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2024-2025学年天津市西青区当城中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本大题共20小题，共80分。
1.设全集，，，则
A. B. C. D.
2.命题“”的否定为( )
A. B.
C. D.
3.下列运算正确的个数是( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
4.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值
6.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.某高校外语系有名志愿者，其中有名男生，名女生，现从中选人参加某项测试赛的翻译工作，若要求这人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.已知，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.甲乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起已知甲乙两家工厂加工的零件数分别占总数的现从中任取一个零件，则取到次品的概率为( )
A. B. C. D.
11.某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于分的人数是，则该班的学生人数是( )
A. B. C. D.
12.某公司研发新产品投入金额单位：万元与该产品的收益单位：万元的组统计数据如下表所示由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是( )
A. 与有正相关关系
B.
C. 当新产品投入金额为万元时，该产品的收益大约为万元
D. 当时，残差为残差观测值预测值
13.已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
14.在件产品中有件一等品和件二等品，如果不放回地依次抽取件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是
A. B. C. D.
15.已知随机变量的分布列如下表：
若，则( )
A. B. C. D.
16.下列有关一元线性回归分析的命题正确的是( )
A. 在儿子身高关于父亲身高的经验回归方程中，若父亲身高每增加，其儿子身高平均增加
B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线
C. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于
D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为和，则模型乙的拟合效果更好
17.某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )
A. B. C. D.
18.今年贺岁片，第二十条、热辣滚烫、飞驰人生引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
19.在的展开式中共有项，则下列叙述中正确的结论个数为( )二项式系数之和为；各项系数之和为；二项式系数最大项为第四项；的系数为
A. B. C. D.
20.已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意，都有成立，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，24分。
21.已知为虚数单位，则 ．
22.曲线在点处的切线方程为 ．
23.已知是离散型随机变量，且，若随机变量，则 ， ．
24.已知的取值如表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中数据的值为 ．
25.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
26.函数的单调递减区间为 ．
三、解答题：本题共3小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
27.心理健康越来越受到人们的重视，某高校将录制的心理健康讲座视频放在网站上播放为了解观看该视频的人群年龄结构情况，从全市随机抽取了人，对是否观看的情况进，行调查，结果如下表：
年龄单位：岁
调查人数
观看讲座人数
以年龄岁为分界点，由以上统计数据完成下面列联表．
年龄低于岁的人数 年龄不低于岁的人数 合计
观看讲座人数
未观看讲座人数
合计
根据中列联表判断是否有的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关．
下面的临界值表供参考：
独立性检验统计量，其中
28.设函数在处取得极大值．
求的解析式；
求在区间上的最值；
若在上不单调，求的取值范围．
29.历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作．
设事件“制作一件优秀作品”，求事件的概率；
若该工艺画师进行次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件的概率；
若该工艺画师制作次，其中优秀作品数为，求的分布列和数学期望．
参考答案
1.
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20.
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23.
24.
25.
26.
27.由以上统计数据填写下面列联表，如下
年龄低于岁的人数 年龄不低于岁的人数 合计
观看讲座人数
未观看讲座人数
合计
根据公式计算，
所以有的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关
28.（1）
由题意得
即：解得：
令：，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
在单调递增，在单调递减
，，，
所以
若在上不单调，所以函数的极值点在区间内，可得
或
解得：或．
29.由题意得；
该工艺画师进行次制作，恰有一件优秀作品为事件
；
随机变量的取值为
由题意可知：
随机变量的分布列为
或者．

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