矩形或非菱形的平行四边形，不可以画出外接圆；
⑤等腰梯形，可以以每条边的垂直平分线的交点为圆心、该圆点到梯形的任意内角为半径画圆，可以画出该等腰梯形的外接圆。
因此有外接圆的是①②⑤。
故答案为：B.
【分析】与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。本题分别画出各图形的每条边的垂直平分线，如果交于一点，则可以画出该图形的外接圆。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意，得，
设两个根是，
则，
解得，
∴这两个根是，
∴，
解得．
故答案为：C．
【分析】先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，由题意设两个根是，再根据根与系数的关系列出关于a的方程求出a，然后根据两根之积求出答案．
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；弧长的计算；圆的周长
【解析】【解答】解：四边形是的内接矩形，
，，
所对的弧是半圆，
圆的周长为，
，
滚动圈回到点后又滚动了的路程，
，，，
则，
，
与地面相切的切点所在的弧为在上，
故答案为：A
【分析】根据圆滚动的路程求出圆转动的周数，再结合每段的弧长进行判断即可解答.
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵矩形纸片，
∴，，
∴，
由对折可得：，，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质，利用三角函数的定义解直角三角形求出，，即可解答.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
如图1，若，则是的平分线，
∵，
∴，故A选项错误；
如图2，若时，
∵，
∴，
∴，
∴，此时，故选项B，C错误，选项D正确，
故答案为：D．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，若，则是的平分线，若时，证明，分别由直角三角形斜边上的中线、高线，及角平分线的性质计算验证四个选项即可.
7．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
，
，
，
相加，得，
∴．
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据题意可知，依次写出，，再通过累加可得，然后代入数值即可得出解．
8．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵ =257，=262145，
而63=216，73=343，643=262144，653=274625，
且＞63，＜＞653，
因此有64-7+1=58个立方数，
故答案为：D.
【分析】本题首先计算出两个数的具体值，然后找到最接近并且略小于的立方数是63，再找出略大于的立方数653，最后即可计算出之间的立方数的个数。
9．【答案】150°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设弧所对的圆心角为n。则
，解得n=150°
因此弧所对的圆心角为150°。
故答案为：150°.
【分析】本题根据弧长公式，其中n是圆心角，r为弧所在圆的半径。根据题中条件列式计算即可。
10．【答案】8
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴.
∵，
即，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴．
过点F作，交于点G，
在中，，
∴，
根据勾股定理，得．
∴，
即，
解得．
故答案为：8．
【分析】由题意，先根据等边三角形的性质证明出，再根据全等三角形的性质及三角形面积公式求出并作FG⊥AC于G，表示出面积即可解答.
11．【答案】分钟
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米，
设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，
根据题意得：，
解得：，
从出发开始计时，经过分钟，小李行进，
小张行进，
，
，
如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处，
此时，点、分别是边、的中点，
小李从到用时 ，
小张从N到E用时，
，
小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上，
小李和小张首次处于同一段步道上，用时，
故答案为：分钟．
【分析】根据问题情境，先求出正五边形 的主题公园步道的边长米，求出小李比小张多走米的时间，判断出此时两人的位置，从而进一步推出两人首次处于同一段步道的时间.
12．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是直径，是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
，
解得（舍）或，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：.
【分析】连接，根据切线的性质，先证明出，得到相似三角形对应边成比例，根据 ，整理代入到比例式中，求出，再根据角关系得到，即可解答.
13．【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
当时，，
∵，
∴；
当时，，
∴．
综上所述，m的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”确定x的范围，再分两种情况，分别去绝对值化简，整理出m关于x的表达式，即可解答.
14．【答案】-8
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：a2( b + c )=b2( c + a )，
∴a2b+a2c=b2c+b2a，
即a2b-b2a+a2c-b2c=0， ab ( a - b )+ c ( a + b )( a - b )=0，( a - b )( ab + ac + bc )=0，
∵a ≠ b ，
∴ ab + ac + bc =0，
∵a2( b + c )=8，∴ a ( ab + ac )=8， a (- bc )=8，- abc =8，
∴abc =-8，
∴c2( a + b )+2abc=c( ac + bc )+2abc= c (- ab )+2abc=- abc +2abc= abc =-8．
故答案为：-8.
【分析】本题先对进行因式分解变形，求出ab + ac + bc =0和abc =-8，然后对c2( a + b )+2abc进行因式分解变形，最后替换即可求出答案。
15．【答案】（1）解：设 的直径为 ，则：，，为直径，
，
又 ，
∴，
由勾股定理，得：，
，
解得 ，
的直径为．
（2）解： ∵，∴，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用垂径定理和勾股定理进行求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质“等边对等角”及圆周角定理便可以求出，再利用三角形外角的性质，即可解答．
（1）解：设 的直径为 ，则：，
，为直径，
，
又 ，
∴，
由勾股定理，得：，
，
解得 ，
的直径为．
（2）解： ∵，
∴，
，
，
，
，
．
16．【答案】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵为等边三角形，边长为8，点的坐标为，，
设，，，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴将E点代入反比例函数，解得，（舍），
；
设直线的解析式为，将C和E点代入解析式得，
解得，
解得：；
（2）解：比较与的面积大小，可转化为比较与的面积大小，∴，
，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，结合等边三角形的性质，设，，，求得，将E点坐标代入反比例函数中，求得E点坐标后，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，，据此即可证明结论成立．
（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵为等边三角形，边长为8，点的坐标为，，
设，，，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴将E点代入反比例函数，解得，（舍），
；
设直线的解析式为，将C和E点代入解析式得，
解得，
解得：；
（2）解：比较与的面积大小，可转化为比较与的面积大小，
∴，
，
∴，
∴．
17．【答案】（1）解：设抛物线为，则，设
，
点的坐标为，
∴
∴
又
∴，
矩形的面积为；
（2）解：根据题意得，只需考虑的情形，如图所示，
设矩形的面积为，
∴，则，
∴
∴．
【知识点】矩形的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式为，则，设，根据矩形的性质及A点、M点的位置关系，表示出点的坐标为，然后将其代入抛物线解析式求出，得到，，进而求解即可；
（2）根据题意得，只需考虑的情形，如图所示，设矩形的面积为，，表示出，则，，然后由矩形的面积，代入计算整理即可求解．
（1）解：设抛物线为，则，设
，
点的坐标为，
∴
∴
又
∴，
矩形的面积为；
（2）解：根据题意得，只需考虑的情形，如图所示，
设矩形的面积为，
∴，则，
∴
∴．
18．【答案】（1）如图
取BC中点E，作EF⊥AB于F，与DC延长线相交于G，
连接DF、AG相交于O，过点O作直线l，即可将梯形分为面积相等的两部分.
证明：
∵E是BC的中点
∴CE=BE
∵AB∥CD
∴∠B=∠ECG
∵∠CEG=∠BEF
∴△CEG≌△BEF
∴CG=BF
∵，为直角，
∴∠DAF=∠AFG=∠ADG=90°
∴四边形AFGD是矩形
∴OD=OF，
∴△ODQ≌△OFP
∴DQ=FP
]
∴
（2）∵四边形AFGD是矩形
∴AF=DG
由（1）知，CG=BF
∴AF+DG=AB+CD=5+3=8
∴AF=4
在Rt△ADF中，
如图，当垂直于时， 顶点到动直线的距离最大，最大值为OA，
如图，当经过C点时，到的距离最小值，过A作于K，即最小值为AK
过O作OH⊥AB于H，
∵∠DAB=90°
∴OH∥AD
∴，
∵AP=1
∴PH=AH-AP=1
∴∠OPH=45°
∴∠APK=45°
在Rt△APK中，AK=
最大值为，最小值为 .
【知识点】矩形的判定与性质；直角梯形；四边形的综合
【解析】【分析】
（1）先结合梯形的面积转化为矩形的面积，在根据矩形的面积的特点，只需让l经过矩形的中心，即可等分矩形的面积；
（2）当垂直于时， 顶点到动直线的距离最大，画出图形，根据勾股定理即可求解，当经过C点时，到的距离最小值，结合中位线性质，及勾股定理即可求解.
（1）解：如图：
∵动直线将梯形分为面积相等的两部分，且这两部分图形都是梯形，
则，
即，
当与重合时，与C重合；当与重合时，与D重合．
因此动直线必定经过与的交点．
（2）解：如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，为直角，
∴
∵，
则，
∵，，
∴，
当经过点时，到的距离最小值为0；
当垂直于时，如图所示：
则到的距离最大值为的长度，即．
∴动直线必定经过定点，顶点到动直线的距离的最大值为，最小值为 0．
19．【答案】（1）
∵，
∴当，时，代数式有最小值为
即，时，代数式有最小值为.
（2）令，
则原式
，，
当时，代数式有最小值．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【分析】
（1）将原代数式配方变形为，再利用平方的非负性即可求解；
（2）多次利用完全平方公式将原式变形，再利用平方的非负性即可求解．
20．【答案】解：∵、是正整数，满足，且、、7是一个三角形的三边长，
∴a-b＜7，
而，也是一个三角形的三边长，因此有a3＞b3＞73，且a3-b3＜73，即（a-b）（a2+ab+b2）＜343；
①当b=8、a=9时，满足a-b＜7，满足a3-b3＜73；
②当b=8、a=10时，满足a-b＜7，不满足a3-b3＜73；
③当b=9、a=10时，满足a-b＜7，满足a3-b3＜73；
④当b=9、a=11时，满足a-b＜7，不满足a3-b3＜73；
⑤当b=10、a=11时，满足a-b＜7，满足a3-b3＜73；
⑥当b=10、a=12时，满足a-b＜7，不满足a3-b3＜73；
⑦当b=11、a=12时，满足a-b＜7，不满足a3-b3＜73；
因此满足条件的a和b的值，有a=9、b=8；a=9、b=10；b=10、a=11.故答案为：a=9、b=8；a=9、b=10；b=10、a=11.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】本题利用三角形的三边性质，即两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，简单来说就是三角形较长的两条边的差一定小于第三边。根据条件可知，因为a和b都是正整数，因此b最小是8，这样进行试数计算分析即可得出答案。
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