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2024-2025学年浙江省北斗星盟高二下学期阶段性联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
2.定义集合、的“对称差集”：且已知集合，，，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 若，则
3.命题：函数的图象关于直线对称；命题：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，为空间中不重合的直线，、、为不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
5.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.在空间四边形中，、分别是、的中点，且，设，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.杭州“六小龙”企业宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技在科技领域大放异彩．现从这家企业中选出家，分别派往、、、四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；若宇树科技被选中，则必须去活动，若深度求索被选中，则不能去活动．则不同的安排方式种数是( )
A. B. C. D.
8.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，是曲线：上的两个动点，则( )
A. 曲线是中心对称图形
B. 曲线有且只有两条渐近线
C. 若，分别在第二象限和第四象限，则的最小值为
D. 曲线和圆：恰好有个公共点
11.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为，乙胜的概率为用表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则( )
A. 第一局比赛后甲的筹码个数记为，则期望 B. 四局比赛后，比赛结束的概率为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则__________．
13.的展开式中的系数为__________．
14.已知不等式对任意实数都成立，则实数的值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某社区卫生服务中心为分析居民的健康状况，对辖区内位居民进行了抽样调查．
运动时间
健康指数
表
性别 患有慢性病 未患慢性病 合计
男性
女性
合计
表
表
从位居民中随机抽取名，记录其每周运动时间小时与健康指数，数据见表求运动时间与健康指数的一元线性回归方程，并计算运动时间为小时的居民健康指数的残差．
为研究性别与是否患有慢性病的关系，统计得到位居民的数据如表所示．根据小概率值表的独立性检验，推断性别与是否患有慢性病是否有关联．
附：，；，．
16.本小题分
在中，，，将绕着旋转得到三棱锥．
求三棱锥体积的最大值．
若面面，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知是函数图象上的点．
当时，求函数在点处的切线方程．
若，点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．
18.本小题分
设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线．
求曲线的标准方程；
若直线过点，与曲线交于，两点，在轴上方，直线，交于点，直线，交于点记，到直线的距离分别为，．
(ⅰ)证明： (ⅱ)求的面积最小值．
19.本小题分
已知行列的数表 中，对任意的，，都有若当时，总有，则称数表为典型表，此时记．
若数表，，请判断，是否为典型表，并说明理由；
当时，是否存在典型表使得，若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由；
记的最小值为，求．
参考答案
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15.解：由表知，，，
所以线性回归方程为，
运动时间为小时的居民健康指数的残差
零假设居民性别与是否患有慢性病无关联，根据列联表数据，
计算得，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别与是否患有慢性病有关联，
故可以认为性别与是否患有慢性病无关联．
16.解：因为底面面积不变，所以当面面时体积最大，
过作，则面，故
又
所以
由知，可过作交延长线于点，连结，则，所以为二面角的平面角
又因为，，所以
即面与面夹角的余弦值为

17.解：当时，，所以
依题有，所以
所以所求切线方程为．
由知：，所以切线，
设，，
则，，
当时，当时，当时，即在递减，递增，所以有唯一零点，符合题意
当时，，即在递减，所以有唯一零点，符合题意
当时，令，解得即在递减，递增，递减
又，，当时，当时，所以有两个零点，不符合题意
当时，同理可知令，解得即在递减，递增，递减
又，，当时，当时，有两个零点，不符合题意
综上所述：或．
18.解：设，则，所以，，
所以，即，，所以的方程，
设，，依题意知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，所以，
，
所以，，所以，当且仅当时取等号
由知：，
，
设，，
由题意知，，，，
由题意知，，，，
即，所以，，，所以，即在直线上，
同理可证：在直线上，故AB，
因为直线的方程为，直线的方程为，
由，得，，
所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为
所以的面积最小值为．
19.解：对于数表，有，
而，不符合定义，
故B不是典型表
对于数表，当时，总有，
所以数表是典型表；
假设存在典型表使得，
则中含有个，个，
所以至少有一行中含有的个数不少于，
若第一行有个时，则该行项所在列的和不小于，
此时
若第一行有个或个时，则该行项所在列的和不小于，
此时
以上均与矛盾，故假设不成立，
即不存在典型表使得；
不妨设典型表的第行含有的个数是所有行与列中最少的，
并设的个数为，
则对于该行的个，每个所在的列各数字之和不小于，
对于该行的个，每个所在的列各数字之和不小于，
所以
所以
故．
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