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十字相乘法与分组分解法
第一章 因式分解
学习目标
1. 理解并掌握用十字相乘法和分组分解法分解因式；（重点）
2. 能准确识别适用于十字相乘法和分组分解法的多项式，熟练运用这两种方法进行因式分解.（难点）
整式乘法
因式分解
一个多项式
几个整式的积
1.因式分解和整式乘法的关系是？
2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
是相反方向的变形
①提公因式法：
②公式法：
pa + pb + pc = p(a + b + c)
1. a2 - b2 = (a + b)(a - b)
2. a2±2ab + b2 = (a ± b)2
十字相乘法因式分解
探究：1.计算：
(1) (x + 2 )(x + 3) = ___________；
(2) (x + 1)(x - 4) =____________；
(3) (x + 4 )( x - 2) =____________；
2. 根据题 1 和等式的性质填空：
(1) x2 + 5x + 6 = ______________ ；
(2) x2 - 3x - 4 =_______________；
(3) x2 + 2x - 8 =_______________；
x2 + 5x + 6
x2 - 3x - 4
x2 + 2x - 8
( x + 2 )( x + 3 )
( x + 1 )( x - 4 )
( x + 4 )( x - 2 )
1
观察因式分解算结果，你能发现什么规律？
多项式 常数项 一次项的 系数 分解因式
x2 + 5x + 6 6 5 (x + 2)(x + 3)
x2 - 3x - 4 - 4 - 3 (x + 1)(x - 4)
x2 + 2x - 8 - 8 2 (x + 4)(x - 2)
x2 + (p + q)x + pq =
规律
(x + p)
(x + q).
2×3
2 + 3
1×(-4)
1 + (-4)
4×(-2)
4 + (-2)
可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解.
多项式 x ＋5x＋6 分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：
x ＋5x＋6
③然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数.
x ＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
②再分解常数项，
分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
1
1
2
3
1×3＋1×2＝5
典例精析
例1 分解因式：x2－5x＋6.
解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为－2，－3，它们的乘积等于常数项6，交叉数的乘积之和为
1×(－3)＋1×(－2)＝－5，
它是一次项的系数，因此
x －5x－6＝(x－2)(x－3)
1
1
－2
－3
(1) (x－1)(2x－5)＝ ；
合作探究
(2) (3x＋1)(x＋3)＝ ；
2x －7x＋5
探究：计算：
3x ＋10x＋3
(3) (dx＋m)(ex＋n)＝ .
根据等式的性质填空：
(1) 2x －7x＋5＝ ______________ ；
(2) 3x ＋10x＋3＝_______________；
(3) dex ＋(em＋dn)x＋mn＝ .
dex ＋(em＋dn)x＋mn
(x－1)(2x－5)
(3x＋1)(x＋3)
(dx＋m)(ex＋n)
知识要点
一般地，对于二次多项式 ax ＋bx＋c，
ax ＋bx＋c＝(dx＋m)(ex＋n)
这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法.
① 画一个十字交叉线，使得左边两个数 d，e 的乘积等于二次项系数 a，
② 右边两个数 m，n 的乘积等于常数项 c，
③ 交叉数的乘积之和 dn＋em 等于一次项系数b，
如图所示，则
d
e
m
n
例2 把多项式 10x ＋23x＋12 因式分解.
解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，5，右上角和右下角分别写3，4，
2
5
3
4
因此 10x ＋23x＋12＝(2x＋3)(5x＋4)
左边两个数的乘积等于二次项系数10，
右边两个数的乘积等于常数项12，
交叉数的乘积之和为2×4＋5×3＝23，
它是一次项的系数，
练一练
1. 把下列多项式因式分解：
(1) x2－4x－5；
解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为1，－5，它们的乘积等于常数项－5，交叉数的乘积之和为
1×1＋1×(－5)＝－4，
它是一次项的系数，因此
x2－4x－5＝(x＋1)(x－5)
1
1
1
－5
(2) 6x2＋11x＋3.
解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，3，右上角和右下角分别写3，1，
2
3
3
1
因此 6x2＋11x＋3＝(2x＋3)(3x＋1).
左边两个数的乘积等于二次项系数6，
右边两个数的乘积等于常数项3，
交叉数的乘积之和为2×1＋3×3＝11，
它是一次项的系数，
利用分组法因式分解
2
例3 把多项式 x3－x －x＋1 因式分解.
分析：x3－x －x＋1 既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法.
但若将其恰当分组，如分为 x3－x 与 －x＋1 两组，则可继续进行因式分解.
例3 把多项式 x3－x －x＋1 因式分解.
解：x3－x －x＋1
＝(x3－x )－(x－1)
＝x (x－1)－(x－1)
＝(x－1)(x －1)
＝(x－1)(x＋1)(x－1)
＝(x＋1)(x－1) .
像例3那样，利用分组来分解因式的方法叫作
分组分解法
小结：分组后再用公式法.
练一练
2. 把下列多项式因式分解：
(1) x －y －3x－3y；
解：x －y －3x－3y
＝(x －y )－(3x＋3y)
＝(x－y)(x＋y)－3(x＋y)
＝(x＋y)(x－y－3).
(2) x －10x＋25－y .
解：x －10x＋25－y
＝(x －10x＋25)－y
＝(x－5) －y
＝(x－5＋y)(x－5－y).
1.下列因式分解正确的是( )
A．x3－4x = x(x2－4) B．x2－x－2 = (x + 1)(x－2)
C．x2 + 2x－1 = (x－1)2 D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 1
2.把多项式 x2 + mx－5 因式分解成 (x + 5)(x－n)，则
m 的值为( ).
A．m = 4 B．m = 3 C．m = 6 D．m = 5
B
A
3.因式分解：(1) 2x2 + 6xy + 4y2；
(2) -3a2 + 18a - 24；
(3) 2x2 - x - 10.
解：(1) 原式＝2(x2 + 3xy + 2y2)
＝2(x + y)(x + 2y).
(2) 原式＝-3(a2 - 6a + 8)
＝-3(a - 2)(a - 4).
(3) 原式＝(x + 2)(2x - 5)
1
2
2
-5
4. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax－1.
(1) 若 A＋B＝(x－2)2，求 a 的值；
(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.
解：(1) 因为A＋B＝x(x＋3)＋5＋ax－1
＝x2＋(3＋a)x＋4，
＝x2－4x＋4，
且 A＋B＝(x－2)2，
所以 3＋a＝－4.
所以 a＝－7.
(2) 因为A－B＝x(x＋3)＋5－(ax－1)
＝x2＋(3－a)x＋6，
且 A＋B＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，
所以 3－a＝－5.
(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.
所以 a＝8.
5. 分解因式：3ax＋4by＋4ay＋3bx.
解：3ax＋4by＋4ay＋3bx
＝(3ax＋3bx)＋(4by＋4ay)
＝3x(a＋b)＋4y(a＋b)
＝(a＋b)(3x＋4y)
十字相乘法与分组分解法
十字相乘法公式
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
ax ＋bx＋c＝(dx＋m)(ex＋n)
一分：先分组；
二提：公因式；
三套：公式；
四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
分组分解法步骤

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