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2024-2025学年山东省青岛市第十五中学高二下学期第三学段质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知件产品中有件次品，件正品，检验员从中随意抽取件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.井字棋起源于古希腊，是一种在格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为( )
附：
A. B. C. D.
6.已知随机变量若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则( )
A. 事件与相互独立 B. 事件与为互斥事件
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题中，其中正确的是( )
A. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．
B. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
C. 在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，则变量平均增加个单位；
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，
10.已知正数，满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量，若，则 ．
13.某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取包产品，再从该包产品中随机抽取个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含个或个二等品零件，其中含个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为 ．
14.函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定为与之间的距离叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”若函数图象上两点与的横坐标分别为，，则 ；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，当时取得极大值．
求的值；
求函数在上的最大值与最小值．
16.本小题分
某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场从年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
年份
年份代码
新建社区养老机构
根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；
若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
参考公式：线性回归方程，，．
参考数据：，
17.本小题分
已知函数．
若为上的单调函数，求的取值范围；
若函数恰有三个不同的零点，求的取值范围．
18.本小题分
新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得分，部分
选对得部分分，有选错的得分．若正确答案为两项，每对一项得分：若正确答案为三项，每对一项得分；
学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了不选和错误判断的概率如下表：
选项 作出正确判断 判断不了不选 作出错误判断
若此题的正确选项为求学生甲答此题得分的概率：
某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ随机选一个选项；Ⅱ随机选两个选项．
若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得分、得分的概率．
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
19.本小题分
维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离设维空间点集或，其中．
若，，且点，，写出所有的点的坐标；
任取维空间中的不同两点．
若，求的概率；
记随机变量，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
因为时取得极大值；
所以，，．
当时，，
由解得或；由解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
时取得极小值，不符合题意，所以舍去．
当时，
由解得或；由解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
时取得极大值，符合题意．
综上可得：．
由可知，，，
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在上极大值为，极小值为；
又由于，
函数在上的最大值是，最小值是．

16.解：由题意知，
，
，
，
所以，
，
故所求经验回归方程为；
由题可知，
该地参与社区养老的老人有人
该地参与社区养老的老人约有人

17.解：若为上的单调增函数，则在上恒成立，
即恒成立，
又，故；
若为上的单调减函数，则在上恒成立，
即恒成立，
又，故；
综上所述，若为上的单调函数，则的范围为．
定义域为，且，故为奇函数，
又，
则函数恰有三个不同的零点，等价于在有一个零点，
又，
令，则，
由可知，当时，为上的单调减函数，
又，故在恒成立，故在单调递减，
又，，故存在，使得，
则得；得；
则在上单调递增，在上单调递减，
故当，，
又，故存在，使得，
则在有一个零点；
当时，，
令，则，则在单调递增，
则，即在恒成立，
则在无零点，不符合题意；
当时，令，
则，
令，则，
若，则；
若，令得，
则得；得，
又，则在恒成立，即在恒成立，
因，则，则，
则在上单调递减，
因，
易知当时，时，
则，
则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
即在有一个零点；
综上所述，的取值范围为．

18.解：设事件表示“学生答此题得分”，即对于选项A、作出正确的判断，且对于选项B、作出正确的判断或判断不了，
所以；
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
．
对于方案：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则的所有可能取值为，，，
则，
，
，
所以；
对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：，，，
则，
，
，
所以；
要使唯独选择方案最好，则
解得：，故的取值范围为．

19.解：由定义可知，。
即，且，
所以解得满足方程的点坐标为：
固定点：设点，
因为，
因为或，或，
所以中有两项等于，两项等于，
所以满足条件的所有可能情况有，
因为两不同点所有可能情况共有种，
所以的概率．
设随机变量，其中
因为，
所以，
因为，
两边同时求导，得，
上式两边同乘，求导得
，
令，得，
所以，
因为，
所以单调递减，
因为，
所以．

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