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1.3 公式法
第一章 因式分解
第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
学习目标
1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点）
2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解
进行计算．（难点）
1. 什么叫因式分解？
把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式.
2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？
① 提公因式法
② 平方差公式
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
用完全平方公式分解因式
1
请说出完全平方公式.
说一说
完全平方公式1： ，
完全平方公式2： .
(x＋y) = x ＋2xy＋y
(x－y) = x －2xy＋y
例如：在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式
x ＋4x＋4 因式分解： x ＋4x＋4 = .
(x＋2) = .
(x＋2)
x ＋4x＋4
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.
2
x
y
+ y2
±
= (x ± y)
x2
首2
+ 尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
例1 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解：
分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1 ，2·3x·1 = 6x，
因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解.
解： 9x2－6x＋1
= (3x－1)2.
= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12
典例精析
例2 把下列多项式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2；
解：(1) －4x2＋12xy－9y2
＝－(4x －12xy＋9y )
＝－[(2x) －2·2x·3y＋(3y) ]
＝－(2x－3y) .
分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解.
(2) x5＋2x3y＋xy2.
(2) x5＋2x3y＋xy2
＝x(x4＋2x y＋y )
＝x[(x ) ＋2·x ·y＋y ]
＝x(x ＋y) .
分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解；
例3 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解.
解： x4－2x2＋1
＝(x ) －2·x ·1＋1
＝(x －1)
＝[(x＋1)(x－1)]
＝(x＋1) (x－1) .
做一做
可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y) －4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试.
分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4.
解：(x＋y) －4(x＋y)＋4
＝(x＋y) －2·(x＋y)·2＋2
＝(x＋y－2) .
分解因式：
(1) - 3a2x2 + 24a2x - 48a2；
(2) ( a2 + 4 )2 - 16a2.
针对训练
＝( a2 + 4 + 4a )( a2 + 4 - 4a )
解：(1) 原式＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 )
＝ - 3a2( x - 4 )2.
(2) 原式＝( a2 + 4 )2 - ( 4a )2
＝( a + 2 )2( a - 2 )2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
例4 利用完全平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ；
(2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，
= 1.
= 2500.
例5 已知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29＝0，求 x2y2 + 2xy + 1 的值.
＝ 112 ＝ 121.
解：由题可知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29
因为 (x - 2)2 ≥ 0，(y - 5)2 ≥ 0，
所以 x - 2＝0，y - 5＝0，
所以 x＝2，y＝5.
所以 x2y2 + 2xy + 1 ＝ ( xy + 1 )2
几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0
＝ x2 - 4x +4+ y2 - 10y + 25
＝ (x - 2)2 + (y - 5)2
＝0，
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式的性质解决问题．
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( )
A．a2 + 1 B．a2 - 6a + 9
C．x2 + 5y D．x2 - 5y
2. 把多项式 4x2y - 4xy2 - x3 因式分解的结果是 ( )
A．4xy( x - y ) - x3 B． - x( x - 2y )2
C．x( 4xy - 4y2 - x2 ) D． - x( - 4xy + 4y2 + x2 )
3. 若 m ＝ 2n + 1，则 m2 - 4mn + 4n2 的值是_____．
B
B
1
4. 若关于 x 的多项式 x2 - 8x + m2 是完全平方式，则 m 的值为______．
±4
5. 把下列多项式因式分解：
（1）x2 - 12x + 36；（2）4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1；
（3）y2 + 2y + 1 - x2.
(2) 原式 = [2(2a + b)] - 2×2(2a + b)·1 + 1
= (4a + 2b - 1)2.
解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + 62
= (x - 6)2.
(3) 原式 = (y + 1) - x
= (y + 1 + x)(y + 1 - x).
(2) 原式
6. 计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
7. 因式分解：(1) 4x2 + 4x + 1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来.
x2 - 2x + 3.
(2)原式＝ (x2 - 6x + 9)＝ (x - 3)2.
解:(1)原式＝(2x)2 + 2×2x 1 + 1＝(2x + 1)2.
小聪: 小明:
×
×
8. (1) 已知 a - b＝3，求 a(a - 2b) + b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a + b＝5，求 a3b + 2a2b2 + ab3 的值.
原式＝2×52＝50.
解：(1) 原式＝a2 - 2ab + b2＝(a - b)2.
当 a - b＝3 时，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2 + 2ab + b2)＝ab(a + b)2.
当 ab＝2，a + b＝5 时，
利用完全平方公式因式分解
公式
a2±2ab＋b2 = (a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负.

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