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专题1.4 一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式(4大核心题型+4大方法应用）
目录
第一部分：题型篇 1
题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式 1
题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式 2
题型三：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论 3
题型四：重点考查一元二次不等式与韦达定理 4
第二部分：方法篇（一元二次不等式恒成立（有解）问题） 5
方法一：二次函数在上恒成立问题：法 5
方法二：二次函数在上有解问题：法 6
方法三：二次函数在非上恒成立：分离参数法 7
方法四：二次函数在非上有解问题：分离参数法 8
第一部分：题型篇
题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式
典型例题
例题1．（24-25高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ．
例题2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）解下列关于的不等式.
(1)；
(2)；
(3).
精练高频考点
1．（2024高二上·云南·学业考试）若，则的取值范围为 .
2．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知集合，则 ．
3．（24-25高一上·四川眉山·期末）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式
典型例题
例题1．（24-25高一下·辽宁·开学考试）不等式的解集为 .
例题2．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）不等式的解集为 .
精练高频考点
1．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）不等式：的解集为
2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）不等式的解集是 .
3．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）不等式的解集为 .
题型三：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论
典型例题
例题1．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若关于的不等式的解集为，求的值；
(3)解关于的不等式
精练高频考点
1．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）若，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．
3．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)求关于的不等式的解集.（其中）
题型四：重点考查一元二次不等式与韦达定理
典型例题
例题1．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
例题2．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知函数，不等式的解集为.
(1)求实数a，b的值；
(2)若对，恒成立，求实数k的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
2．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为或
D．不等式的解集为
第二部分：方法篇（一元二次不等式恒成立（有解）问题）
方法一：二次函数在上恒成立问题：法
典型例题
例题1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（24-25高一上·江苏·期末）已知不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围．
精练高频考点
1．（多选）（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）若二次函数满足，.
(1)求的解析式；
(2)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
3．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值；
(2)若不等式有解，求的解集.
方法二：二次函数在上有解问题：法
典型例题
例题1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）命题是真命题，则实数的取值范围是 ．
例题2．（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ．
精练高频考点
1．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为
方法三：二次函数在非上恒成立：分离参数法
典型例题
例题1．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．
例题2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
精练高频考点
1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 .
2．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 .
3．（24-25高一上·云南昆明·期中）若“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
方法四：二次函数在非上有解问题：分离参数法
典型例题
例题1．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）当时，有解，则实数的取值范围是 .
例题2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
2．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 .
3．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 .专题1.4 一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式(4大核心题型+4大方法应用）
目录
第一部分：题型篇 1
题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式 1
题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式 4
题型三：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论 5
题型四：重点考查一元二次不等式与韦达定理 9
第二部分：方法篇（一元二次不等式恒成立（有解）问题） 12
方法一：二次函数在上恒成立问题：法 12
方法二：二次函数在上有解问题：法 15
方法三：二次函数在非上恒成立：分离参数法 18
方法四：二次函数在非上有解问题：分离参数法 20
第一部分：题型篇
题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式
典型例题
例题1．（24-25高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ．
【答案】R
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据根的判别式，数形结合得到不等式解集.
【详解】开口向上，，
二次函数图象在轴上方，故不等式解集为R.
故答案为：R
例题2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）解下列关于的不等式.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）根据分式不等式的解法可得出原不等式的解集；
（2）（3）根据一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【详解】（1）由，得，即，即，
等价于，解得，
所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为.
对于方程，因为，
所以二次函数的图象开口向上，与轴无交点，
如图所示.结合图象可得，原不等式的解集为.
（3）原不等式即为，解得或，
所以不等式的解集为或.
精练高频考点
1．（2024高二上·云南·学业考试）若，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】由一元二次不等式的解法求出即可；
【详解】，解得，
所以的取值范围为，
故答案为：.
2．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知集合，则 ．
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、补集的概念及运算
【分析】解不等式确定集合，再由补集定义计算．
【详解】或，
所以，
故答案为：．
3．（24-25高一上·四川眉山·期末）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)或；
(3).
【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）（2）由不含参的一元二次不等式的解法求解集；
（3）由分式不等式得，解不含参的一元二次不等式求解集.
【详解】（1）由，得不等式的解集为．
（2），得不等式的解集为或
（3）不等式等价于，解得，解集为.
题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式
典型例题
例题1．（24-25高一下·辽宁·开学考试）不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解.
【详解】不等式化为：，即，则，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
例题2．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】解不含参数的一元一次不等式、分式不等式、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先化简再根据分式转化为一元一次不等式求解即可.
【详解】不等式，化简为，
即得，所以，所以解集为.
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）不等式：的解集为
【答案】
【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式
【分析】将分式不等式化为求解集.
【详解】由，则，可得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】将分式不等式转化为整式不等式 且，即可得解.
【详解】不等式可化简为等价为 且，
解之得或，即不等式的解集为.
故答案：.
3．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式
【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由，得到，等价于，且，
即，且，所以，得到不等式的解集为，
故答案为：.
题型三：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论
典型例题
例题1．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集.
【详解】当时，，解，得，
所以不等式的解集为.
故选：D
例题2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若关于的不等式的解集为，求的值；
(3)解关于的不等式
【答案】(1)或
(2)
(3)答案见解析
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）解一元二次不等式即可；
（2）由题意得方程的两根为1和2，利用韦达定理和判别式求解；
（3）分类讨论解一元二次不等式即可．
【详解】（1）当时，不等式为，
∴，解得或，
∴不等式的解集为或．
（2）不等式，即，
∵不等式的解集为，
∴方程的两根为1和2，
∴，解得．
（3）不等式可化为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
精练高频考点
1．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解.
【详解】时，，不等式可化为，
因为，且，
所以，，
解原不等式，得，
所以原不等式的解集为.
故选：C.
2．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）若，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】解二次不等式，由取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集.
【详解】当时，，
所以不等式的解集为.
故选：D.
3．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)求关于的不等式的解集.（其中）
【答案】(1)
(2)答案见解析；
【知识点】已知f（g（x））求解析式、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）利用配方法计算可得；
（2）对的取值进行分类讨论，即可求得不等式解集.
【详解】（1）将配方可得；
可得，
因此函数的解析式为；
（2）不等式即为；
即，所以；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
题型四：重点考查一元二次不等式与韦达定理
典型例题
例题1．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由题意，为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再解不等式即可．
【详解】由题意，为方程的根，且，
则，解得，
不等式，即为，
即，解得，
则不等式的解集为．
故答案为：
例题2．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知函数，不等式的解集为.
(1)求实数a，b的值；
(2)若对，恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）由不等式与方程的关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案；
（2）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案.
【详解】（1）因为的解集为，
所以的两根为和3，
所以解得.
（2）由（1）得，
，，即，
因为当时，单调递增，
所以，即，解得.
精练高频考点
1．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】C
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得.
【详解】由题意知，和3是方程的两根，且，
则有，故得.
对于AB，由和，可推得，故AB均错误；
对于C，因或故，故C正确；
对于D，由上分析，不等式可化为，
因，故可解得，即的解集为，故D错误.
故选：C.
2．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】由不等式的解集为，
则，即，
所以不等式，即为，又，
所以，解得或.
所以不等式的解集为.
故选：B.
3．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为或
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择.
【详解】的解集为，故，且，即；
对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对CD：不等式，即，又，故，
也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确.
故选：ABD.
第二部分：方法篇（一元二次不等式恒成立（有解）问题）
方法一：二次函数在上恒成立问题：法
典型例题
例题1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得.
【详解】因命题为真，故在上恒成立，
故，解得，
故命题为真的一个充分不必要条件为的子集，
故选：B
例题2．（24-25高一上·江苏·期末）已知不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可.
（2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可.
【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，.
由韦达定理可得，解得；
（2）由（1）可知，则不等式对于均成立，
则当时，不等式恒成立；
当时，不等式对于均成立，
等价于，解得，
综上，可得．
精练高频考点
1．（多选）（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【知识点】充分条件的判定及性质、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内.
【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立.
当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.
综合两种情况
不等式对一切实数都成立时的取值范围是.
分析各个选项：
A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件.
C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
故选：ACD.
2．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）若二次函数满足，.
(1)求的解析式；
(2)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、求二次函数的解析式
【分析】（1）设出，结合给定条件建立方程，求解参数，得到函数解析式即可.
（2）将转化为，利用判别式建立不等式，求解参数范围即可.
【详解】（1）因为是二次函数，所以设，
因为，所以，此时，
因为，所以，
化简得，对照系数得，，
解得，，则，即的解析式为.
（2）由上问知，而对于任意实数，
由成立，得到，即，
得到，解得.
综上，实数a的取值范围是.
3．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值；
(2)若不等式有解，求的解集.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立求出值.
（2）由不等式有解求出的范围，再分类解不等式.
【详解】（1）不等式恒成立，则，解得，
所以.
（2）不等式有解，则，解得，
不等式化为，当时，解得；当时，解得，
所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
方法二：二次函数在上有解问题：法
典型例题
例题1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）命题是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】利用根的判别式得到不等式，求出答案．
【详解】由题意知，解得
故答案为：．
例题2．（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据全称命题的真假求参数
【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可.
【详解】因为“，使得”为假命题，
所以“，使得”为真命题，
即在内有解，即，
因为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集.
【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意；
，命题“”为真命题，
当时，对于抛物线，开口向下，
显然在有解，符合题意；
当时，对于抛物线，开口向上，
只需，解得或，
又，所以或，
综上，实数的取值范围是或，即.
故选：D
2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】根据一元二次不等式的解法即可得．
【详解】关于x的不等式 在R上有解，
即在R上有解，
只需函数的图象与轴有公共点，
所以，即，即，
解得，所以实数的取值范围是．
故答案为：．
方法三：二次函数在非上恒成立：分离参数法
典型例题
例题1．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】或．
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】分类讨论，利用二次函数的单调性建立不等式求解即可.
【详解】因为对称轴方程为，
所以（1）当，即时，
在上单调递增，故只需满足，
即，解得；
（2）当，即时，在上单调递减，
故只需满足，即，解得；
（3）当时，即时，,
由于，故，不满足题意.
综上，对于任意，都有成立时，则或．
故答案为：或．
例题2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对勾函数求最值
【分析】分离参数后，结合函数单调性得参数范围．
【详解】，因此由得，
由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增，
时，，时，，因此时，的最大值是，
所以，即的范围是．
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围.
【详解】由不等式在上恒成立，
得在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，故的最小值为.
故答案为：.
2．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】将问题变为恒成立，再利用基本不等式求解即可；
【详解】因为当时，不等式恒成立，
所以当时，不等式恒成立，即恒成立，
令，
因为，，当且仅当即时取等号，
所以，
所以.
故答案为：.
3．（24-25高一上·云南昆明·期中）若“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】由“，”为假命题，所以，恒成立，进而分离参数，求得的取值范围即可.
【详解】因为“，”为假命题，所以，恒成立，
即在上恒成立，当时，取得最小值.
故答案为：.
方法四：二次函数在非上有解问题：分离参数法
典型例题
例题1．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）当时，有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】解含参数的一元一次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由题意转化为关于m的一次不等式小于0有解，根据对应的一次函数为增函数，列出不等式即可得解.
【详解】当时，有解，
即在上有解，
因为，所以一次函数单调递增，
所以只需即可，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
例题2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可.
【详解】要使不等式在上有解，
则，在上有解，
令，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故时，，
因此要使不等式在上有解，
则，
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对勾函数求最值、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】分离参数，利用对勾函数的性质计算即可.
【详解】不等式在上有解，等价于在上能成立，
根据对勾函数的性质知在上单调递减，
所以，则.
故答案为：
2．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、一元二次不等式在某区间上有解问题、利用导数研究能成立问题
【分析】分离参数可得在区间上有解，转化为求函数的最小值即可求.
【详解】,
不等式，即在区间上有解.
设，，
则，
令，
设，,
，则在区间上单调递增，
故，即.
故要使在区间上有解，则.
即实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、利用函数单调性求最值或值域
【分析】分离参数得，再设新函数，求出其最小值即可.
【详解】因为关于的不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
令，因为在区间上单调递减，
则在区间上也单调递减，
所以，
所以，则实数m的最小值是.
故答案为：.

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