资源简介 河南省周口市扶沟县高级中学2025届高三下学期4月质量检测数学试卷一、单选题(本大题共8小题)1.已知复数,则( )A.3 B. C.2 D.2.已知集合,,则( )A. B. C. D.3.已知直线与圆相交于A,B两点,则当取最小值时,( )A. B. C. D.04.在等边中,,点M为AB的中点,点N满足,则( )A. B. C. D.5.已知,,且,则当取得最小值时,( )A. B. C. D.16.已知正三棱台的体积为,底面的面积为,三条侧棱的延长线交于点M,且,则该三棱台外接球的表面积为( )A. B. C. D.7.将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切,则( )A. B. C. D.8.已知抛物线,O为坐标原点,点A在直线上,过点A作E的两条切线,切点分别为P,Q,若AP,AQ分别交x轴于B,C两点,则( )A. B. C. D.二、多选题(本大题共3小题)9.已知正项等比数列的公比,将的前9项按照从小到大的顺序排列组成一组数据,则下列说法正确的是( )A.该组数据的分位数为B.该组数据的中位数小于其平均数C.若去掉,所得新数据的中位数与原中位数相等D.若,则,,…,的方差是,,…,的方差的9倍10.已知函数,则( )A. B.C.在上单调递减 D.,为偶函数11.在平面内,到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线C上的动点P到两定点,的距离之积为,O为坐标原点,则( )A.C关于x轴和y轴均对称 B.的面积的最大值为C.周长的最小值为6c D.的取值范围为三、填空题(本大题共3小题)12.在的展开式中有理项的系数的和为 .13.已知数列的前n项和为,若和均是公差不为0的等差数列,公差分别记作,,且,则 .14.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,O为坐标原点,A为C上一点,若,且,则C的离心率为 .四、解答题(本大题共5小题)15.在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.(1)求B;(2)若,过点B作,D为垂足,求BD的最大值.16.小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动,每位同学只回答一个问题,且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为,,,,每位同学答对与否相互独立.(1)在小林答对的情况下,求恰有3位同学答对题目的概率;(2)若答对题目得2分,答错题目得0分,X表示4位同学得分之和,求X的数学期望.17.如图,在四棱锥中,,,四边形为矩形,在上,且,为的中点,平面交于点. (1)求证:;(2)在线段上是否存在点(异于点),使得平面与平面的夹角为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.18.已知,在椭圆(,)上.(1)求E的方程;(2)若M为E上一点(异于P,Q两点),求面积的最大值;(3)过点作两条直线分别与E交于另一点A,B,记直线NA,NB的斜率分别为,,若,证明:直线AB过定点.19.已知函数,,,若存在区间I,对,恒成立,则称在I上具有性质.(1)若,,且,,求k的值;(2)若,,,判断在区间上是否具有性质;(3)若,,,证明,是在上具有性质的必要条件.参考答案1.【答案】B【详解】复数,所以,则.故选B.2.【答案】C【详解】由可得,当时,则,故,因此,故,故选C.3.【答案】B【详解】,故过定点,又,故在圆内, 所以当⊥时,取最小值,此时,又,所以.故选B.4.【答案】D【详解】 在等边中,,由于点M为AB的中点,点N满足,所以.故选D.5.【答案】A【详解】已知,,且,所以,当且仅当时,即时,取得最小值,则.故选A.6.【答案】C【详解】设,正三棱台的高为, 由于,所以,底面的面积为,解得,所以,所以的面积为,则正三棱锥的体积为,所以,设为正,的外接圆圆心,为该三棱台外接球的球心, 正,的外接圆半径,则正三棱台的外接球半径为,则,解得,,所以该三棱台外接球的表面积为.故选C.7.【答案】D【详解】根据题意,曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与轴相切,则是曲线过原点的切线.设切点坐标为,又由,即切点处切线的斜率.即把切点坐标代入,得,解得,故,所以,故.故选D.8.【答案】A【详解】设点,易知切线的斜率存在,设切线斜率为,则方程为,联立,,由可得,解得,切线的方程为,令可得,不妨设,则.故选A9.【答案】BD【详解】由题意可知,故为单调递减数列,对于A,,故数据的分位数为从小到大的第三个数,A错误;对于B,该组数据的中位数为,由于,因此,故平均数,B正确;对于C, 若去掉,所得新数据的中位数为,而原中位数为,两者不相等,C错误;对于D, ,则,,…,的方差是,,…,的方差的9倍,D正确.故选BD.10.【答案】ACD【详解】所以,所以所以A选项正确.又因为,所以选项B错误.当时,,单调递增,所以单调递减,所以选项C正确.由图像可知,当向左或向右平移时,可以使轴为对称轴,所以,使得为偶函数.选项D正确.故选ACD.11.【答案】ACD【详解】设,因为在平面直角坐标系中,,,动点满足,所以,化简得,对于A,将换成可得,将换成可得,所以C关于x轴和y轴均对称,故A正确;对于B,设,则,所以,故,则,故面积的最大值为,故B不正确;对于C,因为,所以,当且仅当时,周长的最小值为6c,故C正确;对于D,,所以,由,可得,所以,所以,故的取值范围为,故D正确.故选ACD.12.【答案】【详解】的展开式的通项为,当时,展开式为有理项,所以展开式中有理项的系数的和为.13.【答案】【详解】设,故,两式相减可得,由于为公差的等差数列,故,结合,且,均不为0,故,所以,,故,解得,故.14.【答案】【详解】在中,由余弦定理得:,即,又,故,故,故,化简可得,故. 15.【答案】(1)(2)【详解】(1)由及正弦定理,得,所以,又,则,化简可得,又,,所以,所以,又,所以.(2)设,由三角形的面积公式可得,解得,又,当且仅当时,等号成立,又,所以,当且仅当时,等号成立,故,即的最大值为.16.【答案】(1)(2)【详解】(1)小张、小陈、小王答对题目分别记为事件,小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件,,故在小林答对的情况下,求恰有3位同学答对题目的概率为,(2)设表示第位同学的得分,分别对应小林,小张,小陈,小王),则,由数学期望的性质可知,对于,答对得2分,答错得0分,服从两点分布,;;则.17.【答案】(1)证明见解析(2)存在,,【详解】(1)由可得,由于,故,又,故,故,故,结合底面为矩形,故,故两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.,则,故,因此平面,故平面, 平面,故(2)设,则设平面的法向量为,故,取,则.设平面的法向量为,故,取,则.故,解得,故存在,此时. 18.【答案】(1)(2)(3)【详解】(1)将,代入椭圆中可得,解得,故椭圆方程为(2)由,可得,设与平行且与椭圆相切的直线方程为,联立与可得,故,解得,当直线时,此时直线与直线的距离最大,故最大距离为,因此的最大值为(3)设直线,则,化简得,设,,则,故,故,即,化简可得,故,化简可得,解得或,当时,则,此时直线经过,与重合,不符合题意,舍去,当,则,此时直线恒经过,符合题意,19.【答案】(1)(2)在上具有性质(3)证明见解析.【详解】(1)令,则,因为,所以为的最小值点,也是极小值点,又,所以,所以,当时,,,显然时,,时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,,所以符合题意,故.(2)令,则,,,,所以,即,令,则,因为,,所以,所以在上单调递增,所以,即,所以在上,恒有成立,所以在上具有性质.(3)证明:即由在上具有性质,证明,令,则,由(1)可得,当且仅当时取等号,令,则,所以在上单调递增,又,所以,使得,即,所以,,且,因为,,所以,即,所以,令,则,由已知可得,则为的极值点,所以,所以,又,所以,所以是在上具有性质的必要条件. 展开更多...... 收起↑ 资源预览