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小结与复习
第一章 因式分解
1. 把一个多项式表示成若干个多项式的　 形式，
称为把这个多项式_________，也称为__________；
2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______：
前者是把一个多项式化为几个多项式的______，
后者是把几个多项式的______化为一个________.
一、因式分解
因式分解
乘积
分解因式
多项式的乘法
相反
多项式
乘积
乘积
二、提公因式法
1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个
多项式各项的________，简称多项式的________.
2. 公因式的确定：
(1)系数：取多项式各项整数系数的 ；
(2)字母：取多项式各项中　 　的字母；
(3)各字母的指数：取次数最　 　的．
公因式
公因式
最大公因数
相同
最低
3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把
_______提到括号外边，作为积的一个_____，这
种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法.
分配
公因式
因式
三、公式法 —— 平方差公式
1. 因式分解中的平方差公式 a2 - b2 ＝　 　 ；
2. 多项式的特征：(1) 可化为____个整式；
(2) 两项符号______；
(3) 每一项都是整式的______.
3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；
(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止.
( a + b )( a - b )
两
相反
平方
四、公式法 —— 完全平方公式
1.完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2，
a2 - 2ab + b2 = ( )2.
2.多项式的特征：(1)三项式；
(2)有两项符号_____，能写成两个
整式的_________的形式；
(3)另一项是这两整式______的
_____倍.
3.注意事项：有公因式时，应先提出_______.
a + b
a - b
相同
平方和
乘积
2
公因式
考点一 因式分解与整式乘法的关系
例1 判断下列各式变形是不是因式分解，并说明理由：
(1) a2 - 4 + 3a = ( a + 2 )( a - 2 ) + 3a；
(2) ( a + 2 )( a - 5 ) = a2 - 3a - 10；
(3) x2 - 6x + 9 = ( x - 3 )2；
(4) 3x2 - 2xy + x = x( 3x - 2y )2.
【总结】①多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件：第一，等式的左边是一个多项式；第二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；②判断过程要从左到右保持恒等变形.
不是
不是
是
不是
不是积的形式
是整式乘法
不是恒等变形
考点二 提公因式法因式分解
例2 分解因式：
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
(2) 2a(b + c) - 3(b + c)；
(3) (a + b)(a - b) - a - b.
解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2 + 3bc).
(2) 原式 ＝ (b + c)(2a - 3).
(3) 原式 ＝ (a + b)(a - b - 1)．
方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
1. 把下列多项式因式分解：
针对训练
例3 计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14.
考点三 利用提公因式法求值
解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)＝13×20＝260.
(2) 29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14
＝20.22×(29＋72＋13－14)＝2022.
2. 已知 a = 9 - b，ab = 4，求 a2b ＋ ab2 的值．
解：因为 a = 9 - b，ab = 4，所以 a＋b=9 ，
所以原式 = ab( a＋b )
= 4×9 = 36.
方法归纳 原式提取公因式变形后，将 a＋b 与 ab 作为一个整体代入计算即可得出答案．
针对训练
考点四 平方差公式因式分解
例4 分解因式：
(1) ( a ＋ b )2 － 4a2； (2) 9( m ＋ n )2 － ( m － n )2.
解：(1) 原式 ＝ ( a ＋ b ＋ 2a )( a＋b－2a )
＝ ( 3a＋b )( b －a ).
(2) 原式 ＝ ( 3m ＋ 3n ＋ m － n )( 3m ＋ 3n － m ＋ n)
＝ ( 4m ＋ 2n )( 2m ＋ 4n )
＝ 4( 2m ＋ n )( m ＋ 2n ).
3. 已知 x2 － y2 ＝－1，x ＋ y ＝ ，求 x － y 的值．
解：因为 x2 － y2 ＝ ( x ＋ y )( x － y ) ＝ －1，
x ＋ y ＝ ，
所以 x － y ＝ －2.
针对训练
4. 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100 cm，向里依次为 99 cm，98 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积
的差，
而正方形的面积是其边长的平方，
则S阴影＝( 1002 - 992 ) + ( 982 - 972 ) + … + ( 22 - 12 )
＝100 + 99 + 98 + 97 + … + 2 + 1 ＝ 5050．
答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.
考点五 完全平方公式因式分解
例5 因式分解：
(1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2)( a2 + 4 )2 - 16a2.
解：(1) 原式 ＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 )
＝ - 3a2( x - 4 )2.
(2) 原式 ＝ ( a2 + 4 )2 - ( 4a )2
＝ (a2 + 4 + 4a)( a2 + 4 - 4a )
＝ ( a + 2 )2( a - 2 )2.
5. 已知 a + b = 5，ab = 10，求 a3b + a2b2 + ab3 的值．
解： a3b + a2b2 + ab3 ＝ ab( a2 + 2ab + b2 )
＝ ab( a + b )2.
当 a + b ＝ 5，ab ＝ 10 时，
原式＝ ×10×52 ＝ 125.
因式分解
定义
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式

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