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2024-2025学年山东省青岛市青岛第十七中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是( )
A. B.
C. D.
3.函数在上单调递增的必要不充分条件为( )
A. B. C. D.
4.小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为，，在张家界去徒步爬山的概率为，在长沙去徒步爬山的概率为，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为( )
A. B. C. D.
5.有件产品，其中件是次品，从中不放回地任取件，若表示取得次品的件数，则( )
A. B. C. D.
6.设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为，则最小值为( )
A. B. C. D.
7.某校名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择若每个景区中至少有名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，的中位数大于平均数
B. 数据，，，，，的标准差大于方差
C. 在相关分析中，样本相关系数的绝对值越小，线性相关程度越强
D. 已知随机变量服从正态分布且，则
10.爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”个环节．小光按照以上个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则( )
A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B. “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C. 表演成功的环节个数的期望为
D. 在表演成功的环节恰为个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
11.已知函数，则以下结论正确的是( )
A. 在上单调递增，在上单调递减
B.
C. 函数只有个零点
D. 存在实数，使得方程有个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，且随机变量，则 ．
13.若的展开式中的常数项为，则 ．
14.设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有组对称点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查满分分，最低分分根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励面小红旗；得分在评定为“良”，奖励面小红旗；得分在评定为“中”，奖励面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗已知统计结果的部分频率分布直方图如图：
依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；
学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取个班级，再从这个班级中随机抽取个班级进行抽样复核，求所抽取的个班级获得的奖励小红旗面数和不少于的概率．
16.本小题分
已知函数在及处取得极值．
求，的值；
若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
17.本小题分
在年春节档电影中，由饺子导演的哪吒之魔童闹海电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班人进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生
男生
总计
已知从全班人中随机抽取人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为．
请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关；
从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取人做进一步的问卷调查，再从这人中随机选出人采访发言．设这人中男生人数为，求的分布列及期望值．
附：，．
18.本小题分
已知函数．
当时，求在点处的切线方程；
若对，都有恒成立，求的取值范围；
已知，若存在，使得，求证：．
19.本小题分
在班级一次活动中，进行一个轮摸球游戏，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黄、蓝三种颜色的球，从中随机摸出一个球摸出的球不再放回，若摸到红球则试验成功；若摸到黄球，则试验失败；若摸出蓝球，则进入判定环节：判定时，放回个蓝球并取出个黄球，再从中随机摸出一个球，若第二次摸到黄球，则试验失败，否则试验成功．若成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有个红球，个蓝球，个黄球．
求第轮试验成功的概率；
某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例；
记试验结束时，试验成功的概率为，证明：．
参考数据：，，，．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：得分的频率为；得分的频率为；
得分的频率为；
所以得分的频率为
设班级得分的中位数为分，于是，解得
所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分
由知题意“良”、“中”的频率分别为又班级总数为
于是“良”、“中”的班级个数分别为．
分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为
因为评定为“良”，奖励面小红旗，评定为“中”，奖励面小红旗．
所以抽取的个班级获得的奖励小红旗面数和不少于为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级记这个事件为
则为两个评定为“中”的班级．
把个评定为“良”的班级标记为个评定为“中”的班级标记为
从这个班级中随机抽取个班级用点表示，其中这些点恰好为方格格点上半部分不含对角线上的点，于是有种
事件仅有一个基本事件所以
所抽取的个班级获得的奖励小红旗面数和不少于的概率为．

16.解：由题意得，
函数在及处取得极值，
得，解得．
此时，．
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意．
由知，在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，
由图象知，解得，
所以实数的取值范围是．

17.解：因为从全班人中随机抽取人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为，
所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生人，则男生人．
不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生人，则女生人．
列联表补充如下，
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生
男生
总计
根据列联表中的数据，计算可得
，故有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关．
由题意，按分层抽样抽取的人中，男生人数为，女生人数为．
表示从这人中随机选出人中男生的人数，所以的所有可能取值为．
则，
，
．
所以的分布列为
数学期望．

18.解：当时，，所以，所以．
又，故所求切线方程为，即．
方法一：原命题等价于对恒成立，
令，则，．
，令，．
在上单调递增，在上单调递减，
又，，又，所以，
故的取值范围为．
方法二：由题意知，当时，，又，
当时，恒成立，即在上单调递减，
所以恒成立，所以，
当时，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当，即时，在区间上单调递增，，
所以，舍去；
当即时，在上单调递减，，所以；
当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，得到，所以，
综上，的取值范围为．
，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
又且，所以．
要证，只需证明，
因为，，且函数在区间上单调递增，
所以只需证明，又因为，即证，
令，
即，注意到，
因为，
则在上单调递减，所以在上恒成立，
所以．

19.解：第轮试验中有个红球，个蓝球，个黄球，
摸到红球即试验成功的概率为，
摸出蓝球且试验成功的概率为，
所以，第轮试验成功的概率为．
由题意，，
所以，则所求经验回归方程为．
当试验轮数足够大，即足够大时，接近于，则接近于，故预测成功志愿者的比例为．
由题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为，则，
其中发生有两种可能：摸到黄球，其概率为；
先摸到蓝球再摸到黄球，其概率为．
所以，
则，
所以．

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