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13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
第十三章 三角形
1. 理解三角形的中线、角平分线、高线等概念和区别.
(重点)
2.了解三角形重心的概念，会画出任意三角形的中线、角平分线、高线. (难点)
3. 探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程. (难点)
4. 进一步提升学生的几何直观感知能力.
定义 图示
线段中点
角平分线
垂线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线
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观看视频，回答它所提出的问题：
如何用数学语言描述关于蛋糕的平均分配问题的解决办法“从蛋糕一边中间的地方切到对边的尖”？
概念：如图，连接△ABC 的顶点 A 和它对边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC上的中线.
三角形的中线
探究点一： 三角形的中线
A
B
C
D
几何语言：
∴ BD = CD = BC.
∵AD 是△ABC 的中点，
反之∵BD＝CD
(或 BD＝ BC，CD＝ BC )，
∴ AD 是△ABC 的中点.
三角形的三条中线相交于一点.
总结
三角形的重心：三角形三条中线的交点.
画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
探究点一： 三角形的中线
延伸思考：用硬纸板裁出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，从三角形硬纸板所处的状态来看，有什么现象 这种现象说明了什么
动手做一做.
硬纸板保持平衡.
重心就是保持物体平衡的点.
探究点一： 三角形的中线
练一练 1.如图，AD 是 △ABC 的中线，AB = 4，AC = 3. 若 △ACD 的周长为 8，则 △ABD 的周长为_____.
9
C△ABD = AB+AD+BD = 4 + 5 = 9
AD + CD = 5
C△ACD =AD+AC+CD = 8
AD 是 △ABC 的中线
CD = BD
分析：
探究点一： 三角形的中线
探究点二： 三角形的角平分线
做一做 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合.
∠1＝∠2，AD 平分∠BAC .
问题1：如图，AD 是折痕，则∠1 和∠2 之间有什么数量关系？AD 平分∠BAC 吗
A
B
C
1
2
D
问题2：类比三角形中线，三角形的角平分线是什么？
概念：如图，画∠ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC的角平分线.
三角形的角平分线
A
B
C
1
2
D
探究点二： 三角形的角平分线
几何语言：
∴∠1 = ∠2 = ∠BAC.
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴AD 是△ABC 的角平分线.
反之∵∠1 = ∠2 = ∠BAC
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？
三角形的三条角平分线相交于一点(三角形的内心 ).
探究点二： 三角形的角平分线
练一练 2.如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，
∠AED = 80°，求∠ECD 的度数.
解：∵ DC 平分∠ACB，
又 DE∥BC，
∴∠ACB =∠AED = 80°.
∴∠ECD = 40°.
A
B
C
E
D
∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB.
探究点二： 三角形的角平分线
探究点三： 三角形的高
请在下图中过点 A 画线段 BC 所在直线 l 的垂线.
这条垂线段是什么？
A
B
C
D
垂足
l
问题1：你还记得如何“过一点画已知直线的垂线”吗？
概念：如图，从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边BC 上的高线.
三角形的高线简称三角形的高.
三角形的高
探究点三： 三角形的高
A
B
C
D
∵AD 是△ABC 的高，
反之，
∴AD⊥BC(∠BDA=90°).
∵AD⊥BC(∠BDA=90°)，
∴AD 是△ABC 的高.
几何语言：
问题2：(1) 用同样方法，你能画出△ABC 的另两条边上的高吗？
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形
的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示.
O
A
B
C
D
E
F
探究点三： 三角形的高
直角边 BC 上的高是 ；
直角边 AB 上的高是 .
(2) 斜边 AC 上的高是 ；
直角三角形的三条高
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高；
AB
BC
它们有怎样的位置关系
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
探究点三： 三角形的高
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC 边上的高是哪条线段？
AB 边上的高是哪条线段？
BC 边上的高是哪条线段？
BF
CE
AD
探究点三： 三角形的高
A
B
C
D
F
(3) 钝角三角形的三条高相交
吗？
(4) 它们所在的直线交于一点
吗？这点位于何处？
O
E
钝角三角形的三条高不相交.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
探究点三： 三角形的高
例1 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值.
解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值．
此时由△ABC 的面积公式可知
AD · BC＝ BP · AC.
P
代入数值，可解得 BP＝ .
探究点三： 三角形的高
面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积公式(可不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
探究点三： 三角形的高
思考1 如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？
B
C
P
D
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
思考2 通过问题 1 你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
探究点三： 三角形的高
1.学校有一块三角形的实验地，请思考如何用不同的方法将三角形面积四等分(方法不唯一).
探究点三： 三角形的高
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高线相交于一点(三角形的垂心 ).
归纳总结：三角形的三条高的特性：
探究点三： 三角形的高
第1题图
1. 如图，在△ ABC 中， BD 是角平分线，
若∠ ABC ＝72°，则∠ ABD ＝ °.
36　
2. [作图易错]如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段 CD （　C　）
A. 是 AC 边上的高
B. 是 BC 边上的高
C. 是 AB 边上的高
D. 不是△ ABC 的高
第2题图
C
3. 在△ABC 中，AB = 18，BC = 16，BD 是 AC 边上的中线，若△ABD 的周长为 41，那么△BCD 的周长
是（ ）
A. 39 B. 41
C. 43 D. 无法确定
A
4.[规范作答]如图，已知△ABC.
(1) CD 是△ABC 的高，
则∠ADC＝ ＝90°，
∠BDC
S△ABC＝ ；
(2) CE 是△ABC 的中线，则AE＝ ＝ ，
S△BCE＝S△BCE＝ S△ABC；
BE
AB
（3）CF 是△ABC 的角平分线，
则∠ACF＝∠ ＝ ∠ .
BCF
ACB
5. 如图，已知 AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线.
（1）[作图通关] 作出△ ABD 的边 BD 上的高；
解：（1）如图， AE 即为所求.
（2）若△ ABC 的面积为10，
则△ ADC 的面积为 ；1）如图， AE 即为
5　
（3）若△ ABD 的面积为6，且 BD 边上的高为3，求
BC 的长.
解：（3）∵ AD 是△ ABC 的边
BC 上的中线，
△ ABD 的面积为6，
∴△ ABC 的面积为12.
∴ BC · AE ＝12.
由题可知 AE ＝3，∴ BC ＝8.
三角形的重要线段
高
三条高或其所在直线相交于一点
中线
等分边，等分三角形的面积
三条中线相交于三角形内部一点，这个交点是三角形的重心
角平分线
三角形的内角被分成两个相等的角
三条角平分线相交于三角形内部一点
垂线，90°角

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