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2024-2025学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市第一中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.的展开式中项的系数等于，则实数( )
A. B. C. D.
4.现要从，，，，这人中选出人，安排在甲、乙、丙、丁个岗位上，如果不能安排在甲岗位上，则安排的方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.等差数列的公差是，若成等比数列，则的前项和
A. B. C. D.
6.某校举行知识竞赛，对全校参赛的名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按，，分成组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是( )
A. 图中的值为 B. 得分在的人数为
C. 这组数据的极差为 D. 这组数据的平均数的估计值为
7.已知函数是定义在上的奇函数，则实数( )
A. B. C. D.
8.已知函数，的定义域均为，且，若的图像关于直线对称，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 的最小值为 D. 在上单调递增
10.已知，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是
11.已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是( )
A. 离心率的取值范围为
B. 当时，以点为中点的椭圆的弦的斜率为
C. 存在点，使得
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线经过圆的圆心，则 ．
13.已知，是双曲线的左右焦点，过且倾斜角为的直线与的左右两支分别交于两点若，则双曲线的离心率为 ．
14.三棱锥中，平面平面，若，且，与底面所成角为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，．
求；
若的面积为，且，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，．
求证：平面平面；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度和点到平面的距离．
17.本小题分
已知函数，．
求函数在处的切线方程；
讨论函数的单调性；
无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴
求的方程；
过点的直线交于两点，求面积的最大值．
19.本小题分
某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行记甲同学第局赢的概率为．
求乙同学第局赢的概率；
求；
若存在，使成立，求整数的最小值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解法：因为，由正弦定理得，
即，
因为，则，故；
解法：因为，由余弦定理得，
整理得，可得，
由余弦定理可得．
因为，且，则，
，所以，
因为由余弦定理得，
于是，
因为，则，所以，
因此，于是的周长．

16.【详解】因为平面，平面，
，又，，平面，
平面，
又平面，平面平面．
平面，平面，，，
又，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，得，，
，
平面的法向量为，
平面与平面的夹角的余弦值为，，
解得，即，
所以，，
所以点到平面的距离为．
法二等体积法，，，，
，
，，
，
设点到平面的距离为，
由，得，
解得，
点到平面的距离为．

17.【详解】，，．
切线方程为，．
，
当时，，在上为增函数；
当时，，
令，得；令，得．
在上为增函数，在上为减函数．
无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，
即为恒成立，即，则，恒成立，
令，，
．
令，得；令，得，
则在上为增函数，在上为减函数，
，
则．

18.【详解】依题意，右焦点，则左焦点，而，轴，
则，于是，
解得，，所以椭圆的方程为．
依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去并整理得，
，解得，
设，则
则面积，
令，则，且，
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为．

19.【详解】由题意甲第局赢的概率为，
所以乙赢的概率为；
由已知时，，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以；
，即，令，则，
因为和在上递减，
所以在上递减，
因为，所以时，，则在上递减，
显然，因此要求的最小值，即求的最大值，
又，为奇数时，，
为偶数时，，且在为偶数时，是单调递减的，，
所以是中的最大值，
所以，又在上是减函数，
所以，而，故
所以，
所以满足的整数的最小值为．

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