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2025 年九年级学业水平模拟测试（二）数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1.-5 的绝对值是（ ）
A. -5 B. 5 C. - D.
2.月季被誉为 “花中皇后”，具有非常高的观赏价值。某品种的月季花花粉直径约为 0.0000352 米，则数据 0.0000352 用科学记数法表示为（ ）
A. 3.52×10 B. 3.52×10 C. 3.52×10 D. 35.2×10
3.某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
4.我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现。下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
5.若x = 2是一元二次方程x2-3x + m = 0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A. -5 B. -2 C. 1 D. 2
6.化简+的结果是（ ）
A. -2a + b B. -2a - b C. 2a - b D. 2a + b
7.已知点A(x1, -4)，B(x2, -2)，C(x3, 3)都在反比例函数y =(k < 0)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系为（ ）
A. x3 < x2 < x1 B. x1 < x3 < x2 C. x3 < x1 < x2 D. x2 < x3 < x1
8.如图，体育课上，A，B，C，D，E五个同学分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏。规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°。进行如下操作：
（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；
（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；
（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF。根据以上操作过程及所作图形，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A. CE = CD B. S四边形CDFB=CF·BD C. 2BC2=BG·AB D. AG = BD
10.如图 1，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，BC = 4，动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE，F为DE中点。设时间为t(s)，DE2为y，y关于t的函数图象如图 2 所示，有下列结论：①当t = 1时，DE = 2.5；②AB = 2；③连接BF，BF有最小值为；④若点M是边AC的中点，则MF的最小值为。其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.若二次根式有意义，x的值可以是______（写出一个值即可）。
12.一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有______个黑球。
13.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则内角和增加______度。
14.作为 “新质生产力” 和 “低空经济主角” 的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式。现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图 1，AC > BC），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C。已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离S1，S2(km)与飞行时间t(min)之间的函数关系如图 2 所示。若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是______。
15.如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上。将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处。若∠B = 60°，AE = 2，BE = 4，则BF的长为______。
三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（7 分）计算：(-1)2025+-(π-1)0+(﹣)-1-2cos30°。
17.（7 分）解不等式组，并写出它的正整数解。
18.（7 分）如图，在平行四边形ABCD的边AB，CD上分别截取AF，CE，使得AF = CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EN = FM，连接AN，CM。求证：AN = CM。
19.（8 分）某校综合实践活动小组对卧室的空调开展了项目式学习活动，下表是活动任务单。
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到0.1m）：
（1）求床铺的外边沿E到墙面BC的距离；
（2）求飘窗FG的高度。
20.（8 分）如图，AB是O的直径，AB = 2，O的弦CD⊥AB于点E，CD = 6。过点C作O的切线交AB的延长线于点F，连接BC。
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）求BF的长。
21.（9 分）为响应 “健康中国” 战略号召，某中学创新推出 “快乐运动 健康同行” 主题健身周，真正实现 “汗水里绽放笑脸” 的素质教育新实践。现随机抽取九年级20名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图 1 所示，根据提供信息，解决下列问题。
（1）补全频数分布直方图；
（2）若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为______；
（3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度 ；
（4）若该校共有学生2000人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于60分钟。
22.（10 分）《哪吒 2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱。为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A，B两种哪吒玩偶。已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍。
（1）求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个A种哪吒玩偶售价定为32元，每个B种哪吒玩偶售价定为45元，那么A，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？
23.（10 分）如图，一次函数y1= kx + b与反比例函数y2=(x > 0)交于A(2, 3)，B(6, n)两点，与x轴交于点C。
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出当y1 > y2时，x的取值范围；
（3）将线段AB沿水平方向平移，使其一个端点恰好落在y轴上（设点A的对应点为A1，点B的对应点为B1），求△CA1B1的面积。
24.（12 分）在△ABC中，AB = AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转到AM的位置，使得∠DAM + ∠BAC = 180°。
(1)如图1，连接BM ，取BM 的中点N ，连接AN 。小城同学为探究线段 AN 与 CD 的数量关系进行了如下操作：延长BA 到点P ，使AP =AB ，连接PM ，得出线段AN 与PM 的数量关系为： ；然后借助全等三角形，得出线段PM 与CD 的数量关系为： ;最后得出线段AN 与CD 的数量关系为： .
(2)如图2，取AM 的中点E ，连接BE ，取BE 的三等分点F ( BF > EF )，连接AF .
①请帮助小城同学探究并证明线段AF 与CD 的数量关系：
②若AB =3,BC =5，连接CF （如图3)，求CF 的最小值。
25.(12分）在平面直角坐标系 xOy 内，抛物线 y =-ax2+5ax+2( a >0）与x 轴交于A , B 两
点，与y 轴交于点C ，过点C 平行于 x 轴的直线交该抛物线于点D 。
(1）求抛物线的对称轴及点D 的坐标；
(2）设直线AD 与抛物线对称轴的交点为E ，若＝，求a 的值：
(3）坐标平面内有两点M (,a +1), N (5, a +1)，且点M在点N 左侧，以线段 MN为边向上作正方形 MNGH 。
①若a =1，求正方形 MNGH的边GH 与抛物线的交点坐标；
②当a <1时，若正方形MNGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为时，求a 的值。
答案
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1.-5 的绝对值是（ B ）
A. -5 B. 5 C. - D.
2.月季被誉为 “花中皇后”，具有非常高的观赏价值。某品种的月季花花粉直径约为 0.0000352 米，则数据 0.0000352 用科学记数法表示为（ A ）
A. 3.52×10 B. 3.52×10 C. 3.52×10 D. 35.2×10
3.某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体可能是（ D ）
4.我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现。下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ B ）
5.若x = 2是一元二次方程x2-3x + m = 0的一个根，则方程的另一个根是（ C ）
A. -5 B. -2 C. 1 D. 2
6.化简+的结果是（ D ）
A. -2a + b B. -2a - b C. 2a - b D. 2a + b
7.已知点A(x1, -4)，B(x2, -2)，C(x3, 3)都在反比例函数y =(k < 0)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系为（ C ）
A. x3 < x2 < x1 B. x1 < x3 < x2 C. x3 < x1 < x2 D. x2 < x3 < x1
8.如图，体育课上，A，B，C，D，E五个同学分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏。规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是（ A ）
A. B. C. D.
9.如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°。进行如下操作：
（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；
（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；
（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF。根据以上操作过程及所作图形，则下列结论中不一定正确的是（ D ）
A. CE = CD B. S四边形CDFB=CF·BD C. 2BC2=BG·AB D. AG = BD
10.如图 1，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，BC = 4，动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE，F为DE中点。设时间为t(s)，DE2为y，y关于t的函数图象如图 2 所示，有下列结论：①当t = 1时，DE = 2.5；②AB = 2；③连接BF，BF有最小值为；④若点M是边AC的中点，则MF的最小值为。其中正确结论的个数是（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.若二次根式有意义，x的值可以是___7___（写出一个值即可）。
12.一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___12___个黑球。
13.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则内角和增加___180___度。
作为 “新质生产力” 和 “低空经济主角” 的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式。现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图 1，AC > BC），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C。已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离S1，S2(km)与飞行时间t(min)之间的函数关系如图 2 所示。若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是___15km___。
15.如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上。将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处。若∠B = 60°，AE = 2，BE = 4，则BF的长为__2﹣2____。
三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（7 分）计算：(-1)2025+-(π-1)0+(﹣)-1-2cos30°。
=﹣1+2﹣1﹣2﹣
=﹣4
17.（7 分）解不等式组，并写出它的正整数解。
解：解不等式①得 x≤3
解不等式②得 x＜5
∴不等式组的解集为 x≤3
∴正整数解为 1 ，2 ，3
18.（7 分）如图，在平行四边形ABCD的边AB，CD上分别截取AF，CE，使得AF = CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EN = FM，连接AN，CM。求证：AN = CM。
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
∴ ∠AFN=∠CEM
∵EN＝FM
∴EN+MN＝FM+MN
即 EM＝FN
∵AF＝CE
∴△AFN≌△CEM
∴AN=CM
19.（8 分）某校综合实践活动小组对卧室的空调开展了项目式学习活动，下表是活动任务单。
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到0.1m）：
（1）求床铺的外边沿E到墙面BC的距离；
（2）求飘窗FG的高度。
解：（1） 由题意得，AD＝BC＝2.4m，CD＝AB＝0.14m，∠EAD ＝37°
在Rt△ADE 中，tan∠EAD =
∴ =tan37°≈0.75
∴DE＝1.8 m
∴CE＝DE+CD ＝1.8+0. 14＝1.94≈1.9（m）
答：床铺的外边沿 E 到墙面 BC 的距离为 1.9m．
（2）过点 G 作 GH⊥AD 于点 H， 易证四边形 GFDH 为矩形。
由题意得，DF＝GH，DH＝FG， ∠FAD＝37°+23°=60°, ∠GAH＝63.5°.
在 Rt△ADF中，tan∠FAD=
∴ =tan60 ° =
∴DF≈4.15 m
∴GH＝DF＝4. 15m
在 Rt△AGH中，tan∠GAH=
∴=tan63.5 °≈2.00
∴AH≈2.08 m
∴DH＝AD﹣AH＝2.4﹣2.08 ＝0.32≈0.3（m）
∴FG＝0.3 m，
答：飘窗 FG 的高度为 0.3 m ．
20.（8 分）如图，AB是O的直径，AB = 2，O的弦CD⊥AB于点E，CD = 6。过点C作O的切线交AB的延长线于点F，连接BC。
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）求BF的长。
（1）证明：连接 OC
∵CF 与O 相切于点 C
∴OC⊥CF
∴∠OCF=90°
∴ ∠BCF+∠OCB=90 °
∵CD⊥AB
∴∠BEC=90°
∴ ∠BCE+∠OBC=90 °
∵OB=OC
∴ ∠OCB=∠OBC
∴ ∠BCF=∠BCE
即 BC平分∠DCF
（2）解：∵CD⊥AB，AB 是⊙O 的直径
∴CE=CD=3
∴Rt△CEO中，OE=1
∵CD⊥AB
∴∠OEC=90°
∴ ∠OEC=∠OCF
∵ ∠EOC=∠COF
∴△OEC∽△OCF
∴=
∴OF=OC2=10
∴BF=OF﹣OC=10-
21.（9 分）为响应 “健康中国” 战略号召，某中学创新推出 “快乐运动 健康同行” 主题健身周，真正实现 “汗水里绽放笑脸” 的素质教育新实践。现随机抽取九年级20名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图 1 所示，根据提供信息，解决下列问题。
（1）补全频数分布直方图；
（2）若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为______；
（3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度 ；
（4）若该校共有学生2000人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于60分钟。
（1）略
（2）85
（3）72
（4）2000×=1700 人
答：该校每日运动时间不少于 60 分钟约 1700 人。
22.（10 分）《哪吒 2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱。为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A，B两种哪吒玩偶。已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍。
（1）求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个A种哪吒玩偶售价定为32元，每个B种哪吒玩偶售价定为45元，那么A，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？
解：（1）设 A 种哪吒玩偶的单价为 x 元，则 B 种哪吒玩偶的单价为（x+10）元
根据题意得： =× 2.5
解得：x ＝20
经检验，x ＝20 是所列方程的解，且符合题意
∴x+10 ＝30（元）
答：A 种哪吒玩偶的单价为 20 元，则 B 种哪吒玩偶的单价为 30 元
（2）设玩具店购买 A 种玩偶 m 个，则购买 B 种哪吒玩偶（120 - m ）个，
根据题意得：20m+30(120-m)≤3000
解得 m≥60
设总获利为 w 元，则 w=（32-20）m+（45-30）(120-m)=-3m+180
∵-3＜0
∴w 随 m 的增大而减小
∴当 m=60 时，w 最大为 1800-180= 1620 元
此时 120-m=60
答：购买 A 种玩偶 60 个，购买 B 种玩偶 60 个时，最大利润为 1620 元
23.（10 分）如图，一次函数y1= kx + b与反比例函数y2=(x > 0)交于A(2, 3)，B(6, n)两点，与x轴交于点C。
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出当y1 > y2时，x的取值范围；
（3）将线段AB沿水平方向平移，使其一个端点恰好落在y轴上（设点A的对应点为A1，点B的对应点为B1），求△CA1B1的面积。
解： 把 A（2，3） 代入 得 m＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y=
把 B（6，n）代入得 6n＝6，解得 n＝1，
∴B（6，1）
把 A（2，3），B（6，1）代入y1＝kx+b得
解得
∴一次函数解析式为y=﹣x+4
（2）根据图象可得：2＜x＜6
（3）6
24.（12 分）在△ABC中，AB = AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转到AM的位置，使得∠DAM + ∠BAC = 180°。
(1)如图1，连接BM ，取BM 的中点N ，连接AN 。小城同学为探究线段 AN 与 CD 的数量关系进行了如下操作：延长BA 到点P ，使AP =AB ，连接PM ，得出线段AN 与PM 的数量关系为： ；然后借助全等三角形，得出线段PM 与CD 的数量关系为： ;最后得出线段AN 与CD 的数量关系为： .
(2)如图2，取AM 的中点E ，连接BE ，取BE 的三等分点F ( BF > EF )，连接AF .
①请帮助小城同学探究并证明线段AF 与CD 的数量关系：
②若AB =3,BC =5，连接CF （如图3)，求CF 的最小值。
解：（1）AN=PM； PM=CD； AN=CD
（2）① ②
25.(12分）在平面直角坐标系 xOy 内，抛物线 y =-ax2+5ax+2( a >0）与x 轴交于A , B 两
点，与y 轴交于点C ，过点C 平行于 x 轴的直线交该抛物线于点D 。
(1）求抛物线的对称轴及点D 的坐标；
(2）设直线AD 与抛物线对称轴的交点为E ，若＝，求a 的值：
(3）坐标平面内有两点M (,a +1), N (5, a +1)，且点M在点N 左侧，以线段 MN为边向上作正方形 MNGH 。
①若a =1，求正方形 MNGH的边GH 与抛物线的交点坐标；
②当a <1时，若正方形MNGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为时，求a 的值。
解：（1） ∵抛物线解析式为 y＝-ax2+5ax+2（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线 x =
在y＝ - ax2+5ax+2（a＞0）中，当 x＝0 时，y＝2，
∴C（0，2），
∵过点 C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点 D，
∴C、D 关于抛物线对称轴对称，
∴D（5，2）；
（2）过点 D 作 DF 平行于y 轴，交 x 轴于点 F，则 DF 与对称轴平行，
设对称轴与 x 轴交点为 E1
∵DF∥EE1
∴==
∴AE1=3.5
∴xA=-1
∴点 A（-1,0）
将点 A（-1 ，0）代入y＝-ax2+5ax+2（a＞0） 中，得-a-5a+2=0
解得a=
（3）①正方形MNGH 的边GH 与抛物线的交点坐标为（1，6），（4 ，6）
②a=0.5

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