资源简介

2024-2025学年浙江省卓越联盟高二下学期5月阶段性联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若复数，则为( )
A. B. C. D.
3.展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，若，则，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.将个颜色互不相同的球全部放入编号为和的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.刍甍是中国古代算术中的一种几何形体，九章算术中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”卷五“商功”：今有刍甍，下广丈，下袤丈；上袤丈，无广；高丈．其描述的是如图的一个封闭五面体，底面是矩形，，，，底面，到底面的距离为，则该刍甍的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. ，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
C. 甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为，则样本容量为
D. 已知随机变量，且，则
10.将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线：，则( )
A. B. 的一条对称轴是
C. 在上有个零点 D. 在上单调递增
11.如图，正方体的棱长为，点是其侧面上的一个动点含边界，点是线段上的动点，则( )
A. 存在点，，使得平面与平面平行
B. 存在点，，使得二面角大小为
C. 当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
D. 当为中点时，四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，则________．
13.在梯形中，，，，为线段上的动点，则的最小值为 ．
14.若存在，满足，则实数的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是奇函数．
求的值，并判断的单调性简要说明，无需证明；
若对于，都有成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，当角最大时，求．
18.本小题分
杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某平台天预订票销售情况：
日期
销售量万张
经计算可得：，，．
因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该平台在第天时系统异常，现剔除第天数据，求关于的线性回归方程结果中的数值用分数表示；
该景点推出团体票，每份团体票包含张门票，其中张为有奖门票可凭票兑换景点纪念品，的分布列如下：
今从某份团体票中随机抽取张，恰有张为有奖门票，求该份团体票中共有张有奖门票的概率．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
19.本小题分
已知函数，，其中，是的一个极值点，且．
求函数的单调区间；
求实数和的值；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以 ，
经检验，符合题意，所以，
因为，
为上的单调增函数，且，故为上的单调减函数，
则函数在上是减函数
不等式可转化为，
又因为函数在上是减函数，
所以 在恒成立，
所以，
令，，所以，即．
16.证明：取的中点，连接，，
因为，均为边长为的等边三角形，
所以，且，
因为，所以，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
因为平面平面，，平面，
所以平面；
解：因为，为等边三角形，所以，
又因为，所以，，
在中，由正弦定理，得，所以，
以为坐标原点，以，，为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
则即，
令，则平面的一个法向量为，
依题意，
所以，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：，
由正弦定理可得：，
，
，
两边同时除以可得：．
，
，
，
．
，
当且仅当时等号成立，此时取到最大值，
，，
由余弦定理可知：，
18.解：设关于的线性回归方程：，
则，
，
，
，
所以，
，
所以关于的线性回归方程是
记“从某份团体票中随机抽取张，恰有张为有奖门票”为事件，
“该份团体票中共有张有奖门票”为事件，
则，
，
，
．
所以
，
所以．
19.解：函数的定义域为，且，
令，
则有，由可得，如下表：
减 极小值 增
所以，即，在上单调递增；
函数的定义域为，且
由已知，得，即
由可得
联立消去可得
令，
则
由知，故，所以在上单调递增
，所以方程有唯一解，代入，可得．
由知在上单调递增，
故当，，
所以，
可得在上单调递增，
当时，，即
亦即，这时，，故得
取，，可得
而
故
所以．

第1页，共3页

展开更多......

收起↑