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13.3.2 三角形的外角
第十三章 三角形
1. 理解三角形的外角的概念和性质.(重点)
2. 运用三角形外角的性质进行有关计算时能准确表达推理过程.(难点)
2. 掌握三角形内角和定理的推论.
3. 经历由特殊到一般的数学思维过程，体会数学推理的严谨性.
两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从 A 前进到 C 处，然后再折回至 B 处，截住老鼠返回墙洞的去路 ，另一只则直接从 A 处扑向老鼠，已知∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，问，小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处
题目所求的是哪个角度？
思考：如图，先把△ABC 的一边 BC 延长，这时在△ABC 外得到∠ACD. 类比三角形的内角，我们该如何概括类似∠ACD 这样的角呢？它又具有什么性质呢？
C
B
A
D
概念引入：如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
三角形的外角
探究点一：三角形外角的概念
C
B
A
D
问题1：三角形的外角有什么特征？
（1）角的顶点是三角形的顶点；
（2）角的一边是三角形的一边；
（3）角的另一边是三角形某边的延长线.
问题2 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
问题3 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
探究点一：三角形外角的概念
问题4 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
B
A
C
F
A
B
C
D
E
练一练 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEC 和 △BEF
的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
探究点一：三角形外角的概念
思考： 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，
∠ACD 是△ABC 的一个外角. 能由∠A，∠B 求出∠ACD 吗？如果能， ∠ACD 与∠A、∠B 的关系；
∠ACD = 130°.
∠ACD = ∠A + ∠B，
∠ACD > ∠A 等.
探究点二：三角形外角的性质
讨论：任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？请由三角形内角和定理自行证明.
都有这种关系.
证明：在上图中，∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，
∴∠ACB = 180°－∠A－∠B.
∵∠ACB +∠ACD = 180°，
∴∠ACD = 180°－∠ACB
= 180°－(180°－∠A－∠B) =∠A +∠B.
探究点二：三角形外角的性质
拓展：你是否有其他方式证明？与大家讨论.
分析：利用角的转移.
D
证明：过 C 作 CE∥AB，
A
B
C
1
2
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
E
探究点二：三角形外角的性质
三角形内角和定理推论：
三角形的外角_____与它不相邻的两个内角的___.
等于
和
几何语言：
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A +∠B.
探究点二：三角形外角的性质
知识要点：
例1 如图，∠A = 76°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数.
解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE.
∵∠A = 76° ，∠ACE = 18°，
∴∠BEC = 94°.
∵∠BFC 是△BEF 的一个外角，
∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF.
∵∠ABD = 28°，∠BEF = 94°，
∴∠BFC = 122°.
F
A
C
D
E
B
探究点二：三角形外角的性质
例2 (一题多解) 如图，∠A = 51°，∠B = 20°，
∠C = 30°，求∠BDC 的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
分析：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
探究点二：三角形外角的性质
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在 △ABD 中，∠1 +∠B = ∠3，
在 △ACD 中，∠2 +∠C = ∠4.
∵∠BDC = ∠3 +∠4，
∠BAC = ∠1 +∠2，
∴∠BDC = ∠BAC +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
探究点二：三角形外角的性质
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 = ∠B + ∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
)
2
F
探究点二：三角形外角的性质
通过前面的例题 ，你能画出这些题型的基本图形吗？
∠BDC＝∠A + ∠B + ∠C
飞镖形
探究点二：三角形外角的性质
2. 两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从 A 前进到 C 处，然后再折回至 B 处，截住老鼠返回墙洞的去路 ，另一只则直接从 A 处扑向老鼠，已知∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，问，小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处
解：∵∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，
∴∠A = 70°.
∴小猫需要转动的角度为：
∠ECB = ∠A+∠ABC = 40°+70° = 110°.
探究点二：三角形外角的性质
探究 对于任意三角形 ABC，请探索其外角和是多少.
例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
分析：利用三角形内角和及其推论、平角的定义等将这些角整体计算.
探究点三：三角形外角和
证法一：利用三角形内角和及其推论.
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE = ∠2 + ∠3，
∠CBF = ∠1 + ∠3，
∠ACD = ∠1 + ∠2.
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
探究点三：三角形外角和
证法二：利用三角形内角和及平角的定义.
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ，
∠CBF +∠2 = 180° ②，
∠ACD +∠3 = 180° ③，
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
① + ② + ③ 得
∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°.
你还有其他解法吗？
探究点三：三角形外角和
三角形外角和：
三角形的外角和等于_____.
例如：∠FAE + ∠ECD + ∠DBF = 360°.
360°
探究点三：三角形外角和
1. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝30°，∠ B ＝40°，
则∠ ACD 的度数为（　C　）
A. 30° B. 40°
C. 70° D. 110°
第1题图
C
2. 将一副直角三角板按如图所示方式叠放在一起，
则∠α的度数是（　C　）
A. 45° B. 60°
C. 75° D. 90°
第2题图
C
第4题图
4. 如图，用“＞”表示∠1，∠2，∠3的大小关系是 .
∠3＞∠2＞∠1　
5. 如图，∠ A ＝28°，∠ B ＝∠ C ＝32°，则
∠ BFC 的度数是 .
92°　
5.如图，D 是△ABC 的 AC 边上一点，∠A =∠ABD，∠BDC = 150°，∠ABC = 85°.
求：(1)∠A 的度数；(2)∠C 的度数.
解：(1) ∵∠BDC 是∠ABD 的外角，
∴∠BDC = + .
又∵∠A =∠ABD，∠BDC = 150°，
∴∠A = .
(2) ∵∠A＋∠ABC＋∠C = 180°，∠ABC = 85°，
由 (1) 知∠A = .
∠C = 180°－∠ABC－∠A = .
20°
∠A
∠ABD
75°
75°
6. 一个零件的形状如图所示，按规定∠ A 应等 90°，∠ B ，∠ C 应分别是 21° 和 32°，现测量得
∠ BDC ＝148°，你认为这个零件合格吗？为什么？
解：不合格. 理由如下：
延长 CD 与 AB 相交于点 F .
∵∠ DFB ＝∠ C ＋∠ A
＝32°＋90°＝122°，
∴∠ BDC ＝∠ DFB ＋∠ B＝122°＋21°＝143°.
∵实际量得的∠BDC ＝148°，143°≠148°，
∴这个零件不合格.
性质
三角形的外角
三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和
定义
三角形的一边与另外一边的______所组成的角
延长线
三角形外角和
三角形的外角和等于_____
360°
不相邻

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