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2024-2025学年江苏省天一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题正确的是( )
A. 如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D. 如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知中，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在中，，为的中点，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在长方体中，，分别为的中点，点在平面内，若直线平面，则与满足题意的构成的平面截长方体的截面面积为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于( )
A. B. C. D.
8.在中，，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
10.欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. 为纯虚数
B. 复数的模长等于
C.
D.
11.如图，在棱长为的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是( )
A. 当时，平面
B. 当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形
C. 当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是 ．
13.矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为 ．
14.在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，其中为非零实数．
若是实数，求的值；
若，复数为纯虚数，求实数的值．
16.本小题分
已知向量与的夹角为，且，．
若与共线，求；
求，；
求与的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域；
若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且．
记平面平面，证明：；
侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
若为锐角三角形，求的取值范围．
参考答案
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15.【详解】解：由复数，可得，
因为是实数，可得，即，
为非零实数所以．
解：由，可得，所以，
则，
因为复数为纯虚数，可得
解得或．
16.解：若与共线，
则存在，使得，
即，
又因为向量与不共线，
所以，解得，所以．
，
，
．
17.【详解】由题设，所以，则，故，
由，则，即，
又，当时，则，故；
将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，
所以；
，则，
所以
所以函数在上的值域：
，则，
由在上单调递增，对应值域为；
在上单调递减，对应值域为；
函数在区间上有且仅有两个零点，
即在上只有两个解，有图可知．
18.【详解】在正四棱锥中，，平面，平面，
则平面，而平面，平面平面，
所以．
在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：连接交于，连接，则为中点，
取中点，又，则，
过作的平行线交于，连接，在中，有，
由平面，平面，得平面，而，则，
又，平面，平面，则平面，
又，平面，因此平面平面，
又，得平面，所以存在，且．

19.【详解】由
所以，
由，
所以，
即，
所以，、
由正弦定理得，由，
所以，，
又，所以，
所以，
因为，所以或，
当时，，故不符合题意；
所以
由得
，
即，
所以，
因为为锐角三角形，所以，所以，
又，所以，所以，，
所以，
又，
因为为锐角三角形，
所以
，
令，因为，所以，
又在单调递增，
所以，即的取值范围为．

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