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2024-2025学年广东省部分高中高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在的展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.高三毕业来临之际，名教师，名女同学和名男同学排成一排拍照，已知名教师互不相邻，名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从，，，，，，，中任取个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于则( )
A. 事件，是互斥事件 B. 事件，是对立事件
C. D.
10.在空间直角坐标系中，，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离是
11.已知过点的直线与动圆相切，切点为，记点的轨迹为曲线，则( )
A. 曲线经过原点 B. 曲线是轴对称图形
C. 点在曲线上 D. 曲线在第二象限的点的纵坐标有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则 ．
13.在中，若，则边上的高为
14.设数列满足，且用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如设其中，则 ；数列的前项和为，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某同学会做老师给出的道题中的道．现从这道题中随机选道让该同学做，试求：选出的题中该同学会做的题目数的分布列．
16.本小题分
记为正项等比数列的前项和，已知．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，三棱锥中，平面平面，，为的中点，，．
求证：
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于两点异于点
求椭圆的方程；
若的面积为，求直线的方程；
记直线与的斜率分别为，直线的斜率分别为，证明：．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
求证：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.

15.【详解】记该同学会做的题目数为，由题意，的可能取值为，
，
，
所以该同学会做的题目数的分布列为：

16.【详解】设正项等比数列的公比为，
因为，所以，所以．
又，
解得．
所以．
由题知，
所以，
，
两式相减得．
所以．

17.解：取中点，连接，，则，而，
故．
因为，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
因为平面平面，平面，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，故，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即
取，则．
设平面的法向量为，
则，即
取，则，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．

18.【详解】由题知，解得，
故椭圆的方程为．
设直线的方程为，点的坐标分别为，
联立方程，得，
由，得，
由韦达定理，有，
所以，
因原点到直线的距离为，
所以的面积为，
由，解得或，
故直线的方程为或或或．
因为
，
，
所以．

19.【详解】当时，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
，则．
对于方程．
当，即时，，函数在上单调递减；
当，即时，方程有两不等根，
，且，
所以当或时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，．
证明：由知，当时，函数在上单调递减，
又，所以当时，，
即当时，．
因为，所以，所以，
即，
所以，
，
，
，
累加可得
，
即，
所以．

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