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2024-2025学年天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本大题共12小题，共60分。
1.函数在上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
2.如图，已知函数的图象在点处的切线为，则( )
A. B. C. D.
3.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
4.要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为( )
A. B. C. D.
5.某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为( )
A. B. C. D.
6.永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩年月，成功列入世界遗产名录它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻则共有种不同的排法．
A. B. C. D.
7.方程的解集是( )
A. B. C. D.
8.已知，则
A. B. C. D.
9.已知展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
10.某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为( )
A. B. C. D.
11.若函数在上有极值，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
12.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共8小题，共40分。
13.已知离散型随机变量的分布列如下表，则 ．
14.函数在上的最小值为 ．
15.
16.在的二项展开式中，常数项为 用数字作答
17.石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”处景点追忆石室读书时光若每人只去一处景点，设事件为“个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， ．
18.设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为 ．
19.现有含甲在内的名志愿者到，个村庄开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、反诈骗的知识要求每名志愿者只能选择一个村庄，且每个村庄均有人选择，若甲不单独选择一个村庄，则不同选择方案的种数为 用数字作答
20.已知函数，若关于的方程有个不同实根，则实数取值范围为 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.已知的展开式中的所有二项式系数之和为．
求的值；
求展开式中的系数．
22.某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功．
求至少回答正确一个问题的概率；
求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列．
23.已知函数，，
求的单调区间和极值点；
求使恒成立的实数的取值范围．
24.已知函数．
讨论函数的单调性；
设是函数的两个极值点，证明：．
参考答案
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21.解：由题意可得，，解得；
，
二项展开式的通项为
由，得．
展开式中的系数为．

22.解：设至少回答正确一个问题为事件，则；
这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，，
所以，，
，，
，，
随机变量的分布列是

23.解：因为，所以．
由；由．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以函数有极小值点：没有极大值点．
由恒成立恒成立．
即恒成立．
设，则．
由；由．
所以在上单调递增，在上单调递减．

24.解：由题知：．
，
令得或，
当时，或，，单调递增；
，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，或，，单调递增．
，，单调递减．
综上，当时，在区间和上单调递增，在上单调递减；
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间和上单调递增，在上单调递减．
由题意可知，，
有两个极值点，是的两正根，
则，且．
．
，
要证，
即证， 即证，
即证，即证，
令，则证明，
令，则，在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立．

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