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2024-2025学年广东省部分学校高二下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某运动物体的位移单位：米关于时间单位：秒的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为( )
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 米秒
2.已知数列，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
3.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
6.已知递增等比数列的公比为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数的图象如图所示，则( )
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 的一个极小值为 D. 在上的最大值为
10.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B.
C. 数列中最大 D. 数列中最小
11.过点向曲线作切线，切线方程可能是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在处可导，若，则 ．
13.设等比数列的前项和为，若，则 ．
14.已知数列满足，且，，则 ；的前项和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
求，
求在上的值域．
16.本小题分
设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，．
求，的通项公式；
记，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数
若，求的极值；
讨论的单调性；
若恒成立，求实数的取值集合．
18.本小题分
已知正项数列的首项为，且，数列满足，．
求和的通项公式；
求数列的前项和；
设，为数列的前项和，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数．
证明：函数是凸函数．
已知函数，．
若是上的凹函数，求实数的取值范围；
在内有两个不同的零点，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
则，，
所以，；
由知，
则，
令，得或，
则当时，，当，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，，
所以在上的值域为．
16.由题意知，解得或舍去，
所以，
则，所以．
由知．
因为，
所以，
两式相减得
，
故．

17.因为，所以，
所以．
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
因为，所以．
当时，在上单调递增．
当时，令，得，令，得．
故在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，在上单调递增．
因为，所以当时，，不满足题意．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以若，则．
令，则，所以在上单调递增，
在上单调递减，
所以，所以，即实数的取值集合为．

18.因为，所以．
因为，所以，即．
又，所以是首项为，公差为的等差数列．
因为，
所以当时，，
得也满足．
故的通项公式为的通项公式为．
由知，
所以
因为，
所以，
当时，取得最小值．
因为对任意恒成立，所以，
整理得，解得．

19.因为，
所以，
所以是上的凸函数．
因为，
所以．
因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即．
令，则．
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减．
，所以，解得，
所以实数的取值范围是．
由知，因为在内有两个不同的零点，
所以方程在内有两个根，即．
因为在上单调递增，在上单调递减，所以．
欲证，即证
因为且在上单调递减，
所以只需证明，即证．
欲证，即证，即，
只需证，即证，而该式显然成立．
欲证，即证因为，所以只需证，
即证即需证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以则原不等式得证．
故．

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