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6.1 圆的基本概念与性质
一、选择题
1．（2024·湖南长沙）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．（2024·内蒙古赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古通辽）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·海南）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·云南）如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·西藏）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
9．（2024·山东青岛）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖北）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
11．（2024·山东泰安）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·四川广元）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·甘肃临夏）如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
15．（2024·甘肃）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
16．（2024·四川宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
18．（2023·山西）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
19．（2023·四川自贡）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·四川凉山）如图，在中，，则（ ）

A．1 B．2 C． D．4
21．（2023·四川宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）

A． B． C． D．
22．（2023·四川宜宾）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）

A． B． C． D．
23．（2023·浙江湖州）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·四川甘孜）如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
25．（2023·西藏）如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
26．（2023·山东淄博）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（ ）

A． B． C． D．
27．（2023·青海）如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（ ）

A． B． C． D．
28．（2023·辽宁阜新）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
29．（2023·辽宁鞍山）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（ ）

A．2 B． C． D．
30．（2023·山东泰安）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
31．（2023·黑龙江牡丹江）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
32．（2023·辽宁营口）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
33．（2023·内蒙古赤峰）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）

A． B． C． D．
34．（2023·吉林）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A． B． C． D．
35．（2023·河南）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
36．（2023·广东）如图，是的直径，，则（ ）

A． B． C． D．
37．（2023·山东聊城）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
38．（2023·广西）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
39．（2023·四川广元）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
40．（2023·浙江杭州）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A． B． C． D．
41．（2023·湖北黄冈）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）

A． B． C． D．
42．（2023·山东枣庄）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
43．（2023·浙江温州）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
44．（2023·云南）如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）

A． B． C． D．
45．（2023·四川巴中）如图，是的外接圆，若，则（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
46．（2024·黑龙江牡丹江）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ．
47．（2024·北京）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则

48．（2024·江西）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ．
49．（2024·重庆）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ．
50．（2024·江苏常州）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ．
51．（2024·山东泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．

52．（2024·吉林长春）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
53．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，内接于，是直径，若，则 ．
54．（2024·河南）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 .
55．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．

56．（2024·四川眉山）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ．
57．（2024·江苏苏州）如图，是的内接三角形，若，则 ．
58．（2024·江苏盐城）如图，是的内接三角形，，连接，则 ．

59．（2024·江苏连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则 ．

60．（2024·山东枣庄）如图，是的内接三角形，若，，则 ．
61．（2024·四川南充）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度．
62．（2023·山东东营）《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为 寸．
63．（2023·浙江湖州）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ．
64．（2023·湖南）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
65．（2023·湖北随州）如图，在中，，则的度数为 ．

66．（2023·四川南充）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是 ．

67．（2023·江苏常州）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．

68．（2023·湖北襄阳）如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则
度．
69．（2023·宁夏）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．

70．（2023·广东深圳）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．

71．（2023·湖南郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．

72．（2023·湖南）如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则 度．

73．（2023·山东滨州）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．

74．（2023·甘肃武威）如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 ．

三、解答题
75．（2024·内蒙古包头）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
76．（2024·浙江）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；②．
77．（2023·陕西）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．

(1)求证：；
(2)若的半径，，求线段的长．
78．（2023·青海西宁）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
79．（2023·浙江）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
80．（2023·湖北武汉）如图，都是的半径，．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
参考答案与详解
一、选择题
1．（2024·湖南长沙）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，
∴，，
在中，，
故选：B．
2．（2024·内蒙古赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2024·内蒙古通辽）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可；
【详解】解：如图，连接，
∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，
∴，，
设拱门所在圆的半径为，
∴，而，
∴，
∴，
解得：，
∴拱门所在圆的半径为；
故选B
4．（2024·四川遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则，，
∵圆的直径为米，
∴，
∴在中，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴淤泥横截面的面积，
故选：．
5．（2024·四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴直线经过圆心，设圆心为，连接．
中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故轮子的半径为，
故选：C．
6．（2024·海南）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．（2024·云南）如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
故选：．
8．（2024·西藏）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．（2024·山东青岛）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∴，
故选：．
10．（2024·湖北）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案．
【详解】解：是半圆的直径，
，
，
，
由题意得，为的平分线，
．
故选：．
11．（2024·山东泰安）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵是的直径，，
∴，，则，
∴ ，
故选：A．
12．（2024·四川广元）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案．
【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且，
，
又四边形是的内接四边形，
，
又，
，
故选：A．
13．（2024·甘肃临夏）如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出．
由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出．
【详解】解：，
，
．
故选：D．
14．（2024·湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案．
【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着，
，
，
．
故选：C．
15．（2024·甘肃）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．根据得到，根据得到，根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选A．
16．（2024·四川宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：A．
17．（2024·重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故选：B．
18．（2023·山西）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
19．（2023·四川自贡）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由是的直径，得出，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
20．（2023·四川凉山）如图，在中，，则（ ）

A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】连接，由圆周角定理得，由得，，，在中，由，计算即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
故选：B．
21．（2023·四川宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．
【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，

得，
∴点M，N，O三点共线，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选B．
22．（2023·四川宜宾）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
点在上，为的中点，
，
，
，
根据圆周角定理可知，
，
故选：A．
23．（2023·浙江湖州）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理解答即可.
【详解】解：∵，
∴；
故选：C.
24．（2023·四川甘孜）如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
25．（2023·西藏）如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
26．（2023·山东淄博）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接, 根据等腰三角形的性质得到, 根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
【详解】连接,
∵,
∴
∴,
∵,
∴是等边三角形,

∴ ,
∵，,
∴,
，
∴,
∵,
，
，
即的半径为 ，
故选: .
27．（2023·青海）如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
28．（2023·辽宁阜新）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
29．（2023·辽宁鞍山）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长．
【详解】解：连接，

∵的半径为2．，
∴，
∴，
∵D，G分别为的中点，
∴为的中位线，
∴．
故选D．
30．（2023·山东泰安）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
31．（2023·黑龙江牡丹江）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，结合，可得，再利用圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
32．（2023·辽宁营口）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选D．

33．（2023·内蒙古赤峰）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵圆内接四边形中，，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴,
故选：A．
34．（2023·吉林）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴的度数可能是
故选：D．
35．（2023·河南）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据圆周角定理即可得．
【详解】解：∵，
∴由圆周角定理得：，
故选：D．
36．（2023·广东）如图，是的直径，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
37．（2023·山东聊城）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接，
∵点I是的内心，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．

38．（2023·广西）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理的含义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
39．（2023·四川广元）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
40．（2023·浙江杭州）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
半径互相垂直，
，
所对的圆心角为，
所对的圆周角，
又 ，
，
故选D．
41．（2023·湖北黄冈）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为直径，即，
∴，
故选：D．
42．（2023·山东枣庄）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
43．（2023·浙江温州）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】C
【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：过点O作于点E，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
44．（2023·云南）如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
45．（2023·四川巴中）如图，是的外接圆，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用半径相等得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
二、填空题
46．（2024·黑龙江牡丹江）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
47．（2024·北京）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则

【答案】55
【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由垂径定理得到，由得到，故．
【详解】解：∵直径平分弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
48．（2024·江西）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ．
【答案】或或2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：为直径，为弦，
，
当的长为正整数时，或2，
当时，即为直径，
将沿翻折交直线于点F，此时与点重合，
故；
当时，且在点在线段之间，
如图，连接，
此时，
，
，
，
，
；
当时，且点在线段之间，连接，
同理可得，
，
综上，可得线段的长为或或2，
故答案为：或或2．
49．（2024·重庆）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ．
【答案】 8 /
【分析】连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，根据四边形为平行四边形，得出，，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出．
【详解】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示：
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
故答案为：8；．
50．（2024·江苏常州）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，，，
∴，
∴；
故答案为：．
51．（2024·山东泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
52．（2024·吉林长春）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②③
【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④．
【详解】解：如图：连接，
∵是的中点，
∴,
∴，即①正确；
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即②正确；
在和,
，
∴，
∴,即,
∴，即,
∴,
∵，
∴，即③正确；
如图：假设半圆的圆心为O，连接，
∵，，是的中点，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，即是菱形，
∴，
∵，
∴，即，解得：,
∴，
∵
∴，即④错误．
故答案为：①②③．
53．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，内接于，是直径，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵内接于，是直径，
∴，
∵,，
∴
∴，
故答案为：．
54．（2024·河南）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 .
【答案】 / /
【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵线段绕点C在平面内旋转，，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵，
∴，
∴点E在以为直径的圆上，
在中，，
∵为定值，
∴当最大时，最大，最小时，最小，
∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最大值为；
当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最小值为；
故答案为：；．
55．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．

【答案】/90度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案．
【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
56．（2024·四川眉山）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长，交于，
是的直径，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：．
57．（2024·江苏苏州）如图，是的内接三角形，若，则 ．
【答案】/62度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
58．（2024·江苏盐城）如图，是的内接三角形，，连接，则 ．

【答案】50
【分析】本题考查主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理即可求出．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
故答案为：50．
59．（2024·江苏连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则 ．

【答案】90
【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】∵是圆的直径，
∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为，
∵、、、所对的弧的和为半圆，
∴，
故答案为：90．
60．（2024·山东枣庄）如图，是的内接三角形，若，，则 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解．
【详解】解∶连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
61．（2024·四川南充）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度．
【答案】75
【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，
∴，
∴；
故答案为：75．
62．（2023·山东东营）《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为 寸．
【答案】26
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，设寸，则寸，寸，先根据垂径定理求出寸，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
则，
设寸，则寸，寸，
∵是的直径，弦于点，寸，
寸，
在中，，即，
解得，
则寸，
故答案为：26．
63．（2023·浙江湖州）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ．
【答案】3
【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
64．（2023·湖南）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
【答案】1
【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
65．（2023·湖北随州）如图，在中，，则的度数为 ．

【答案】/30度
【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
66．（2023·四川南充）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是 ．

【答案】4
【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D，M分别是弦，弧的中点，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为：4．
67．（2023·江苏常州）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．

【答案】
【分析】连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，，如图：

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故答案为：．
68．（2023·湖北襄阳）如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则
度．
【答案】140
【分析】首先根据圆内接四边形的性质得，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出的度数．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
又∵，
∴，
∴°．
故答案为：140．
69．（2023·宁夏）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．

【答案】
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
70．（2023·广东深圳）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．

【答案】35
【分析】由题意易得，，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为35．
71．（2023·湖南郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．

【答案】4
【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解．
【详解】解：∵，
∴对应的圆心角的度数为，
∵，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台；
故答案为：4
72．（2023·湖南）如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则 度．

【答案】
【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．
【详解】解：在中，
，
故答案为：．
73．（2023·山东滨州）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．

【答案】或
【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时，

∵分别与相切于两点
∴，
∵．
∴
∵，
∴，
当点在上时，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
故答案为：或．
74．（2023·甘肃武威）如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 ．

【答案】35
【分析】由同弧所对的圆周角相等，得再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：是所对的圆周角，
是的直径，
，
在中，，
故答案为: ．
三、解答题
75．（2024·内蒙古包头）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证；
法二：连接，证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为3；
（2）证明：法一：过O作于F，
∴，
∵
∴，
又，，
∴，
∴，
∴；
法二：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
76．（2024·浙江）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；②．
【答案】(1)
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到；
（2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故；
②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明①：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点D作平行线交于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
77．（2023·陕西）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．

(1)求证：；
(2)若的半径，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
则，
，
，
．
；
（2）如图，，
为的直径，
．
，
，
，
，
又，
．
，
，，
连接，则，，
，
．
78．（2023·青海西宁）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由垂径定理，得 ，由圆周角定理，得；
（2）可证得；中，勾股定理求得，于是.
【详解】（1）证明：∵ 是的半径
∴， （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）
（2）解：∵ 又∵
∴（两角分别相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∵
∴
在中
∴（勾股定理）
即
∴.
79．（2023·浙江）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
【答案】(1)；
(2)①见解析；②；③的长为或．
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接，

∵的直径垂直弦AB于点E，且，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：①连接，

∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，

∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
③当时，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，

在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
80．（2023·湖北武汉）如图，都是的半径，．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论；
（2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．

试卷第1页，共3页6.2 与圆有关的位置关系
一、选择题
1．（2024·福建）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东广州）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
3．（2023·黑龙江哈尔滨）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·四川眉山）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·湖南湘西）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·湖北武汉）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024·江苏徐州）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
8．（2024·山东青岛）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
9．（2024·内蒙古包头）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
10．（2024·浙江）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为

11．（2024·重庆）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ．
12．（2024·山东德州）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
13．（2023·海南）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则 度．
14．（2023·青海）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是 ．

15．（2023·江苏泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．

16．（2023·山东泰安）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）

17．（2023·北京）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．

18．（2023·江苏徐州）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．

19．（2023·湖南）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ．

20．（2023·四川广元）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 ．

21．（2023·湖南）如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为 ．

三、解答题
22．（2024·西藏）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
23．（2024·山东济南）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
24．（2024·江苏宿迁）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
25．（2024·山东东营）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
26．（2024·山东潍坊）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
27．（2024·四川巴中）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
28．（2024·四川雅安）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
29．（2024·四川资阳）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
30．（2024·甘肃兰州）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
31．（2024·山东济宁）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线．
32．（2024·山东威海）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
33．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的面积．
34．（2024·四川广元）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
35．（2024·四川眉山）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
36．（2024·四川凉山）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
37．（2024·四川南充）如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的半径长．
38．（2024·内蒙古通辽）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
39．（2024·广东深圳）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
40．（2024·甘肃临夏州）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
(1)求证：平分；
(2)如果，，求的半径．
41．（2024·天津）已知中，为的弦，直线与相切于点．
(1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小；
(2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长．
42．（2024·贵州）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
(1)写出图中一个与相等的角：______；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
43．（2024·四川乐山）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若垂直平分，，求阴影部分的面积．
44．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．
(1)求证：；
(2)若的半径，，，求的长．
45．（2024·四川德阳）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
46．（2024·湖北武汉）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点．
(1)求证：与半圆相切；
(2)连接．若，，求的值．
47．（2023·四川资阳）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结．
(1)若，求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
48．（2023·湖南张家界）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
49．（2023·辽宁丹东）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
50．（2023·四川攀枝花）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．

51．（2023·西藏）如图，已知为的直径，点C为圆上一点，垂直于过点C的直线，交于点E，垂足为点D，平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
52．（2023·内蒙古呼和浩特）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
①当时，求的长；
②求的最大值．
53．（2023·内蒙古）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若，，求的长．
54．（2023·辽宁盘锦）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．

(1)求证：与相切．
(2)若，，求的长．
55．（2023·辽宁沈阳）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，则的长为______ ．
56．（2023·辽宁）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．

(1)求证：EF与相切；
(2)若，求的长．
57．（2023·湖北鄂州）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
58．（2023·山东聊城）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
59．（2023·广西）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
60．（2023·江苏扬州）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，求的长．
61．（2023·甘肃武威）如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)当的半径为，时，求的长．
62．（2023·新疆）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
63．（2023·四川乐山）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．

(1)求证：直线是是的切线；
(2)若，的半径为3，求的长．
64．（2023·四川巴中）如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．

(1)求证：是的切线．
(2)若，求图中阴影部分的面积.（结果用表示）
65．（2023·四川达州）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
66．（2023·浙江湖州）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．

(1)求证：．
(2)已知，，求的长．
67．（2023·四川甘孜）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
68．（2023·福建）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
69．（2023·浙江绍兴）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．

(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
70．（2023·湖北随州）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，①求的半径；②求线段的长．
参考答案与详解
一、选择题
1．（2024·福建）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．
【详解】∵，为的中点，
∴
∵
∴
∵直线与相切，
∴，
∴
故选：A．
2．（2024·广东广州）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令与的交点为，
为半径，为弦，且，
，
，
在中，，，，
，
，即的半径为4，
，
点在外，
故选：C．
3．（2023·黑龙江哈尔滨）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到和，再利用四边形的内角和为进而可求得，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．
【详解】解：，
，
又是的切线，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
故选B．
4．（2023·四川眉山）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接，证明，，可得，从而可得．
【详解】解：如图，连接，

∵切于点B，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
故选C
5．（2023·湖南湘西）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可．
【详解】解：连接、、，交于，如图，
，与相切，切点分别为，，
，，平分，
，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴在中，，
，
．
故选：D．
6．（2023·湖北武汉）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，

∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，，
∴为的切线，
由题意，为的切线，
∴，，
∵，
∴设，，，
则，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
7．（2024·江苏徐州）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数．
【详解】解：连接，
与相切于点，
，
，
；
，
，
故答案为：35
8．（2024·山东青岛）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴在中，，
∴，
∴半径的长为6，
故答案为：．
9．（2024·内蒙古包头）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
【答案】/105度
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解∶连接，
∵，，
∴，，
∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：．
10．（2024·浙江）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为

【答案】/40度
【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：∵与相切，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
11．（2024·重庆）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ．
【答案】 / /
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
在中，；
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；．
12．（2024·山东德州）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
【答案】
【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出．
【详解】解：连接，作的平分线，交于点O，作 于，
在和 中，
，
∴，
∴ ，
平分 和 ，
平分 ，
点到四边形的各边的距离相等，
∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
设，则，，
∵，，
∴，
，
即 ，
．
即的半径为，
∴圆形纸片的半径为．
故答案为：
13．（2023·海南）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则 度．
【答案】100
【分析】由切线的性质可得，则，通过计算可得，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解： 为的直径，是的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：100．
14．（2023·青海）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是 ．

【答案】/度
【分析】根据切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【详解】解∶∵是的切线，是切点，
∴，
∴
故答案为∶．
15．（2023·江苏泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．

【答案】9
【分析】由切圆于D，切圆于C，连接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．
【详解】解：如图，表示圆形城堡，

由题意知：切圆于D，切圆于C，连接，
∴，里，
∵里，
∴里，
∴，
∵，
∴，
∴（里）．
∴城堡的外围直径为（里）．
故答案为：9．
16．（2023·山东泰安）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）

【答案】
【分析】设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，经过圆外一点A的两条直线都与圆O相切，所以为的角平分线，，同时由切线的性质得到，在中，，求出，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
【详解】解：设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，如下图所示：

∵分别为圆O的切线，
∴为的角平分线，即，
又∵,
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
则这张光盘的半径为；
故答案为：．
17．（2023·北京）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．

【答案】
【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．
【详解】解：∵，
∴，．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
18．（2023·江苏徐州）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．

【答案】66
【分析】连接，则有，然后可得，则，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：

∵是的直径，且是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：66．
19．（2023·湖南）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ．

【答案】
【分析】证明，可得，结合，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
20．（2023·四川广元）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 ．

【答案】
【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设与两边的切点分别为D、G，连接，延长交于点H，

由，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，延长交于点Q，

同理，
∵，
∴，
当与相切时，有最大或最小值，
连接，
∵D、E都是切点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴的最大值为；
如图，

同理，的最小值为；
综上，t的取值范围是．
故答案为：．
21．（2023·湖南）如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为 ．

【答案】
【分析】根据勾股定理，得，根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可．
【详解】∵，
∴，
根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，
∴,
∴，
故答案为：．
三、解答题
22．（2024·西藏）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（2024·山东济南）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）证明，即可证明是的切线；
（2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可．
本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
24．（2024·江苏宿迁）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
25．（2024·山东东营）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键．
（1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得；
（2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到．
【详解】（1）证明：∵连接，则，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
26．（2024·山东潍坊）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证；
（）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直径为．
27．（2024·四川巴中）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）证明，，结合，，再进一步可得结论；
（3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案；
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴，经检验，符合题意；
28．（2024·四川雅安）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可；
（2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可；
（3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
在中，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，
解得，（舍去），
故．
29．（2024·四川资阳）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证；
（2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
30．（2024·甘肃兰州）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，易得，圆周角定理得到，进而得到，证明，推出，进而得到，即可得证；
（2）等角的三角函数相等，得到，证明，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，则：，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（舍去）或，
∴
31．（2024·山东济宁）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案；
（2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
32．（2024·山东威海）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线；
（2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果．
【详解】（1）证明：连接，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
∵，即，
解得，
∴，，
又∵
∴，
∴，即，解得．
33．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）由垂径定理的推论可知，据此即可求证；
（2）利用勾股定理求出即可求解；
【详解】（1）证明：∵为⊙O的弦，C为的中点，
由垂径定理的推论可知：，
∵，
∴，
∵为⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
34．（2024·四川广元）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据 ，可得，问题得证；
（2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解．
【详解】（1）证明：连接．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴为的切线．
（2）过点C作于点H，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在中，∵，
设半径为r，∴，
∴．
35．（2024·四川眉山）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
36．（2024·四川凉山）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明；
（2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
37．（2024·四川南充）如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即即可得证；
（2）连接，易得，直径得到在中，勾股定理求出的长，三角函数求出的长即可．
【详解】（1）证明：
．
，
．
即
．
又∵为半径，
是的切线．
（2）解：连接．
∴．
是直径，
．
在中，．
．
又是直径
的半径长为．
38．（2024·内蒙古通辽）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）解：在中，，
∵，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴半径的长为3
39．（2024·广东深圳）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：
（1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；
（2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴；
（2）由（1）知四边形为矩形，，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
即：的半径为．
40．（2024·甘肃临夏）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
(1)求证：平分；
(2)如果，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分；
（2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设的半径为r，则，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为4．
41．（2024·天津）已知中，为的弦，直线与相切于点．
(1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小；
(2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
（1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可；
（2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可．
【详解】（1）为的弦，
．得．
中，，
又，
．
直线与相切于点为的直径，
．即．
又，
．
在中，．
，
．
（2）如图，连接．
∵ 直线 与 相切于点 ，
∴
∵
∴．
，得．
在中，由，
得．
．
在中，，
．
42．（2024·贵州）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
(1)写出图中一个与相等的角：______；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】（1）利用等边对等角可得出，即可求解；
（2）连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证；
（3）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：连接，
，
∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
43．（2024·四川乐山）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若垂直平分，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证．
（2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接．
图1
∵为的切线，
∴，即．
又∵为直径，
∴，即．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图2，连接．
图2
∵垂直平分，
∴．
又∵，
∴为等边三角形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴阴影部分的面积为．
44．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．
(1)求证：；
(2)若的半径，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明；
（2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵直线l与相切于点A，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
45．（2024·四川德阳）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①与相切，理由见解析；②的取值范围为．
【分析】（1）由的平分线交于点，，可得，结合是上两定点，可得结论；
（2）①如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；
②分情况讨论：如图，当时，可得；如图，连接，当，可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，，
∴，
∴，
∵是上两定点，
∴点为的中点，是一定点；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
②如图，当时，
∴为直径，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
如图，连接，当，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当为锐角三角形，的取值范围为．
46．（2024·湖北武汉）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点．
(1)求证：与半圆相切；
(2)连接．若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证；
（2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案．
【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图
为等腰三角形，是底边的中点
，平分
与半圆相切于点
由
是半圆的切线
（2）解：由（1）可知，
，
，
又 ，
在中，，
，
解得：
47．（2023·四川资阳）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结．
(1)若，求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径长为3
【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线；
（2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，得，则，于是得，求得，则的半径长为3．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵的圆心O在上，且与边相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的半径长为3．
48．（2023·湖南张家界）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，即，
是的切线；
（2）解：，，
，
在中，，，
，则，
，
，，
，
，
设，则，，
，即，解得或（舍去），
．
49．（2023·辽宁丹东）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线；
（2）易得，则，根据，求出，，则，根据勾股定理求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，则，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，，
∴，
∴，
∴根据勾股定理可得：．
50．（2023·四川攀枝花）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．

【答案】见详解
【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
即，
，
是的半径，
直线与相切．

51．（2023·西藏）如图，已知为的直径，点C为圆上一点，垂直于过点C的直线，交于点E，垂足为点D，平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证；
（2）连接，，，利用勾股定理可得，进而有，，根据，即，进而可得，根据四边形内接于，可得，即，再在中，可得．
【详解】（1）连接，如图，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）连接，，，如图，

∵为的直径，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，，
∵平分，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，即，
∵在中，，
∴．
52．（2023·内蒙古呼和浩特）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
①当时，求的长；
②求的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)①或；②
【分析】（1）连接，，由是的直径，可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形性质可得，进而可得，即，再利用切线的判定定理即可证得结论；
（2）①分两种情况：当点在线段上时，过点作于点，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点在的延长线上时，过点作于点，运用勾股定理和解直角三角形即可；
②设，则，利用面积法可得，得出，即，再运用乘法公式和不等式性质可得，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
是的直径，
，
，
点为边的中点，
，
，
，
，
，即，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）①当点在线段上时，如图，过点作于点，

在中，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，即，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，（舍去），
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，（舍去），
；
综上所述，的长为或；
②设，则，
如图，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
53．（2023·内蒙古）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据点是的中点可得，进而证，从而得证即可；
（2）解法一：连接交于，根据及勾股定理求出，再证明，从而得到，即可求出的值；解法二：过点作于点，按照解法一步骤求出，然后证明四边形是矩形，再证明，求得，进而求出的值．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解法一：连接交于，
，，
，
，
，
在中，
，
或（不符合题意，舍去），
点是的中点，是半径，
垂直平分，
，
是的中位线，
，
是直径，
，
，
，
，
；
解法二：过点作于点，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
或（不符合题意，舍去），
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
54．（2023·辽宁盘锦）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．

(1)求证：与相切．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，结合圆周角定理，根据，可得，再根据平行的性质，即有，进而可得，问题随之得证；
（2）过C点作于点K，先证明四边形是平行四边形，即有，求出，即有，利用三角形函数有，同理，即可得，，进而有，再证明，可得，即可得，在中，有，问题随之得解．
【详解】（1）连接，如图，

∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴半径，
∴与相切；
（2）过C点作于点K，如图，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在，，
同理，
∵在中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
55．（2023·辽宁沈阳）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，则的长为______ ．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
(2)利用直角三角形的边角关系定理得到设, 则, 利用x的代数式表示出线段，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论.
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
为的直径，
是的切线；
（2）解：，，
，
设，则，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
解得：不合题意，舍去或．
．
故答案为：．
56．（2023·辽宁）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．

(1)求证：EF与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
（2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

∵，∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴EF与相切；
（2）解：设半径为x，则，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
∴半径为4，则，
在中，，，，
∴，
∴．
57．（2023·湖北鄂州）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）连接，，根据勾股定理得到的长，根据等弧对等弦得到 ，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∵为半径，
∴为切线；
（2）解：连接，，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴ ，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径长为．
58．（2023·山东聊城）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由题意可知，可知，易证得，可知，由，易知，进而可证得结论；
（2）由角平分线的性质可知，可得，进而可求得，，，，由，可证得，可知，进而可得，求得，即为的半径．
【详解】（1）证明：连接，

由题意可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：过点作，

∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
可得：，
∴的半径为．
59．（2023·广西）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明；
（2）首先根据勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可．
【详解】（1）∵与相切于点A，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是的切线；
（2）∵的半径为4，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
60．（2023·江苏扬州）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，求的长．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)6
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切；
（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，则：，

∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切；
（2）解：∵，的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设：，
则：，
∴，
∴．
61．（2023·甘肃武威）如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)当的半径为，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据得出，角平分线的定义得出，等量代换得出，进而得出，即，即可得证；
（2）连接，得，则，进而证明，得出，解，得出，则，进而根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵为的半径，
∴是的切线．

（2）连接，得，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
62．（2023·新疆）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，得出，由，得出，根据已知条件得出，证明，结合已知条件可得，即可得证；
（2）连接，根据已知条件得出，，得出，证明，得出，，进而求得，，根据，求得，进而即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接，

∵，，
设，则
∴，
∴，
即
解得：，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴,，
∴，
∴，
解得：，
∴
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴ ，
设，则，
∴，
∵,
,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
63．（2023·四川乐山）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．

(1)求证：直线是是的切线；
(2)若，的半径为3，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，可知是的直径，由，可得，由，，可得，，则，由，可得，即，进而结论得证；
（2）作，垂足为E，如图所示，由题意知，是等腰三角形，则，由题意知，，，可求，，，由勾股定理得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴是的直径，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴直线是是的切线；
（2）解：作，垂足为E，如图所示，

∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴的长为．
64．（2023·四川巴中）如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．

(1)求证：是的切线．
(2)若，求图中阴影部分的面积（结果用表示）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，证明，推出，即可证明结论成立；
（2）连接，在中，求得利用三角形函数的定义求得，，在中，利用勾股定理列式计算求得圆的半径，利用即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD，

∵，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，设半径为r
在中，
，
，
又，
，
，
，
是的直径．
，
，
∵，
∴，
又，
，
(负值已舍)，
，
．
65．（2023·四川达州）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证；
（2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，由等边对等角可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于，

∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设半径为，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，
∴ 的长为6．
66．（2023·浙江湖州）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．

(1)求证：．
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结，根据切线的性质得，再根据“”证明，可得答案；
（2）先求出，可得，根据特殊角三角函数求出，进而求出答案.
【详解】（1）如图，连结，

∵半圆O与相切于点D，
∴．
∵，
∴.
∵，，
∴．
∴．
（2）如图，∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，
在中，，
∴.
在中，，
∴．
67．（2023·四川甘孜）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到．再根据切线的性质得到．然后利用等角的余角相等得到；
（2）先证明得到，则可证明，利用正切的定义，在中有，在中有，所以，然后求出的长，从而得到的半径．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵为的切线，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
在中， ，
即，
∴，
∴ ，
∴的半径为．
68．（2023·福建）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即，再根据平行线的性质可得，则根据角的和差可得，最后根据平行线的判定定理即可解答；
（2）由圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合得到即可证明结论．
【详解】（1）证明是的切线，
，即．
是的直径，
．
∴．
，
，
，即，
．
（2）解：与都是所对的圆周角，
．
，
，
．
由（1）知，
，
平分．
69．（2023·浙江绍兴）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．

(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，即可求解．
（2）根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵于点，
∴，
∴．

（2）∵是的切线，是的半径，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴
∴，即，
∴．
70．（2023·湖北随州）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，①求的半径；②求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①3；②2
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论；
（2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径；
②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
点C是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：①如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为；
②由（1）可知，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
试卷第1页，共3页6.3 与圆有关的计算
一、选择题
1．（2024·内蒙古）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川雅安）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（ ）

A．4 B． C．6 D．
3．（2024·山东济宁）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）

A．1 B．2 C． D．
4．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（2024·山东日照）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．（2024·山东东营）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）．

A． B． C． D．
7．（2024·江苏无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·内蒙古包头）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·贵州）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·四川广安）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ）

A． B． C． D．
13．（2023·湖南娄底）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
14．（2023·福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）
A． B． C．3 D．
15．（2023·浙江台州）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．

A． B．2 C． D．
16．（2023·山东青岛）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）

A． B． C． D．
17．（2023·辽宁锦州）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）

A． B． C． D．
18．（2023·辽宁沈阳）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
19．（2023·山东泰安）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
20．（2023·四川雅安）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
21．（2023·甘肃兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）

A． B． C． D．
22．（2023·湖北鄂州）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
23．（2023·湖南）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）

A． B． C． D．
24．（2023·内蒙古通辽）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
25．（2023·辽宁大连）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·山东滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）

A． B． C． D．
27．（2023·新疆）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )

A． B． C． D．
二、填空题
28．（2024·江苏镇江）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．

29．（2024·山东东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．
30．（2024·江苏徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ．
31．（2024·江苏镇江）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）．
32．（2024·内蒙古）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ．
33．（2024·江苏南通）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ．
34．（2024·黑龙江大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ．
35．（2024·江苏宿迁）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
36．（2024·江苏宿迁）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °．
37．（2024·湖南长沙）半径为4，圆心角为的扇形的面积为 （结果保留）．
38．（2024·内蒙古通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）．
39．（2024·内蒙古呼伦贝尔）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 米．（取3.14，计算结果精确到0.1）
40．（2024·黑龙江大兴安岭地）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
41．（2024·广东深圳）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为 ．
42．（2024·黑龙江绥化）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
43．（2024·黑龙江齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的
高为 cm．
44．（2024·江苏扬州）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的
半径为 ．
45．（2024·甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若 ， ，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示）
46．（2024·山东烟台）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
47．（2024·四川成都）如图，在扇形中，，，则的长为 ．
48．（2024·江苏盐城）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ．
49．（2023·四川资阳）如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是 ．

50．（2023·江苏南京）如图，与正六边形的边，分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ．
51．（2023·内蒙古）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．

52．（2023·浙江杭州）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．

53．（2023·西藏）圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
54．（2023·山东济南）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．

55．（2023·吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）

56．（2023·内蒙古通辽）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．

57．（2023·黑龙江）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是 ．
58．（2023·黑龙江绥化）如图，的半径为 ，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）

59．（2023·黑龙江齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 （结果保留）．
60．（2023·湖南）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为 ．（结果保留）

61．（2023·湖南永州）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为 度．
62．（2023·浙江温州）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ．
63．（2023·江苏扬州）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
三、解答题
64．（2024·山东德州）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接．
(1)求证：
(2)若，．
①求的半径；
②求图中阴影部分的面积．
65．（2024·江苏南通）如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
66．（2024·湖北）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
67．（2024·辽宁）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，若，，求的长．
68．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求扇形的面积．
69．（2024·青海）如图，直线经过点C，且，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．
70．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
71．（2024·湖北）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．
(1)求证：是的切线．
(2)连接交于点，若，求弧的长．
72．（2024·江西）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)当时，求的长．
73．（2023·江苏南通）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
74．（2023·辽宁阜新）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
75．（2023·湖南益阳）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．

(1)求的度数；
(2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若，求的长．
76．（2023·山东东营）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
77．（2023·湖南郴州）如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
78．（2023·湖北十堰）如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
79．（2023·山东临沂）如图，是的外接圆，是的直径，，E为的延长线与的交点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
80．（2023·江西）如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

(1)求的长；
(2)若，求证：为的切线．
参考答案与详解
一、选择题
1．（2024·内蒙古）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，设与相交于点，
∵正四边形和正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．（2024·四川雅安）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（ ）

A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．
根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可．
【详解】解：设半径为，由题意得，，
解得，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
∴弦所对应的弦心距为，
∴．
故选：B．
3．（2024·山东济宁）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，，作于G，

∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即它的内切圆半径为，
故选：D．
4．（2024·四川甘孜藏族自治州）如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键．
【详解】解： ∵是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：C．
5．（2024·山东日照）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解．
【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到．
，
，
在菱形中，点O是对角线的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
故选：A．
6．（2024·山东东营）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题知，
，
，
所以山水画所在纸面的面积为：．
故选：C．
7．（2024·江苏无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长．
【详解】解：，
故选：B．
8．（2024·山东泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答．
【详解】解：如图：连接，作于点B，
∵，
∴三角形是等边三角形，
∴，
∴
∴,
∴．
故选：A．
9．（2024·广东广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．
【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，
故选：D．
10．（2024·内蒙古包头）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
11．（2024·贵州）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可．
【详解】解∵，，
∴的长为，
故选∶C．
12．（2024·四川广安）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明，再由，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
又，
∵
∴，
∴的长度为，
故选：C．
13．（2023·湖南娄底）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，

∴，，
∴，
∴扇形与扇形重合，
∴，
∵为等边三角形，，过作于，
∴，，，
∴；
故选C
14．（2023·福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故选：C．
15．（2023·浙江台州）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．

A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．
【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：

则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，
由题意可得：，
由勾股定理可得：，
∴，
故选：D
16．（2023·山东青岛）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．

17．（2023·辽宁锦州）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用圆周角定理求出的度数，然后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又的半径为3，
∴扇形（阴影部分）的面积为．
故选：D．
18．（2023·辽宁沈阳）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】解：四边形内接于，，
，
，
的长．
故选：．
19．（2023·山东泰安）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
20．（2023·四川雅安）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】种草区域的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，利用利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解∶∵，，，
∴种草区域的面积为，
故选：B．
21．（2023·甘肃兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】解：弧的半径，圆心角，
∴，
故选：B．
22．（2023·湖北鄂州）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，，作交于点

∵在中，，，，
∴，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，
∴是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
23．（2023·湖南）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据底面周长等于的长，即可求解．
【详解】解：依题意，的长，
故选：C．
24．（2023·内蒙古通辽）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可．
【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，

则，，，
∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为．
∵平分，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：A．
25．（2023·辽宁大连）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此计算即可．
【详解】解：该扇形的弧长，
故选：C．
26．（2023·山东滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，阴影的面积＝扇形的面积，据此即可解答.
【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；
如图，连接，则，是等边三角形，
∴，弓形的面积相等，
∴阴影的面积＝扇形的面积，
∴图中三个阴影部分的面积之和；
故选：C.

27．（2023·新疆）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：B.
二、填空题
28．（2024·江苏镇江）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．

【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
故答案为：10．
29．（2024·山东东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】
如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作，
在正八边形中，
∴
∵，，解得：
∴
∴正八边形为
∴
∴
∴的估计值为
故答案为：．
30．（2024·江苏徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为，弧长为，
由题意得：，
解得：（负值舍去），
则，
解得：，
∴圆锥的底面圆的半径为：，
故答案为：．
31．（2024·江苏镇江）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）．
【答案】/
【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到．
由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
由题意得：，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为：．
32．（2024·内蒙古）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ．
【答案】 40 2
【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质可得的度数；先利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求解即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
由圆的性质可知，，
∴，
∴，
∴扇形的弧长为，
∴圆锥的底面圆半径为，
故答案为：40；2．
33．（2024·江苏南通）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：圆锥的侧面积为 ；
故答案为：．
34．（2024·黑龙江大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，即正三角形的边长为．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案．
【详解】解： 曲边三角形的周长为，为等边三角形，
曲边三角形的面积为：
故答案为：．
35．（2024·江苏宿迁）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，
∴，
故答案为：．
36．（2024·江苏宿迁）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，
侧面展开扇形的面积为：，
解得，
故答案为：．
37．（2024·湖南长沙）半径为4，圆心角为的扇形的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可．
【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为，
故答案为：．
38．（2024·内蒙古通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵底面半径为，
∴圆锥底面圆的周长为，
即扇形纸片的弧长为，
∵母线长为，
∴圆锥的侧面积．
故答案为：
39．（2024·内蒙古呼伦贝尔）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 米．（取3.14，计算结果精确到0.1）
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，解一元一次方程等知识，利用弧长公式并结合题意可得出，进而得出，然后解方程并按要求取近似数即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，
∴，
∴，即
解得，
故答案为：．
40．（2024·黑龙江大兴安岭地）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．
【详解】根据圆锥侧面积公式：，可得
解得：，
，
解得，
侧面展开图的圆心角是．
故答案为：．
41．（2024·广东深圳）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵O为中点，
∴，
∵，
在中，，
∴，
同理，
∴，
∴扇形的面积为，
故答案为：．
42．（2024·黑龙江绥化）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为，由题意得，
解得：
故答案为：．
43．（2024·黑龙江齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的
高为 cm．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得，
解得：．
即圆锥的母线长为，
∴圆锥的高cm，
故答案是：．
44．（2024·江苏扬州）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的
半径为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长．
根据题意得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径．
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为，
∴圆锥的底面半径为，
故答案为：5．
45．（2024·甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若 ， ，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示）
【答案】
【分析】根据扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
【详解】∵圆心角， ， ，
∴阴影部分的面积是
故答案为：．
46．（2024·山东烟台）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．
【详解】解：∵正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
过点作于点，则：，
设圆锥的底面圆的半径为，则：，
∴；
故答案为：．
47．（2024·四川成都）如图，在扇形中，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可．
【详解】解：由题意得的长为
，
故答案为：
48．（2024·江苏盐城）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案．
【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为，母线长为
∴圆锥的侧面积
故答案为：．
49．（2023·四川资阳）如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】
【分析】本题考查圆中求不规则图形面积，涉及圆的性质、等边三角形性质、三角形外接圆性质、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及三角形面积公式等知识，连接并延长交于，连接，如图所示，由等边三角形外接圆性质得到、，平分，再由勾股定理及含直角三角形性质求出相关线段长，间接表示出图中阴影部分的面积是，求出圆面积及三角形面积代值求解即可得到答案，熟练掌握圆中不规则图形面积的求法是解决问题的关键．
【详解】解：连接并延长交于，连接，如图所示：
边长为6的正三角形内接于，
由等边三角形外接圆性质可得、，平分，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
在中，，，设，则，
，
，解得，即的半径为，
，
图中阴影部分的面积是，
故答案为：．
50．（2023·江苏南京）如图，与正六边形的边，分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ．
【答案】
【分析】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得，求得，根据全等三角形的性质得，得到，求得，过点O作于点M，解直角三角形即可得出结论．
【详解】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H，
，
是的切线，
，
多边形是正六边形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
过点O作于点M，
，
，
的半径长为，
故答案为：．
51．（2023·内蒙古）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．

【答案】
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
【详解】解：∵正六边形的外角和为，
∴每一个外角的度数为，
∴正六边形的每个内角的度数为，
设这个圆锥底面圆的半径是r，
根据题意得，，
解得，
故答案为：．
52．（2023·浙江杭州）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．

【答案】2
【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵六边形是的内接正六边形，
∴，
∴是的内接正三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
又∵，
∴，
∴，
由圆和正六边形的性质可得，，
由圆和正三角形的性质可得，，
∵，
∴．
故答案为：2．
53．（2023·西藏）圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
【答案】
【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，
根据题意得
解得，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为．
故答案为：．
54．（2023·山东济南）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．

【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
55．（2023·吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）

【答案】
【分析】利用弧长公式直接计算即可．
【详解】∵半径，圆心角，
∴ ，
故答案为：．
56．（2023·内蒙古通辽）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．

【答案】
【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点A，B．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据主视图的面积为计算即可．
【详解】解：设圆心为O，过O作，，和相交于点，连接，如图，

∵，分别与所在圆相切于点A，B．
∴，
∵，
∴，，
∴优弧对应的圆心角为，，
∵该圆半径是，
∴，
∴主视图的面积为
，
故答案为：．
57．（2023·黑龙江）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是 ．
【答案】12
【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．
【详解】解：根据圆锥侧面积公式变形可得，
根据圆锥母线公式，可得，
故答案为：12．
58．（2023·黑龙江绥化）如图，的半径为 ，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留与根号）

【答案】
【分析】根据折叠的性质得出是等边三角形，则，，根据阴影部分面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，设交于点

∵将沿弦翻折，使点与圆心重合，
∴，
又
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴,
∴阴影部分面积
故答案为：．
59．（2023·黑龙江齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积公式，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
60．（2023·湖南）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为 ．（结果保留）

【答案】
【分析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积．
【详解】解：帽子底面圆周长为：，
则扇形弧长为， 扇形面积
故答案为：
61．（2023·湖南永州）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为 度．
【答案】60
【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：设扇形圆心角的度数为，
，
扇形的半径为6，
．
故答案为：60．
62．（2023·浙江温州）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ．
【答案】
【分析】根据弧长公式即可求解．
【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，
∴它的弧长为，
故答案为：．
63．（2023·江苏扬州）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，，
由扇形的面积：，
得：
故答案为：
三、解答题
64．（2024·山东德州）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接．
(1)求证：
(2)若，．
①求的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①2
②
【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案；
对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案；
对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案．
【详解】（1）如图所示． 连接，
在中，，
在中，，
∴；
（2）①，∵，
∴．
连接，过点作，交于点D，
∴，，
∴．
在中，，
即，
∴，
所以的半径是2；
②∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴垂直平分，垂直平分，
∴点三点共线．
在中，，
在中，．
在中，上标点，．
在中，
．
65．（2024·江苏南通）如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可；
（2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解∶连接，

∵，，，
∴，
∴，
∵与相切于D，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解∶延长交于P，连接，此时最大，

由（1）知：，，
∴．
66．（2024·湖北）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证；
（）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
，，
，
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
的长为．
67．（2024·辽宁）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线；
（2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴长为：．
68．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用等边对等角，圆周角定理等可得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即，然后根据切线的判定即可得证；
（2）先利用含的直角三角形的性质求出，同时求出，进而求出，利用等边对等角，三角形外角的性质等可求出，，证明是等边三角形，得出，，进而求出，在中，利用余弦定义可求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又是的半径；
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴扇形的面积为．
69．（2024·青海）如图，直线经过点C，且，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．
（1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案；
（2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵在中，，，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
．
70．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵沿直线翻折得到，
∴，，
∵是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于点C，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
71．（2024·湖北）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．
(1)求证：是的切线．
(2)连接交于点，若，求弧的长．
【答案】(1)见解析
(2)弧的长为．
【分析】（1）利用证明，推出，据此即可证明结论成立；
（2）设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算求得，求得，再求得，利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
设的半径为，
在中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
72．（2024·江西）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论；
（2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答．
【详解】（1）证明： 是半圆O的直径，
，
，
，
，
是半圆O的切线；
（2）解：如图，连接，
，
为等边三角形，
，，
，
．
73．（2023·江苏南通）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；
（2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接，

和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，

四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
74．（2023·辽宁阜新）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，得出．根据平分，得出，则．根据得出，进而得出，即可求证；
（3）连接，过点O作于点F，通过证明为等边三角形，得出，．求出．最后根据即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：连接，过点O作于点F，
∵，
∴．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．

75．（2023·湖南益阳）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．

(1)求的度数；
(2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若，求的长．
【答案】(1)
(2)是菱形，证明见解析
(3)的长为．
【分析】（1）如图，连接，证明，而，可得，再结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）先证明，即，而，求解，可得，证明，可得，再证明，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，，交于，证明为等边三角形，可得，证明，，求解，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图，连接，，交于，

∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
76．（2023·山东东营）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接

∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图：连接
∵是的直径，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
77．（2023·湖南郴州）如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，由是直径，得，再证，从而有，于是即可证明结论成立；
（2）由圆周角定理求得，在中，解直角三角形得，从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中， ，，
∴，解得，
∴．
78．（2023·湖北十堰）如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接、，证出，即可得出结论；
（2）根据，分别求出和即可得出答案．
【详解】（1）连接、，
，
，
，
，
，
点是弧的中点，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2） ，，
为等腰直角三角形，
设，则，
，
，
，
，
．
79．（2023·山东临沂）如图，是的外接圆，是的直径，，E为的延长线与的交点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长交于点，根据是的外接圆，得到，由平行线的性质，得到，即可得证．
（2）连接，等边对等角，求出的度数，圆周角定理求出度数，得到为等边三角形，求出半径和的度数，利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，
∵是的外接圆，
∴点是三边中垂线的交点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；

（2）解：连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为．
80．（2023·江西）如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

(1)求的长；
(2)若，求证：为的切线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵是的直径，且，
∴，
∵E为上一点，且，
∴，
∴，
∴的长；

（2）证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．

答案第1页，共2页

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