资源简介

(共22张PPT)
3.3 公式法
第3章 因式分解
第1课时 利用平方差公式进行因式分解
学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化
思想．（重点）
2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进
行因式分解．（难点）
如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？
a米
b米
b米
a米
(a-b)米
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
用平方差公式进行因式分解
想一想：多项式 x2 - y2 有什么特点？你能将它因式分解吗？
是 x，y 两数的平方差的形式
)
)(
(
y
x
y
x
-
+
=
2
2
y
x
-
)
)(
(
2
2
y
x
y
x
y
x
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
1
像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
x －25＝ ＝ .
在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式：
(x＋5)(x－5)＝ ＝ .
x －5
x －25
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式
x －25因式分解：
x －5
(x＋5)(x－5)
知识要点
(5x)2 - (2y)2
典例精析
例1 把多项式 25x －4y 因式分解.
= (5x+2y)(5x-2y).
x
x
y
y
+
(
)
(
-
)
x2 - y2 =
解：原式 =
5x
2y
5x
5x
2y
2y
2y
分析 由 25x ＝(5x) 和 4y ＝(2y) 可知，
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 - ( )2的形式.
（1）a2 + b2
（2） - a2 - b2
- ( a2 + b2 )
y2 - x2
（3） - x2 + y2
（4）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
（5）m2 - 1
( m + 1 )( m - 1 )
方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
x
x
y
y
+
(
)
(
-
)
x2 - y2 =
把多项式 (x＋y) －(x－y) 因式分解.
解：原式＝
[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]
＝2x·2y＝4xy.
做一做
例2 把多项式 x4－y4 因式分解.
解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2
＝( x2＋y2 )(x2－y2 )
＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ).
因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
分解因式：
(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
针对训练
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解
例3 把多项式 x5－x3y 因式分解.
分析：多项式 x5－x3y 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解.
解：x5－x3y ＝x3(x2－y )
＝x3( x＋y )(x－y).
方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
因式分解：
(1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b.
针对训练
＝ ( a＋2b )( a－2b－1 ).
＝ 5m2( a2＋b2)( a＋b )( a－b ).
解：(1) 原式＝ 5m2( a4－b4 )
＝ 5m2( a2＋b2)( a2－b2 )
(2) 原式＝ ( a2－4b2 )－( a＋2b )
＝ ( a＋2b )( a－2b )－( a＋2b )
例4 把多项式 x4 － 9 因式分解.
解： x4－9＝( x2 )2－32
＝( x2＋3 )( x2－3 )
＝( x2＋3 )[ x2－( )2 ]
＝( x2＋3 )( x＋ )( x－ ).
方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
做一做：用简便方法计算：
(1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882.
解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 )
＝10×2.2＝22.
(2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 )
＝1×(－0.76 )＝－0.76.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例6 试说明：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n 2 = 8n.
因为 n 为整数，
所以8n 一定能被 8 整除，
方法总结：说明整除问题的基本思路，就是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
例7 已知 x2 - y2 ＝ - 2，x ＋ y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值．
所以 x - y＝ - 2 ②.
解：因为 x2 - y2＝( x ＋ y )( x - y )＝ - 2，
x ＋ y ＝ 1 ①，
联立 ①② 组成二元一次方程组，
解得
方法总结：在与 x2 - y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立组成方程组求值.
1. 下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　　）
A．a2 ＋ ( - b)2 B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2 D． - x2 ＋ 9
D
2. 因式分解 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（　　）
A．3( x2 + 4x + 3 ) B．3( x2 + 2x + 3 )
C．( 3x + 3 )( x + 3 ) D．3( x + 1 )( x + 3 )
D
3. 若 a + b = 3，a - b = 7，则 b2 - a2 的值为（　　）
A．- 21 B．21 C．- 10 D．10
A
4. 把下列各式因式分解：
(1) 16a2 - 9b2 =__________________；
(2) ( a + b )2 - ( a - b )2 =_______；
(3) 9xy3 - 36x3y =____________________；
(4) - a4 + 16 =______________________.
( 4a + 3b )( 4a - 3b )
4ab
9xy( y + 2x )( y - 2x )
( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a )
5. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则 n 的值是______.
4
6. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2
的值．
原式 = -40×5 = -200.
解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)
= (4m + n)(3n - 2m)
= -(4m + n)(2m - 3n).
当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，
7. 如图，在边长为 6.8 cm 的正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得剩余部分面积为：
6.82 - 4×1.62
＝ 6.82 - (2×1.6)2
＝ 6.82 - 3.22
＝ (6.8 + 3.2)(6.8 - 3.2)
＝ 10×3.6
＝ 36 (cm2).
答：剩余部分的面积为 36 cm2.
8. (1) 992 - 1 能被 100 整除吗？
解：(1) 因为 992 - 1 = ( 99 + 1)( 99 - 1 ) = 100×98，
所以 ( 2n + 1)2 - 25 能被 4 整除.
(2) n 为整数，( 2n + 1)2 - 25 能否被 4 整除？
所以 992 - 1 能被 100 整除.
(2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1 - 5 )
= ( 2n + 6 )( 2n - 4 )
= 2( n + 3) × 2( n - 2 ) = 4( n + 3 )( n - 2 ).
平方差公式分解因式
公式
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解

展开更多......

收起↑