资源简介

(共22张PPT)
1.1 多项式的因式分解
第1章 因式分解
1.理解因式分解的意义和概念；
2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
学习目标
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？
6 ＝ 2×3
问题2 x2 － 1 等于 x + 1 乘哪个多项式？
因式分解
1
(1) 因为(x + 1) = ，
所以 x + 2x + 1 = (x + 1)( )；
(2) 因为 x(x－) = ，
所以 x －x = x( ).
做一做
x + 2x + 1
x + 1
x－
x －x
观察 “所以”后面的式子，有什么共同点？
都是一个多项式化为几个多项式的积的形式
整式的乘法
一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式.
知识要点
单项式可看作只有一项的多项式
↗
由于 x + 2x + 1 = (x + 1) ，
则 x + 1 是多项式 x + 2x + 1 的因式.
类似地，由于 x －x = x(x－)，
则 x 和 x－ 都是 x －x 的因式.
定义：
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.
x + 2x + 1 = (x + 1)
x －x = x(x－)
知识要点
例1 填空：
典例精析
因为(x－2)(x－3) = ，
所以 = (x－2)(x－3)
是多项式 的因式分解.
解：(x－2)(x－3) = x －3x－2x＋(－2)×(－3)
= x －5x＋6，
因此三个空格都填写 x －5x＋6.
x －5x＋6
x －5x＋6
x －5x＋6
x2 － y2 ( x + y )( x － y )
因式分解
多项式的乘法
x2 － y2 = ( x + y )( x － y )
因式分解等式的特征：
左边是多项式，
右边是几个多项式的乘积.
想一想：多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？
是互逆的变形过程，即
(1) x(x－2y) = x2－2xy；
(2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1；
典例精析
例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
解：(1) 不是因式分解，理由：它是整式的乘法.
(2) 不是因式分解，理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.
(4) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1.
(3) 3x2－x = x(3x－)；
(4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1).
(3) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和 3x－.
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
把多项式因式分解的重要用处之一是：
可以较简便地求出关于 x 的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为 0.
归纳总结
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有
；不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x ·8xy
x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2
C. y2﹣2 = ( y + 1)( y﹣1)
D. ax + bx + c = x(a + b) + c
E. 2a3b = a2 2ab
F. x + 3 = x (1 + )
×
×
×
×
×
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：
(1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式；
(3) 右边是整式的乘积的形式.
判一判：
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把因式分解后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较，使其分别相等即可.
归纳总结
1.下列多项式中，分解因式的结果为﹣(x + y)(x﹣y) 的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2
C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2
B
练一练
x2﹣y2
9﹣25x2
x2 + 2x + 1
xy﹣y2
(x + 1)2
y(x﹣ y)
(3﹣5x)(3 + 5x)
(x + y)(x﹣y)
1. 连线：
2. 根据整式乘法的经验把下列多项式因式分解：
；
解：
3. 判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解：
(1) x2﹣4y2 = (x + 2y)(x﹣2y)
(2) 2x(x﹣3y) = 2x2﹣6xy
(3) (5a﹣1)2 = 25a2﹣10a + 1
(4) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
(5) 2πR + 2πr = 2π(R + r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
4. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值.
解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4，
所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b).
则 x4 + mx3 + nx﹣16
= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b.
比较系数得
a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16.
解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20.
所以 mn =﹣5×20 =﹣100．
5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为
( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值.
解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，
所以 a = 6.
同理，乙看错了 a，但 b 是正确的，
分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，
所以 b = 9.
因此 a + b = 15.
a
a
b
a – b
a2 – b2 =
(a + b)(a – b)
7. 手工课上，老师给小南同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底．你能帮助小南同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？
b
a + b
因式分解要注意以下几点：
3. 要分解到不能分解为止.
2. 分解的结果一定是几个多项式的乘积的形式；
1. 分解的对象必须是多项式；
因式分解与多项式乘法是互逆的变形过程.

展开更多......

收起↑