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2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.角的终边与的终边关于轴对称，则( )
A. B.
C. D.
2.伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为，则经过，时针的针尖走过的路程约为( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的单调增区间为
C. 函数在上有个零点，则实数的取值范围为
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
7.在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若取得最大值，则
D. 若，则在上的投影向量为
10.已知函数，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 当时，函数的值域为
C. 当时，函数的单调递增区间为
D. 若，函数在区间内恰有个零点，则
11.三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角如图，在中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则( )
A. 当时，
B. 当且时，
C. 当时，
D. 当，时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且的面积为，则 ．
14.已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ若，求实数的值；
Ⅲ若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
将化简成的形式；
求函数的单调增区间；
若函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
在中，内角的对边分别是，记的面积为，且．
求角的大小；
若，，分别为的中线和角平分线．
若的面积为，求的长；
求长的最大值．
18.本小题分
已知，
若，，求的值；
在中，，求的最大值；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．
极化恒等式：，公式推导：；
平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则；
三角形模式：如图，在中，设为的中点，则推导过程：由．
如图，在边长为的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值；
“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”太极和八卦组合成了太极八卦图如图某太极八卦图的平面图如图所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，若点是正八边形边上的一点，求的取值范围；
已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：因为，，且 ，
所以，解得，
则．
因为，且，
所以，
解得．
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线．
即，
由可知，
则且．
故实数的取值范围为．

16.解：
；
由可得，
，
所以函数的单调增区间为；
令，
因为，所以．
函数在区间上恰有一个零点，
可转化为函数与的图象在区间上恰有一个公共点，
等价于函数与的图象在区间上恰有一个公共点，
作出函数在区间上的图象如下图：
由图象可知，当或时，函数与的图象在区间上恰有一个公共点，
即函数在区间上恰有一个零点，
所以的取值范围为：或．
17.解：因为，
所以，
所以，
又因为，所以；
由，得，
由余弦定理得，
所以，
因为为的中线，
所以，
则，
所以；
由余弦定理得，
所以，
因为为的角平分线，所以，
由，得，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以当时，取得最大值，
即长的最大值为．

18.【详解】由题意得，
因为，所以，
又因为，所以，
则
；
由得，
因为，所以，即，
则
，
因为，所以，即
即
故的最大值为；
由不等式变形得：
令，则不等式可化为：，
因为，所以，即，
则原不等式又化为：，
而，当且仅当时取等号，
所以要使得原不等式恒成立的的取值范围是：．
19.解：，
由极化恒等式可得：；
如图，连接，
因为，，
所以，
因为正八边形内切圆的半径为，，
所以，
因为，所以，所以，
即的取值范围是；
令其中，
则三点共线如图，
从而的几何意义表示点到直线的距离为，
这说明是等边三角形，为边上的高，故，
取的中点，则由向量极化恒等式可得，
其中为点到边的距离，
即当点在垂足非端点处时，达到最小值．

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