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2024-2025学年辽宁省县域重点高中高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列角中，与终边相同的角是( )
A. B. C. D.
2.为钝角是为第二象限角的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，满足，，则在上的投影的数量为( )
A. B. C. D.
4.为得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，若存在实数，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于平面向量，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则，的夹角为锐角
C. 若，，，可能垂直
D. 若，则
10.已知，则可能是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
11.如图，在直角梯形中，，，，，动点从顶点出发，以每秒个单位的速度在梯形的边上沿着的路线运动到点处则停止，当运动时间为秒时，令，则( )
A. 的定义域为 B.
C. 的最大值为 D. 有个单调区间
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边经过点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则的值为 ．
13.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数若某种信号波函数为，则的最小正周期为 ．
14.在中，，，分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象；


若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程．
16.本小题分
设，已知向量，，且．
求的值；
求．
17.本小题分
已知，且，证明：
；
．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，．
求的解析式；
若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围．
19.本小题分
如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作．
若，，求的“完美坐标”；
已知，，证明：；
若，，设函数，，求不等式的解集．
参考答案
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15.解：列表如下：
再描点连线，得图象如下：
因为，所以，
令，
因为为奇函数，所以，
所以，．
又因为，所以当时，，
所以，
所以的对称轴方程为，，
即的对称轴方程为，．

16.解：由题得，
因为，
所以，
所以，
解得或，
又，所以．
当时，，
所以，
所以，
，
又因为，所以，
所以．

17.解：因为，所以，
两边同时除以，得，即．
因为，所以，
所以，
所以，
所以．

18.解：解：由函数的图象，可得，且最小正周期，
所以，所以，
又由，且点在图象的上升部分，且，
所以，所以．
解：在中，令，且，则，
因为，所以，
当时，满足方程组的值有且仅有四个，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
令，可得必有两个相异零点，
由直线与和，的图象分别有两个交点，
作出直线与和的图象，如图所示，
由图象可得，即在区间上有两个相异零点，
则满足，解得解得，
所以的取值范围是．

19.解：由题得，
所以，
所以，
即的“完美坐标”为．
证明：由题知，
所以
即．
由得．
因为，
所以，
所以，
，
所以．
令，
则，
所以，
即，
解得舍去或，
所以，
即，
所以，
所以，
即不等式的解集为，．

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