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11.1 平面内点的坐标
第11章 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系的概念
1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系；（重点）
2.在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，并能求出顺次连接所得图形的面积.（难点）
学习目标
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北斗卫星导航定位系统
小明父子俩周末去电影院看大片，他们买了两张票，座位号分别是 3 排 6 号和 6 排 3 号.怎样才能既快又准确地找到座位？
问题1：在数轴上，如何确定一个点的位置呢？
A 点记作 -2，B 点记作 3.
例如：
在数轴上一般用一个实数就可以表示一个点的位置.
-1
0
1
2
3
4
-2
-3
A
B
.
.
平面直角坐标系中点的坐标表示
1
问题2：如图是某教室学生座位的平面图，你能描述小明和小红同学座位的位置吗？
1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
小明
小红
行
列
讲台
（1）在电影票上“6 排 3 号”与“3 排 6 号”中的“6”的含义有什么不同？你能找到它们对应的位置吗？
（2）如果将“6 排 3 号”简记作(6 ，3)，那么“3 排 6 号”如何表示？(5 ，6)表示什么含义？ (6 ，5)呢？
(3) 在只有一层的电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？
答:两个数据，排数和号数.
问题3：根据导入新课中的情景回答下列问题：
思考：怎样确定一个点在平面内的位置呢？
可以参照数轴上表示点的方法.
优化
平面直角坐标系：
水平的数轴叫作 x 轴或横轴，取向右为正方向
在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 xOy .
这个平面叫作坐标平面.
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
O
y
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
竖直的数轴叫作 y 轴或纵轴，取向上为正方向
两轴的交点 O 为原点
x
O
练一练：1.下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ）
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
x
y
（A）
3 2 1 -1 -2 -3
x
y
（B）
3
2
1
-1
-2
0
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
（C）
O
3
2
1
-1
-2
-3
-3 -2 -1 1 2 3
y
（D）
O
D
规定把横坐标写在前，纵坐标写在后，记作：P(-2，3).
(-2，3) 就叫作点 P 在平面直角坐标系中的坐标，简称点 P 的坐标，P 表示为 (-2，3).
-4 -3 -2 -1 O1 2 3
1
2
3
4
-1
-2
-3
x
y
思考：如图的点 P 如何表示呢？
后由 P 点向 y 轴作垂线，垂足 N 在 y 轴上的坐标是 3，称为 P 点的纵坐标.
N
M
P
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一对有序实数来表示了.
先由 P 点向 x 轴作垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 -2，称为 P 点的横坐标；
点 横坐标 纵坐标 坐标
A 4 2 (4，2)
B 2 4 (2，2)
C
D
E
F
1. 把图中 C，D，E，F 各点对应的坐标填入下表：
C
E
A
B
F
D
-3
-2
3
-3
(-3,-2)
-3
( 3, -3)
0
(-3, 0)
0
1
( 0, 1)
操作
C
E
A
B
F
D
点 A 的坐标是(4，2)，
点 B 的坐标是(2，4).
可见，(4，2)与(2，4)表示的两个点是不同的.
表示平面上点的坐标是一个有序实数对.
归纳总结
2. 在平面直角坐标系中，描出下列各点：
A( 3， 4)，B ( 3，-2)，C(-1，-4)，D (-2， 2)，E( 2， 0)，F ( 0，-2).
A(3，4)
D(-2，2)
E(2，0)
F(0，-2)
B(3，-2)
C(-1，-4)
操作
知识要点
通过建立平面直角坐标系，我们把平面内的点与有序实数对一一对应起来，即对于坐标平面内任意一点 P，都有唯一的一个有序实数对 ( x，y) 和它对应；反之，对于任意一个有序实数对 ( x，y) ，在坐标平面内都有唯一的点 P 和它对应.
一般地，如果平面直角坐标系内点 P 的横坐标为 x，纵坐标为 y ，我们就说有序实数对 ( x，y) 是点 P 在平面直角坐标系中的坐标，记作 P (x，y).
画一画：你能在直角坐标系里描出点 A(-4，-5)，B(-2，0)，
C(4，0)吗？并连线．
A
B
C
●
●
●
O
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
坐标平面内图形面积的计算
2
问题：你能求出△ABC 的面积吗？
解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D.
因为 A (-4，-5)，
所以 D (-4，0) .
由点的坐标可得
AD = 5 ，BC = 6，
所以 S△ABC =
.
D
例1 在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来得到一个封闭图形，说说得到的是什么图形，并计算它们的面积.
(1) A ( 5，1)，B ( 2， 1)，C (2，-3)
(2) A (-1，2)，B (-2，-1)，C (2，-1)，D (3，2)
典例精析
(2)得到一个平行四边形，
如图所示.
所以 S = 3×4 = 12.
(1)得到一个直角三角形，
如图所示.
所以 S = ×3×4 = 6.
例2 如图，已知点 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，求△ABC 的面积．
解析：本题宜用补形法．
分别过点 A 作 x 轴的平行线，过点 C 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 E，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，分别交 EC 的延长线于点 D，交 EA 的延长线于点 F，然后根据 S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA 即可求出△ABC 的面积．
D
E
F
解：如图，作辅助线.
因为 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，
所以 BD＝3，CD＝1，CE＝3，
AE＝1，AF＝2，BF＝4，
所以 S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA
＝BD·DE－ DC·DB－ CE·AE－ AF·BF
＝12－1.5－1.5－4
＝5.
D
E
F
本题主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积．已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：
方法一：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高；
方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差；
方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．
归纳总结
1.如图，点 A 的坐标为( )
A. ( -2， 3)
B. ( 2，-3)
C . ( -2，-3)
D . ( 2 ， 3)
x
y
O
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
A
A
y
A
B
C
2.已知 A(1，4)，B(-4，0)，C(2，0).
△ABC的面积是＿＿＿．
12
O
(1，4)
(-4，0)
(2，0)
C
y
A
B
(-4，0)
(2，0)
O
3.若 BC 的坐标不变，△ABC 的面积为 6，点 A 的横坐标为 -1，那么点 A 的坐标为 ．
(-1，2)或(-1，-2)
4.已知点 A、B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB 的面积.
解：由图可知 A(-1，2) ， B(3，-2)得C(1，0) ， D(3，0) ，E(-1，0).
由点的坐标可知 AE = 2 ，OC = 1，BD = 2 .
S△AOB = S△AOC + S△BOC
= OC·AE +　OC·BD
= ×1×2 + ×1×2 = 2.
O
-2 -1 1 2 3 4
x
y
3
1
-1
-3
A
B
C
E
D
在坐标平面内描点作图
坐标平面内图形面积的计算
平面直角坐标系
构成：原点、坐标轴

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