资源简介

专题1.5 集合中含参数重难点问题拓展
(8大核心题型）
目录
题型一：根据元素与集合的关系求参数 1
题型二：根据集合中元素的个数求参数 2
题型三：利用元素集合互异性求参数 3
题型四：根据集合包含关系求参数 4
题型五：根据两个集合相等求参数 5
题型六：根据并交补运算结果求参数 6
题型七：新定义题（选填） 7
题型八：新定义题（解答） 8
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题型一：根据元素与集合的关系求参数
典型例题
例题1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ．
例题2．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合
(1)若，求实数的取值范围；
(2)已知，，求实数的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 .
2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ．
3．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设全集，集合，．
(1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值；
(2)若，，求．
题型二：根据集合中元素的个数求参数
典型例题
例题1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．1或2
例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合.
(1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围；
(2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围；
(3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素.
精练高频考点
1．（24-25高一上·江苏镇江·期中）函数，若，请写出满足条件的一个值 ，若有且只有3个元素，则实数的取值范围是 .
2．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合．
(1)若，求的值；
(2)若中只有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．
3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数.
(1)求集合；
(2)设，若中恰好有2个元素，求实数的取值范围.
题型三：利用元素集合互异性求参数
典型例题
例题1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ．
例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ．
精练高频考点
1．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 .
2．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ．
3．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．
题型四：根据集合包含关系求参数
典型例题
例题1.（多选）（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，若，则的可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．
例题2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知集合．
(1)当时，求和；
(2)若，求的取值范围．
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知集合.
(1)当时，求；
(2)当时，若“”的一个充分不必要条件是“”，求实数m的取值范围.
3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若关于的不等式的解集是.
(1)求的值;
(2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
题型五：根据两个集合相等求参数
典型例题
例题1．（19-20高一上·河北唐山·期中）已知集合，且，则 .
例题2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数，记，，若，则实数的取值范围是 .
精练高频考点
1．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，若，则 ，的取值范围为 .
2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，若，则 .
3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值；
（2）已知，求实数，的值.
题型六：根据并交补运算结果求参数
典型例题
例题1．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设集合；
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示）
(3)若，求实数的取值范围；
精练高频考点
1．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则的值等于 ．
3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
题型七：新定义题（选填）
典型例题
例题1．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
例题2．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
精练高频考点
1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）记，表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 ，若，则的最小值为 .
3．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，设，令表示集合所含元素的个数，则 .
题型八：新定义题（解答）
典型例题
例题1．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.
(1)若数列为，试写出集合，并求的值；
(2)若是递增数列且，求证：是等比数列；
例题2．（24-25高三下·浙江·开学考试）定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”.
(1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由；
(2)若集合是“完美集”，证明：是奇数；
(3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值.
精练高频考点
1．（24-25高三下·浙江·开学考试）设为给定的正整数，称有序数组是二进数组．是由个互不相同的二进数组构成的集合，对于中的任意两个元素和，称是特征值．记的所有特征值中出现次数最多的数值为．
(1)设，求和的值；
(2)若对任意，均有，求的最大值；
(3)若，证明：，其中表示不超过的最大整数．
2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，.
(1)求集合S，T；
(2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”.
（ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足；
（ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由.
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，求和；
(2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围；
(3)证明：“”的充要条件是“”.专题1.5 集合中含参数重难点问题拓展
(8大核心题型）
目录
题型一：根据元素与集合的关系求参数 1
题型二：根据集合中元素的个数求参数 4
题型三：利用元素集合互异性求参数 7
题型四：根据集合包含关系求参数 9
题型五：根据两个集合相等求参数 12
题型六：根据并交补运算结果求参数 16
题型七：新定义题（选填） 19
题型八：新定义题（解答） 21
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头
题型一：根据元素与集合的关系求参数
典型例题
例题1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式
【分析】若，则将代入不等式求解即可得到的范围，根据题意求其补集即可.
【详解】关于的不等式的解集为，
若，则有，即，所以，
解得或．
因此若，则
故答案为：
例题2．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合
(1)若，求实数的取值范围；
(2)已知，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）求出集合、，利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）根据元素与集合的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为或，
，
且，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
（2）因为，则，解得，
因为，则或，可得或.
综上所述，实数的取值范围是.
精练高频考点
1．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 .
【答案】
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解.
【详解】因为，，且，
若，解得或，
当时，此时，
此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，此时，
此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
若，，解得或，
前面已经分析不满足要求，
当时，此时，
此时集合，，满足集合元素的性质，
综上，，所以的取值集合为.
故答案为：.
2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ．
【答案】
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可.
【详解】由题意，,
当时，则，
则，
又，
所以集合.
故答案为：.
3．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设全集，集合，．
(1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值；
(2)若，，求．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数、交集的概念及运算
【分析】（1）由求解即可；
（2）由元素与集合的关系，求得，进而可求解；
【详解】（1）集合A恰有一个元素，，解得：；
（2），
；
又，
；
即，
题型二：根据集合中元素的个数求参数
典型例题
例题1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．1或2
【答案】C
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值.
【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素.
当时，方程是一元二次方程.
因为集合有且只有一个元素，
所以.解得.
综上，实数的值为或.
故选：C.
例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合.
(1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围；
(2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围；
(3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素.
【答案】(1)，且
(2)
(3)答案见解析
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可；
（2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可；
（3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零.
【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且.
（2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得.
（3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根.
当时，方程的根为；当时，令，解得，此时.
综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素.
精练高频考点
1．（24-25高一上·江苏镇江·期中）函数，若，请写出满足条件的一个值 ，若有且只有3个元素，则实数的取值范围是 .
【答案】 (答案不唯一）
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】利用三个二次关系可求得符合条件的实数的取值范围.
【详解】因为，所以，
解得，故符合条件的一个值为（答案不唯一）；
因为二次函数的对称轴为，开口向上，
若有且只有3个元素，则集合中的元素只能是，
则应满足，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：(答案不唯一）；.
2．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合．
(1)若，求的值；
(2)若中只有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或时，
(3)或
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）将代入方程中即可求解，
（2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案．
【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故
（2）当时，原方程变为，此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意．
故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．
（3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，
由（1）知当时只有一个元素，
当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集；
，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．
中最多有一个元素，或
3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数.
(1)求集合；
(2)设，若中恰好有2个元素，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)或.
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据集合中元素的个数求参数、补集的概念及运算
【分析】（1）分、、解出不等式即可得解；
（2）结合（1）中所得分类讨论，结合中恰有2个整数元素即可得解.
【详解】（1），
令，解或.
当时，有恒成立，故；
当时，有，故或；
当时，有，故或.
综上所述，当时，；
当时，或；
当时，或.
（2）当时，，则，不符合要求；
当时，或，则，
由中恰好有2个元素，故，则，解得；
当时，或，则，
由中恰好有2个元素，故，则，解得；
综上所述，或.
题型三：利用元素集合互异性求参数
典型例题
例题1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ．
【答案】1
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、判断元素与集合的关系
【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意.
【详解】因为集合中的最大元素为3，
所以,所以或.
当时，不合题意舍；
当时，不符合集合的互异性舍；
当时，集合中的最大元素为3；
所以.
故答案为：1.
例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】依题意有，即，且，分类讨论求的值.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
所以或，
当时，解得，合题意，
当时，解得或，
若，，，合题意，
若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去，
综上所述，.
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证.
【详解】由，知是的子集，所以或或.
由集合中元素的互异性，知，所以，故，.
从而，而，故.
经验证满足条件.
故答案为：.
2．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ．
【答案】
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解
【详解】由于集合等于集合，所以，
此时可得，则，可得，
当，不满足集合元素互异性,故舍，
所以，
所以，
故答案为：
3．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．
【答案】
【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可.
【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）．
所以，或
解得，或．
经检验，满足题意．
所以．
题型四：根据集合包含关系求参数
典型例题
例题1.（多选）（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，若，则的可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】AC
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】由，分类讨论即可求解；
【详解】，
因为，
当时，此时；
当时，此时；
当时，此时；
故选：AC
例题2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知集合．
(1)当时，求和；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得和.
（2）根据包含关系列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】（1）,
或,
当时，,
.
（2）若，则，
解得．
所以的取值范围是.
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.
【详解】因为，所以当，即时，，满足，即；
当，即时，，满足，即；
当，即时，由，得，，即；
综上，．
故选：C．
2．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知集合.
(1)当时，求；
(2)当时，若“”的一个充分不必要条件是“”，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）求出集合后求出，从而可求.
（2）根据集合的包含关系得到关于参数的不等式组，从而可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时, ，故，
而，故.
（2）“”的一个充分不必要条件是“”，故为的真子集，
而，故，故.
3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若关于的不等式的解集是.
(1)求的值;
(2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据充分不必要条件求参数、由一元二次不等式的解确定参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）根据不等式的解集可得对应方程的根即可求解；
（2）由充分条件建立不等式求解即可.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集是，
故的两根为，且，
故；
（2）由题意集合，，由于，
则.
题型五：根据两个集合相等求参数
典型例题
例题1．（19-20高一上·河北唐山·期中）已知集合，且，则 .
【答案】0或
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值.
【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论：
当时，解得或，
若，集合A、B中的元素均不满足互异性；
若，则，符合题意；
当时，解得或，
若，集合A、B中的元素均不满足互异性；
若，则，符合题意；
综上所述，或，
故答案为：0或
例题2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数，记，，若，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】根据两个集合相等求参数、空集的概念以及判断、解含有参数的一元二次不等式
【分析】由时，的两个根为，（设，得到参数间的关系，由两个集合相等得出，进而得，即可验证，当时，根据判别式即可求解.
【详解】当时，所以，解得或，
设的两个根为，（设，
，，，
由，得，
由于，则，
故，此时，,符合题意，
当时，，解得，此时 ，
此时对，故对任意的恒成立，
故,满足，
综上可知或
故答案为：或
精练高频考点
1．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，若，则 ，的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】判断集合的元素的特征，根据，先求得，然后对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】由已知是由函数的所有实数零点构成的集合，
，令，
是由所有满足且的所有实数构成的集合.
若，当满足且因为，则有，
即，解得；
当时，，此时，符合题意；
当时，有
，
于是，若要使得，只需方程无实数根，故有，
解得.
综上，的取值范围为.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：先求集合元素的特征：通过函数的定义及条件，先求集合的元素特征，明确条件对元素的限制．利用判别式判断方程是否有实数根：结合不同情况下的判别式，通过判别方程的根的存在性来确定参数的取值范围．在解题过程中，分类讨论和判别式的使用是关键步骤．
2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，若，则 .
【答案】/
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】由集合相等，列出等式，再结合集合元素的互异性即可.
【详解】因为，
当解得：或，都不符合集合元素的互异性，
当解得：或（结合集合元素的互异性舍去）
所以.
故答案为：
3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值；
（2）已知，求实数，的值.
【答案】（1）；（2）或
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据两个集合相等求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解；
（2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解.
【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以，
若时，解得或，当时，，，所以满足题意，
当时，，，不满足集合的互异性，所以，
若，解得（舍）或（舍），
综上，实数的值为.
（2）因为，则或，
由，解得，由，解得，
经检验，和均符合题意，
综上，或.
题型六：根据并交补运算结果求参数
典型例题
例题1．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、交并补混合运算、根据并集结果求集合或参数
【分析】由对数函数的单调性以及一元二次不等式的求解，可得集合，根据补集与并集的运算，可得答案.
【详解】由题得或，
所以，所以，
又因为，所以.
故选：C.
例题2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设集合；
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示）
(3)若，求实数的取值范围；
【答案】(1)或
(2)
(3)
【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数、补集的概念及运算
【分析】（1）根据集合的交集可知，解一元二次方程可得a的值，验证是否符合题意；
（2）利用根与系数的关系即可求得答案.
（3）由题意判断出，分类讨论B的情况，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得，因为，所以，
所以，即，
化简得，即，解得或，
检验：当时，，满足，
当时，，满足，所以或.
（2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根，
所以且，
所以.
（3）因为，且，故,
当时，，解得，符合题意；
当时，则，无解；
当时，则，解得；
当时，则，无解；
综上，.
精练高频考点
1．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案.
【详解】由或，则，
由是的充分不必要条件，则，且
可得，解得.
故选：C.
2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则的值等于 ．
【答案】
【知识点】根据并集结果求集合或参数、由一元二次不等式的解确定参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】由两集合的并集和交集确定，进而可求解；
【详解】：因为，
而,,
所以，即是方程的根，
因此，
即
所以，
故答案为：
3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）当时，解不等式求出集合，再根据交集定义求；
（2）根据充分条件的定义可得集合是集合的子集，由此可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）由题意得，或
当时，，所以，
（2）因为或，所以，
若是的充分条件，则
所以，，解得，所以，实数的取值范围是.
题型七：新定义题（选填）
典型例题
例题1．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义
【分析】由集合新定义确定，即可求解.
【详解】由题意，
所以的子集个数为，
故选：B
例题2．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】子集的概念、集合新定义
【分析】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案.
【详解】不妨设，
由，则中最多包含6个元素，
又，，三组元素不正交，
所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如，
若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是.
故选：C.
精练高频考点
1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合新定义、交集的概念及运算
【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值．
【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为，
当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端，
故的长度的最小值是
故选：B.
2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）记，表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 ，若，则的最小值为 .
【答案】 14
【知识点】集合新定义、求等差数列前n项和
【分析】根据定义确定，从而可归纳出中的元素，求和后解不等式可得．
【详解】当，时，，表示2个元素的有限集，
由可知，或或，故；
由题意知，
故由可得，即，
结合，可以估算得的最小值为14
故答案为：；14.
3．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，设，令表示集合所含元素的个数，则 .
【答案】3712
【知识点】集合新定义
【分析】分别计算整除，和整除的情况，进而可求解；
【详解】表示集合所含元素的个数，
其中整除的有，共5个.
整除的：
①1整除的有2024个；②2整除的有个；③3整除的有个.重复的有，共3个.
所以.
故答案为：3712
题型八：新定义题（解答）
典型例题
例题1．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.
(1)若数列为，试写出集合，并求的值；
(2)若是递增数列且，求证：是等比数列；
【答案】(1)，.
(2)证明见解析
【知识点】由定义判定等比数列、集合新定义
【分析】（1）根据题意，由的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由的定义以及等比数列的定义，代入计算，即可证明.
【详解】（1）因为，
所以集合，所以.
（2）证明：因为是递增数列，且，
因为是递增数列，所以，
所以且互不相等，所以，
又因为，
所以且互不相等，所以
所以，
所以，
所以，所以为等比数列.
例题2．（24-25高三下·浙江·开学考试）定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”.
(1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由；
(2)若集合是“完美集”，证明：是奇数；
(3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值.
【答案】(1)不是；理由见解析
(2)证明见解析
(3)7
【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、集合新定义、集合的应用
【分析】（1）根据“完美集”的定义即可判断；
（2）由是偶数，所以与必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论；
（3）先假设最小值为，推出矛盾，再求当时成立即可.
【详解】（1）不是“完美集”，
因为去掉2时，所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合；
（2）记为集合中的所有元索之和，是偶数，
所以与必定同奇同偶.
当为奇数时，也是奇数，是奇数个奇数相加，故是奇数：
当为偶数时，也是偶数，设，则也是“完美集”，
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元索个数是奇数；
所以得证：
（3）最小值是7.
设是等差数列，.
当时，去掉时，，不成立：
当时，，不妨设，
去掉，假设可以拆分成两个交为空且和相等的集合，
则有两种情况：
①，因为，这与矛盾；
②，因为，这与均为正整数矛盾，故假设不成立：
故，下证的最小值为7.
当时，构造（写出一个即可），.
去掉；
去掉；
去掉；
去掉；
同理去掉；
去掉；
去掉；
所以，是“等差完美集”.
综上所述，的最小值为7.
【点睛】思路点睛：对于第二小问：由是偶数，
所以与必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论；
第三小问：先假设最小值为，推出矛盾，再求当时成立即可.
精练高频考点
1．（24-25高三下·浙江·开学考试）设为给定的正整数，称有序数组是二进数组．是由个互不相同的二进数组构成的集合，对于中的任意两个元素和，称是特征值．记的所有特征值中出现次数最多的数值为．
(1)设，求和的值；
(2)若对任意，均有，求的最大值；
(3)若，证明：，其中表示不超过的最大整数．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【知识点】集合新定义
【分析】（1）直接根据和的定义得到结果；
（2）先证明，再给出使得的的例子，即可说明的最大值是；
（3）利用的定义即可证明相应结论.
【详解】（1）此时，故.
的所有特征值为
.
以上共个，其中有个，个，个，所以.
（2）由于对任意，不能出现两个第位为的数组（否则）.
所以中每个数组包含的数目之和不超过.
由于不包含的数组至多有一个，故中至少有个包含至少一个的数组.
所以中每个数组包含的数目之和不小于.
以上二者结合，即可得到，故.
当时，对任意中的两个不同元素，均有.
所以的最大值是.
（3）由于所有的二进数组恰有个，故必定是包含全部二进数组的集合.
对，设为使得的有序对的数量，其中.
那么在这种情况下，的同为的那个分量位置有种选择.
确定这些位置后，其它的分量不能同为，那么每个位置有三种可能，所以剩余分量有种选择.
这就得到，从而.
故当时，有；当时，有.
从而当取到大于的最小整数，也就是时，取得最大值.
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对集合的定义的理解。只有理解了定义，方可解决相应问题.
2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，.
(1)求集合S，T；
(2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”.
（ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足；
（ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由.
【答案】(1)，.
(2)存在，，或，，，，或，.
【知识点】并集的概念及运算、集合新定义、交集的概念及运算
【分析】（1）根据交集及并集得出集合；
（2）（ⅰ）先由得出，再分类讨论求解；（ⅱ）先由，得出和一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合.
【详解】（1）因为，解得，又，所以，
所以，.
（2）（ⅰ）因为，
若，则，不满足题意；
若，则，满足题意；
若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意；
综上，.
（ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N，
因为，其必要条件是存在，所以和一定是同奇数或同偶数，则
①若，，则M，N均不合题意；
②若，，其中m，n，p，q是奇数，
则，即.
当时，得（舍），或（舍）；
当时，得，或（舍），此时，，
且M，N均符合；
当时，得，或（舍），此时，，N不合题意；
当时，得，或（舍），此时，，N不合题意；
③若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即，此时m，n无解；
④若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即
当时，得（舍），或（舍）；
当时，得，或（舍），此时，，且M，N均符合；
当时，得，或（舍），此时，，N不合题意；
当时，得（舍），或（舍）；
所以此时，或，，
同理，或，，也满足题意.
综上，存在，，或，
，，或，.
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，求和；
(2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围；
(3)证明：“”的充要条件是“”.
【答案】(1)，；
(2)
(3)证明见解析
【知识点】充要条件的证明、集合新定义、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）根据的定义直接运算求解；
（2）首先表示出，，，结合基本不等式求出，即可得到的取值范围即可.
（3）根据的定义结合充分必要条件分析证明；
【详解】（1）因为，且，
所以，；
（2），，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
又对，恒成立，
所以，即的取值范围为.
（3）若，设，
由定义可知：且，
所以“”是“”的充分条件；
若，对任意，均有，
即对任意，均有，
由任意性可知，则，
所以“”是“”的必要条件；
综上所述：“”是“”的充要条件.
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.

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