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1.2 提公因式法
第一章 因式分解
第1课时 提单项式公因式
学习目标
1. 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点）
2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点）
问题：整数 18，42，60 的最大公因数是什么？
18 = 6×3
42 = 6×7
60 = 6×10
6
思考：多项式 z2 + yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？
每一项中均有因式 z
z2 的因式是 z 和 z
yz 的因式是 y 和 z
pa + pb + pc
提单项式公因式分解因式
几个多项式的相同因式称为它们的公因式.
相同因式 p
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2 ＋ x
相同因式 x
1
(a + b + c)
pa + pb + pc
p
=
像上面这样，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法.
找 3 x 2 – 6 x y 的公因式.
系数：
最大公因数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x
指数：
相同字母的最低次数
1
问题2 如何确定一个多项式的公因式？
正确找出多项式的公因式的步骤：
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母的最低次数.
1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
典例精析
例1 把 4x2－6x3 因式分解．
分析： 1. 定系数：多项式由 4x 和 －6x3 这两项组成，它们的系数分别为 4，－6，不考虑其符号，则 4 与 6 的最大公因数是 2；
2. 定字母：这两项都含有字母 x，
3. 定指数： x 的最低次数为 2.
因此，可提出公因式 2x .
解：4x2－6x3 = 2x (2－3x).
例2 把 8x y4－12xy z 因式分解．
解： 8x y4－12xy z＝ 4xy · 2xy －4xy · 3z
＝4xy (2xy －3z).
议一议
三名同学对多项式 2x ＋4x 进行因式分解，结果如下：
(1) 2x + 4x = 2(x + 2x)；(2) 2x + 4x = x(2x + 4)；
(3) 2x + 4x = 2x(x + 2).
上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？
注意：公因式要提尽.
(1)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 x.
(2)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 2.
(3) 正确.
注意：某项提出莫漏 1.
例3 把多项式 5x －3xy＋x 因式分解.
分析： 1. 定系数：多项式由 5x ，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1；
2. 定字母：这三项都含有字母 x，
3. 定指数： x 的最低次数为1.
因此，可提出公因式x.
解：5x －3xy＋x＝x(5x－3y＋1).
例4 把多项式 －3x ＋6xy－3xz 因式分解.
注意：首项有负常提负.
分析：多项式 －3x ＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解.
解：－3x ＋6xy－3xz = －(3x －6xy＋3xz)
=－3x(x－2y＋z).
1.因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a －9ab；
(3) －5a + 25a.
解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).
练一练
(2) 3a －9ab = 3a(а－3b).
(3) －5a + 25a = －5a(a－5).
2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.
所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28.
解：因为 a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.
1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
2. 下列多项式的因式分解，正确的是（　　）
A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz）
B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2）
C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z）
D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a）
B
C
3. 把下列各式分解因式：
(1) 8m2n + 2mn = _____________；
(2) 12xyz - 9x2y2 = _____________；
(3) - x3y3 - x2y2 - xy = _________________.
2mn ( 4m + 1)
3xy ( 4z - 3xy)
- xy ( x2y2 + xy + 1)
4. 把 - 24x3 - 12x2 + 28x 分解因式.
5. 简便计算：
(1) 1.992 + 1.99 × 0.01；
(2) 20002 + 2000 - 20012；
(3) (- 2)101 + (- 2)100.
(2) 原式 = 2000×(2000+1) - 20012
= 2000×2001 - 20012 = 2001×(2000 - 2001)
= -2001．
解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98.
(3) 原式 = (- 2)100×(- 2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100.
6. 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值.
解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.
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2. 确定公因式的方法：
一看系数，二看字母，三看指数.
1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式.
3. 用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏项；
（3）多项式的首项取正号.

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