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第 1 课时 三角形的内角和
13.3.1 三角形的内角
第十三章 三角形
1. 探索并证明三角形的内角和定理.(重、难点)
2.三角形内角和定理及其运用.(重点)
3. 学会解决与求角度有关的实际问题.
4. 体会转化的数学思想.
通过拼图发现了三角形内角和定理.
泰勒斯
毕达哥拉斯学派
测量推测出内角和为 180°，后通过过顶点作平行线的方法完成了证明.
欧几里得
更严谨的通过一组同位角和一组内错角对三角形内角和定理进行了证明.
三角形内角和定理证明发展简轴
公元前 6 世纪
约公元前 560-480 年
约公元前 330-270 年
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于 180°.
如图，我们是通过度量
或剪拼得出这一结论的.
48°
72°
60°
60°＋48°＋72°＝180°
度量法
剪拼法
思考：通过剪拼法拼成了一个什么角？如何用推理的方法去验证呢？
探究点： 三角形内角和定理的证明
探究：通过活动一的启发，我们在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
B
B
C
C
A
问题1：想一想，直线 l 与△ABC 的边 BC 有什么关系？
4
5
B
B
C
C
A
2
3
1
探究点： 三角形内角和定理的证明
依据平角定义，得到 180°
证明思路:
过点A作直线l，使得l∥BC
利用平行线的性质，将∠B和∠C进行转移
证明：过点 A 作直线 l，使 l∥BC.
∵ l∥BC，
∴∠2 =∠4 (两直线平行，内错角相等).
同理∠3 =∠5.
∵∠1，∠4，∠5 组成平角，
∵∠1 +∠4 +∠5 = 180°(平角的定义).
∴∠1 +∠2 +∠3 = 180°(等量代换).
2
3
4
5
1
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
探究点： 三角形内角和定理的证明
三角形三个内角的和等于 180°.
探究点： 三角形内角和定理的证明
在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°.
几何语言：
三角形内角和定理
C
B
A
探究点： 三角形内角和定理的证明
问题2：观察下图拼图方法，模仿前面的证明过程，还可以怎样证明三角形内角和定理？
证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，则∠A =∠1
(两直线平行，内错角相等)，
∠B =∠2
(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B +∠ACB = 180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC
(两直线平行，同位角相等)，
∠A +∠AED = 180°，
∠EDF +∠AED = 180°
(两直线平行，同旁内角相补).
∴∠A = ∠EDF.
∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°，
∴∠C +∠A +∠B = 180°.
探究点： 三角形内角和定理的证明
依据平角定义，得到180°
添加平行线
（辅助线）
利用平行线的性质，转移角
思考 以上多种方法的证明思路是什么？
C
A
B
1
2
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
4
5
2
3
1
探究点： 三角形内角和定理的证明
除了构造平角得到 180° 外，还有其他方式吗？
A
B
C
F
1
4
2
3
D
E
A
B
C
思路②有其他添加辅助线的方案吗？
l
用下列方法证明三角形内角和定理.
依据平角定义，得到180°
添加平行线
（辅助线）
利用平行线的性质，转移角
两直线平行，同旁内角互补．
探究点： 三角形内角和定理的证明
A
B
C
l
2
1
A
B
C
F
1
4
2
3
D
E
证明：过点A作线段 l，
使 l ∥BC.
∵ l ∥BC
∴∠2 = ∠C，
∠1+∠2+∠B = 180°.
∴∠1+∠C+∠B = 180°.
证明:过点B任意作一条直线BD，分别过点A、C作B的平行线AE、CF， 则 CF∥AE∥BD.
∴∠1 = ∠2，∠3 =∠4 ，
∠DBC +∠BCF = 180°，
即∠1+∠ABC+∠ACB +∠4 =180°.
∴∠ABC + ∠ACB +∠BAC = 180°.
探究点： 三角形内角和定理的证明
依据平角定义，得到180°
添加平行线
（辅助线）
利用平行线的性质，转移角
两直线平行，同旁内角互补．
辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路转化:
思路①
思路②
探究点： 三角形内角和定理的证明
【归纳总结】
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
∠BAC = 40°
∠DAB = 20°
∠ADB = 85°
在△ABD 中，∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD
= 180° - 75° - 20° = 85°.
解：由∠BAC = 40°， AD 是△ABC 的角平分线，得
分析：
∠BAD = ∠BAC = 20 °.
探究点： 三角形内角和定理的证明
例2 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80°方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40°方向. 从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
北
A
D
北
C
B
.
E
.
.
分析：求 ∠ACB，
需先求 ∠CAB 、∠CBA.
探究点： 三角形内角和定理的证明
解：由题意得∠CAB =∠BAD -∠CAD = 80° - 50° = 30°.
由 AD∥BE，得∠BAD + ∠ABE = 180°，
所以∠ABE = 180° - ∠BAD = 180° - 80° = 100°，
∠ABC = ∠ABE - ∠EBC = 100° - 40° = 60°.
在△ABC 中，
∠ACB = 180 °- ∠ABC - ∠CAB
= 180°- 60°- 30° = 90°.
答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角
∠ABC 是 60°，从 C 岛看 A，B
两岛的视角∠ACB 是 90°.
北
A
D
北
C
B
.
E
.
.
探究点： 三角形内角和定理的证明
你还能给出其他解法吗？
解：过点C作CF∥AD，则CF∥BE.
∠1 ＝ ∠3 ，∠2 ＝ ∠4 ，（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACB ＝ ∠1 ＋∠2 ＝ ∠3 ＋∠4 （等量代换）
＝ 50°＋ 40°＝ 90°
∠CAB ＝∠BAD － ∠3
＝80 °－50°＝30°.
∠ABC ＝ 180°－∠ACB －∠CAB
＝ 180°－90°－30°＝ 60°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
.
北
A
D
北
C
B
.
E
.
F
1
2
3
4
探究点： 三角形内角和定理的证明
【练一练】1.如图，在 △ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E.若∠A = 54°，∠B = 48°，则 ∠CDE 的大小为 ( )
A.44° B.40°
C.39° D.38
C
∠A = 54°，∠B = 48°
∠ACB = 78°
∠DCB = 39°
∠CDE = ∠DCB = 39°
分析：
DE∥BC
探究点： 三角形内角和定理的证明
1. [串题进阶]在△ ABC 中，
(1) 已知 ∠ A ＝87°，∠ B ＝25°，则∠ C 的度数为 .
70°
(2) ∠ C ＝30°，∠ A 与∠ B 的度数比是 1∶2，
则∠ A 的度数是 ；
50°
(3) 已知∠A－∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C 的度数；
解：(3) ∵∠A－∠B＝20°，∠C＝2∠B，
∴∠A＝∠B＋20°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＋20°＋∠B＋2∠B＝180°.
∴∠B＝40°.
∴∠A＝60°，∠C＝80°.
(4) [补图作答] 若 AD 是△ABC 的角平分线，已知∠BAC＝68°，∠B＝36°，求∠ADB 的度数.
(4) ∵ AD 是△ABC 的角平分线，
∴ ∠BAD＝ ∠ABC＝ ×68°＝34°，
∵ ∠B＝36°，
∴∠ADB＝180°－34°－36°＝110°.
2.小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整.
在△ABC 边 BC 上任取一点 E，作 DE∥AC 交 AB 于点 D，作EF∥AB 交 AC 于点 F.
∵ DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝ ，∠3＝ .
∵AB∥EF，
∴∠4＝ ( ).
∠C
∠B
∠A
两直线平行，同位角相等
∵DE∥AC，
∴∠4＝ ( ).
∴∠2＝ ( ).
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＝ .
∠2
两直线平行，同位角相等
∠A
等量代换
180°
证明方法
三角形的内角和
_____思想：将是三个角转化成一个_____或者同旁内角____等
内角和定理
三角形的三个内角和等于____
180°
转化
平角
互补

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