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专题1.3 基本不等式
(7大核心题型+3大应用）
目录
第一部分：题型篇 1
题型一：重点考查基本不等式成立的条件 1
题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配） 4
题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式 5
题型四：重点考查代入消元使用基本不等式 7
题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式 10
题型六：重点考查“1”的整体代入 13
题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形 15
第二部分：应用篇 18
应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式 18
应用二：应用题最值重要工具之一：基本不等式 21
应用三：对钩函数更胜基本不等式 26
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第一部分：题型篇
题型一：重点考查基本不等式成立的条件
典型例题
例题1．（多选）（24-25高一上·广东深圳·期末）已知、都是正数，则下面结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．若，则的最大值为
C．的最大值为 D．
【答案】BC
【知识点】基本不等式求积的最大值、二次与二次（或一次）的商式的最值、对数函数单调性的应用、对勾函数求最值
【分析】利用对勾函数的单调性可判断A选项；利用基本不等式可判断BC选项；取可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，令，则，
因为对勾函数在上单调递增，则，
所以，无最小值，A错；
对于B选项，因为、都是正数且，
由基本不等式可得，整理可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最大值为，B对；
对于C选项，因为、都是正数，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即的最大值为，C对；
对于D选项，当时，，此时，，D错.
故选：BC.
例题2．（多选）（24-25高一上·云南昭通·期末）下列各式的最小值是4的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】A.由当判断；B.利用基本不等式判断；C.利用基本不等式判断；D.设，由对勾函数的性质求解判断.
【详解】当时，，则A错误.
因为，所以，当且仅当时，等号成立，则B正确.
因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确.
设，则，故D错误.
故选：BC
精练高频考点
1．（多选）（24-25高一上·广东广州·期末）下列函数中，最小值等于4的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、基本不等式求和的最小值
【分析】利用特殊值判断A、D，利用基本不等式判断B、C.
【详解】对于A：当时，
显然，不符合题意，故A错误；
对于B：因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C：因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D：若，则，，故D错误.
故选：BC
2．（多选）（2024·福建·三模）下列函数最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、求含cosx的二次式的最值、二倍角的余弦公式、基本不等式求和的最小值
【分析】A由二次函数性质判断；B利用指数函数性质，结合基本不等式求最小值；C应用三角恒等变换得，结合正弦型函数性质判断；D函数化为，应用基本不等式求最小值判断.
【详解】A：，不符；
B：，当且仅当时等号成立，符合；
C：，则，故，符合；
D：且，故，
所以，当且仅当时等号成立，符合.
故选：BCD
题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配）
典型例题
例题1．（23-24高二上·云南昭通·开学考试）已知，则的最小值为 .
【答案】5
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】由可知，
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为5.
故答案为：5
例题2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，那么的取值范围是 .
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由基本不等式求解最值即可得到取值范围.
【详解】因为，，
当且仅当，即时等号成立，
故的取值范围是.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高一上·广东惠州·期末）若，则有（ ）
A．最小值3 B．最小值6
C．最大值6 D．最大值3
【答案】B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由基本不等式求解．
【详解】因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立.所以，当时，则有最小值6，
故选：B.
6．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知，则函数的最小值是 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式直接求函数的最小值.
【详解】当时，由基本不等式可知，当且仅当即时等号成立.
故函数的最小值是.
故答案为：.
题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式
典型例题
例题1．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知，求的最小值（ ）
A．7 B．4 C．-7 D．8
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由当时，，再利用不等式“一正，二定，三相等”即可得到结果.
【详解】因为当时，，所以
故最小值为7，当且仅当，即时，取等号.
故选：A
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因此取到最大值．
故选：B.
精练高频考点
1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】根据基本不等式，可得答案.
【详解】当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以时，的最大值为，
故选：A.
2．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】原式可变为，利用基本不等式求解.
【详解】由，
当且仅当时取等号，可得.可得的最小值为4，
故选：A.
3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）若，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本（均值）不等式求和的最小值即可.
【详解】因为，，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立.
故.
故答案为：
题型四：重点考查代入消元使用基本不等式
典型例题
例题1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】由已知条件可得，得出的表达式再由基本不等式计算可得结果.
【详解】由得，
即，
当且仅当，取到等号，
故选：C.
例题2．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ．
【答案】27
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】先根据求得和的关系式，进而代入到利用均值不等式求解即可．
【详解】因为，所以，
所以
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】条件等式求最值
【分析】由得，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：由题意得且所以
所以
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为
故选：C.
2．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为正实数，满足，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故选：C.
3．（24-25高三上·广东·期末）已知，且是方程的一个根，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．8
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】根据是方程的一个根得到和的关系，求出，根据基本不等式求出的最小值.
【详解】由是方程的一个根可得，
即，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值是8．
故选：D．
题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为 .
【答案】4
【知识点】条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用、求二次函数的值域或最值
【分析】由题巧设，将题中复杂的二元问题巧妙进行了换元和消元成一元问题，即将所求因式变形为，再使用基本不等式即可求解.
【详解】令，
则
，
所以，
因此当且仅当，即时，取得最小值为4.
故答案为：4.
例题2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值；
（2）求函数的最小值．
【答案】（1）3；（2）9．
【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得；
（2）令，则，利用基本不等式计算可得；
【详解】（1）∵，，且，所以，
则，
当且仅当时等号成立，因此的最小值为3．
（2）因为，所以，令，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立；
所以函数的最小值为．
精练高频考点
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案.
【详解】正数，，满足，故，
令，故，，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
故选：D
2．（24-25高一上·云南昭通·期中）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得.
【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号，
设则，代入整理可得，解得或，
因，故，故当时，取得最小值为2.
故选：B.
3．（24-25高一上·浙江·期中）已知实数，满足，，，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、条件等式求最值
【分析】利用基本不等式将题设方程转化成不等式，求出的范围，即得的最小值.
【详解】由，可得，当且仅当时取等号，
即，
设，则得，解得或，
因，故得，即，
由解得，
即当，时，取得最小值为.
故答案为：.
题型六：重点考查“1”的整体代入
典型例题
例题1．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式来求得正确答案.
【详解】，
，
当且仅当时等号成立
故选：D
例题2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由基本不等式的乘“1”法可得.
【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号.
故选：A.
精练高频考点
1．（2025·山东日照·一模）点在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由题意求得，再利用常值代换法和基本不等式即可求得最小值.
【详解】因为点在直线上，可得.
则
因，则，当且仅当时等号成立.
即当时，取得最小值为.
故选：C.
2．（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，得，而，
则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2
3．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】方法一：变形得到，利用基本不等式“1”的变换得到，从而得到的最小值是6；方法二：由，得，故，得到答案.
【详解】方法一：
因为，所以．所以，
其中，
当且仅当，即时，等号成立．故的最小值是6．
方法二：
因为，所以．由，得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以．故的最小值是6．
故答案为：6
题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形
典型例题
例题1．（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ．
【答案】
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
例题2．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ．
【答案】
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 .
【答案】/
【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】依题意利用基本不等式计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：
2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 .
【答案】4
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解.
【详解】当时，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4.
故答案为：4
3．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值．
(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求积的最大值
【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值；
（2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，
即时，等号成立，故的最大值为．
（2）因为，所以．
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，函数取得最小值.
第二部分：应用篇
应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得.
【详解】已知，则，
因为，
当且仅当时等号成立，由，
解得．
故的最小值为4．
因为恒成立，
所以，即，
解得，即．
故选：D
例题2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知：，求：
(1)的最小值；
(2)，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】条件等式求最值、基本不等式的恒成立问题、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）由基本不等式得到，然后以解出的范围；
（2）由等式化简，然后由基本不等式得到的最小值，由不等式恒成立建立不等式求得实数的取值范围.
【详解】（1），
，当且仅当时等号成立，
，
或（舍去），
则的最小值为4.
（2），
当且仅当，即时等号成立，
即，
∴
精练高频考点
1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题
【分析】变换得到，计算得到答案.
【详解】不等式恒成，即，
，
当且仅当，即时等号成立，故.
故选：.
2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．，或
C． D．，或
【答案】A
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围.
【详解】，
，当且仅当时等号成立，
恒成立，，
解得.
故选：A.
3．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】基本不等式的恒成立问题
【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故选：A．
应用二：应用题最值重要工具之一：基本不等式
典型例题
例题1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知足球比赛的球门宽度大约为7米，在场地的底线上，与点距离5米，与底线垂直，长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点开始带球沿直线向点奔跑并选择一点处射门，要想获得最大的射门角度()，则他需要带球的距离是 米
【答案】
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、基本（均值）不等式的应用、三角函数在生活中的应用
【分析】设得出，由正切函数单调性，两角差的正切公式及基本不等式即可求解．
【详解】设
同理可得
则，
当且仅当，即时等号成立，此时
故答案为：
例题2．（2025高二·全国·专题练习）某山区外围有两条相互垂直的直线形公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线形公路．如图，记两条互相垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为2km和5km，点N到的距离分别为4km和2.5km，以所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy，以1km为1个单位长度，假设曲线C为函数（其中a，b为常数）的图象的一部分．
(1)求a，b的值．
(2)如何设计公路l，从而使得公路l的长最短？写出你的设计，并求出公路的最短长度．
【答案】(1)
(2)答案见解析，
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）结合题意，把点M，N的坐标代入中，解方程组可得；
（2）由导数的几何意义求出曲线在点P处的切线方程，再由基本不等式求公路的最短长度即可.
【详解】（1）由题意可知，把点M，N的坐标代入中，
得，解得；
（2）设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t．由（1）知，
设由导数的定义知，曲线的导数为，
所以曲线在点P处的切线的斜率为，
所以曲线在点P处的切线方程为，
即．
令得，即切线l在y轴上的截距为，令得，
即切线l在x轴上的截距为2t，
设公路的长度为，则．
又由于，当且仅当，即时等号成立，
所以当时公路l的长度最短，为．
精练高频考点
1．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元；
(2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值；
（2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论.
【详解】（1）由题设，平均每万套的成本，
当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为，
所以，可得，
所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？
(2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本）
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】(1)200（万元）；
(2)
(3)当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）
【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可；
（2）对进行分类讨论写出的解析式；
（3）对分类讨论写出各段函数的最大值进行比较.
【详解】（1）（万元）.
所以当购进产品数量为10万件时，利润是200万元.
（2）当时，，
当时，不妨设降价元，购进产品全部售出，
则，得到，
所以，
当时，，
所以
（3）由（2）知，当时，，
当（万件），利润最大，此时利润是450（万元），
当时，，
当（万件），利润最大，此时利润是500（万元），
当时，，
当且仅当，即，
当（万件），利润最大，此时利润是910（万元），
因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）.
3．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完.
(1)求公司获得的利润的函数解析式；
(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)160万片
【知识点】求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用
【分析】（1）根据条件列出关于的分段函数即可；
（2）分成两种情况分别求出最值，再比较大小即可.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
故；
（2）当时，，
函数图象开口向下，对称轴为，
故的最大值为(万元)；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为730（万元），
因为，所以封装160万片时，公司可获得最大利润.
应用三：对钩函数更胜基本不等式
典型例题
例题1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数定义域为，若存在实数，（）使得对于定义域内任意实数，均有成立，则称为“可平衡”函数，有序数对称为的“平衡”数对.若，，且，均为函数的“平衡”数对，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对勾函数求最值、cos2x的降幂公式及应用
【分析】根据“平衡”数对的含义先求出的表达式，利用换元法，结合对勾函数的单调性可求答案.
【详解】因为是“平衡”数对，所以，
即，
所以.
同理可得，
所以，
令，则，，
由对勾函数的性质可得在单调递减，
所以时，有最大值；时，有最小值；
所以的取值范围是.
故答案为：
例题2．（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点：
(1)判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由：
(2)设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对；
(3)若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】对勾函数求最值、函数新定义
【分析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果；
（2）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果.
（3）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合对勾函数的性质，即可求出结果；
【详解】（1）由题意可知，由于，
则不是是区间上的“平均值函数”；
（2）因为函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，
所以，
即，
所以，又因为，，
所以或，
因为1是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，
所以满足条件的数对只有.
（3）因为函数是区间上的“平均值函数”，
所以存在，使，
即，即 ，
令，
所以，
由于，故单调递增，所以，
，
因此，；
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可.
精练高频考点
1．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）若定义域为R的函数取得最大值时，值域为子集的也取得最小值，则称为“辅耐克函数”，如就是“辅耐克函数”，请你再写出一个“辅耐克函数”的解析式
【答案】（或，答案不唯一）
【知识点】函数新定义、求含sinx(型)函数的值域和最值、对勾函数求最值
【分析】根据函数新定义，结合正弦函数、对勾函数性质判断是否满足已知性质，即可得答案.
【详解】对于，定义域为R且最大值，令，则，
由的值域是子集，故，
根据对勾函数的性质，在上单调递减，
当时，取得最小值，
综上，是一个“辅耐克函数”.
故答案为：（答案不唯一）
2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）如图，某房地产开发公司要在矩形地块上规划出一块五边形地块建造住宅区.住宅区不能占用文物区，文物区可看作以为直角的等腰直角，设计时过作了一条直线，与交于，与交于；由实地测量知：，，.
(1)设，将住宅区的面积表示为的函数，并注明定义域；
(2)应如何设计，可使住宅区的面积最大？并求出最大面积.
【答案】(1)，；
(2)，住宅区的面积最大值为.
【知识点】分式型函数模型的应用、对勾函数求最值、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）过点作垂直于，垂直为，根据已知及得，应用面积公式及，即可得关系式，注意定义域范围；
（2）令，则，再应用基本不等式求最值，注意取值条件，即可得结果.
【详解】（1）过点作垂直于，垂直为，
在等腰中，，，
由得：，即，故，
所以，
所以，.
（2）令，
则，
，
当且仅当，即时，取“=”.
答：当时，住宅区的面积最大，最大值为.
3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数，.
(1)求函数的值域；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、函数不等式能成立（有解）问题、求对数函数在区间上的值域、对勾函数求最值
【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域；
（2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围.
【详解】（1）由，
设，则，
当时，取得最小值；当时，取得最大值，
所以函数的值域为.
（2）由，
令，则
又，能成立，
设，函数在上单调递减，在上单调递增.
又，，所以，
由不等式在上有解，得，
因此，的取值范围是.专题1.3 基本不等式
(7大核心题型+3大应用）
目录
第一部分：题型篇 1
题型一：重点考查基本不等式成立的条件 1
题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配） 2
题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式 3
题型四：重点考查代入消元使用基本不等式 3
题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式 4
题型六：重点考查“1”的整体代入 5
题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形 5
第二部分：应用篇 6
应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式 6
应用二：应用题最值重要工具之一：基本不等式 7
应用三：对钩函数更胜基本不等式 10
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第一部分：题型篇
题型一：重点考查基本不等式成立的条件
典型例题
例题1．（多选）（24-25高一上·广东深圳·期末）已知、都是正数，则下面结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．若，则的最大值为
C．的最大值为 D．
例题2．（多选）（24-25高一上·云南昭通·期末）下列各式的最小值是4的有（ ）
A． B．
C． D．
精练高频考点
1．（多选）（24-25高一上·广东广州·期末）下列函数中，最小值等于4的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2024·福建·三模）下列函数最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配）
典型例题
例题1．（23-24高二上·云南昭通·开学考试）已知，则的最小值为 .
例题2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，那么的取值范围是 .
精练高频考点
1．（24-25高一上·广东惠州·期末）若，则有（ ）
A．最小值3 B．最小值6
C．最大值6 D．最大值3
6．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知，则函数的最小值是 ．
题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式
典型例题
例题1．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知，求的最小值（ ）
A．7 B．4 C．-7 D．8
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（ ）
A． B． C． D．
精练高频考点
1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）若，则的最大值为 .
题型四：重点考查代入消元使用基本不等式
典型例题
例题1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ．
精练高频考点
1．（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
2．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广东·期末）已知，且是方程的一个根，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．8
题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为 .
例题2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值；
（2）求函数的最小值．
精练高频考点
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·云南昭通·期中）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25高一上·浙江·期中）已知实数，满足，，，则的最小值是 .
题型六：重点考查“1”的整体代入
典型例题
例题1．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
精练高频考点
1．（2025·山东日照·一模）点在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是 ．
题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形
典型例题
例题1．（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ．
例题2．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ．
精练高频考点
1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 .
2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 .
3．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值．
(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最小值．
第二部分：应用篇
应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知：，求：
(1)的最小值；
(2)，恒成立，求实数的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．，或
C． D．，或
3．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
应用二：应用题最值重要工具之一：基本不等式
典型例题
例题1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知足球比赛的球门宽度大约为7米，在场地的底线上，与点距离5米，与底线垂直，长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点开始带球沿直线向点奔跑并选择一点处射门，要想获得最大的射门角度()，则他需要带球的距离是 米
例题2．（2025高二·全国·专题练习）某山区外围有两条相互垂直的直线形公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线形公路．如图，记两条互相垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为2km和5km，点N到的距离分别为4km和2.5km，以所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy，以1km为1个单位长度，假设曲线C为函数（其中a，b为常数）的图象的一部分．
(1)求a，b的值．
(2)如何设计公路l，从而使得公路l的长最短？写出你的设计，并求出公路的最短长度．
精练高频考点
1．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？
(2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本）
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
3．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完.
(1)求公司获得的利润的函数解析式；
(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？
应用三：对钩函数更胜基本不等式
典型例题
例题1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数定义域为，若存在实数，（）使得对于定义域内任意实数，均有成立，则称为“可平衡”函数，有序数对称为的“平衡”数对.若，，且，均为函数的“平衡”数对，则的取值范围是 .
例题2．（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点：
(1)判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由：
(2)设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对；
(3)若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
精练高频考点
1．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）若定义域为R的函数取得最大值时，值域为子集的也取得最小值，则称为“辅耐克函数”，如就是“辅耐克函数”，请你再写出一个“辅耐克函数”的解析式
2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）如图，某房地产开发公司要在矩形地块上规划出一块五边形地块建造住宅区.住宅区不能占用文物区，文物区可看作以为直角的等腰直角，设计时过作了一条直线，与交于，与交于；由实地测量知：，，.
(1)设，将住宅区的面积表示为的函数，并注明定义域；
(2)应如何设计，可使住宅区的面积最大？并求出最大面积.
3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数，.
(1)求函数的值域；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.

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