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2025 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
（考试时间：2025 年 5 月 18日 9:00~11:00）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
{a } a 1 a 1 a1.已知数列 n 满足： 1 ， n 1 n (n N
*)，则a2025 . 1 3an
2.已知实数m,n满足：3m 3m 9， n log3(n 1) 3，则m n的值为 .
x2 y2
3.已知 O : x2 y2 4，点 F 为椭圆 : 1的右焦点，过点 P( 2, 2)作
5 4
O的切线与椭圆 交于 A、B两点.则△ ABF 的周长为 .
4.化简sin3 20 sin3 40 sin380 ，则其值为 .

5.正四面体 ABCD 的棱长为 4，空间动点 P 满足 | PA PB PC PD | 4 ，则

AP AD的最大值与最小值之差为 .
6.设复数 z满足 | z | 1，则 | z7 z 5 3z3 3z |的最大值为 .
7.记 X {1,2, ,80}，Y {(a,b) | a,b X ,且 a b在三进制加法下不进位}，则集
合Y 中的元素个数为 .
8.称正整数n为“好数”，是指平面上存在 10 条直线，这些直线满足：无任何 3 条交于
一点，且它们一共出现n个交点. 则所有“好数”n的和为 .
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
9（. 本题满分 16分）已知抛物线 : y x2 上三个不同点 A(1,1)、B、C满足：AB AC，
过B、C分别作抛物线 的切线交于点P，求点P的轨迹方程.
10.（本题满分 20分）设四面体 ABCD满足: AD、BD、CD两两垂直，点O、H
分别是△ ABC的外心和垂心.
| AD |2 | BD |2 |CD |2 |OD |2
求证： 是定值.
| AH |2 | BH |2 |CH |2 |OH |2
11.（本题满分 20分）给定奇质数 p，设数列{ fn}满足：
f1 f2 1，且 fn 2 fn 1 fn (n N
*) .
p 1
求证： p | (p 1)! fn .
n 1 n
2025 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
参考答案及评分标准
说明：
1、本试卷满分 120，其中填空题 64 分，解答题 56 分.
2、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档；第 9 题 4 分一个档
次、第 10 题和第 11 题均为 5 分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不
要再增加其它中间档次.
3、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准评分.
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
3 3
1、0 2、4 3、2 5 4、 、8 6、 4 2 7、1135 8、819.
8
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
9、（本题满分 16 分）已知抛物线 : y x2 上三个不同点 A(1,1) 、 B、C满足：
AB AC，过B、C分别作抛物线 的切线交于点P，求点P的轨迹方程．
解：设点B(x1, y1),C(x2, y2), 直线BC的方程为： y kx m，
y x2
联立 ，消去 y，
y kx m
得 x2 kx m 0，
由韦达定理知： x1 x2 k， x1x2 m，
∴ y 2 21 y2 k 2m， y1y2 m . ┈┈4 分

由 AB AC知： AB AC 0，
∴ (x1 1)(x2 1) (y1 1)(y2 1) 0 ，
即 x1x2 (x1 x2 ) 1 y1y2 (y1 y2) 1 0.
∴ m k 1 m2 (k 2 2m) 1 0，即m2 3m k 2 k 2 0 .
∴ m k 2或m k 1. ┈┈8 分
若m k 1，此时直线BC的方程为： y k(x 1) 1，过点 A(1,1) ，舍去；
∴m k 2.此时直线BC的方程为： y k(x 1) 2 ，过定点 ( 1,2) .┈┈12 分
参考答案及评分标准 （第 1 页，共 6 页）
∵过点B的切线方程为： y y1 2x1(x x1) ①
过点C的切线方程为： y y2 2x2(x x1) ②
x x1 x k联立①、②解得： 2 ， y x1x2 m
k
，即P( , m) .
2 2 2
结合m k 2知，点P的轨迹方程为2x y 2 0 . ┈┈16 分
10、（本题满分 20 分）设四面体 ABCD满足: AD、BD、CD两两垂直，点O、H
分别是△ ABC的外心和垂心.
| AD |2 | BD |2 |CD |2 |OD |2
求证： 2 2 2 是定值. | AH | | BH | |CH | |OH |2
证法一：设R为 ABC的外接圆半径，则|OA | |OB | |OC | R .
（1）先证明： | AH |2 | BH |2 |CH |2 |OH |2 3R2 .
记 | BC | a,|CA | b,| AB | c .
如图，作BE AC于E，CF AB 于F ，
则 A,F ,H ,E四点共圆；B,F ,E,C四点共圆.
于是， AHF AEF B .
| AH | | AF | b | cos A |故 2R | cos A | .
sin AHF sinB
同理，| BH | 2R | cosB |， |CH | 2R | cosC | .
接下来证明: |OH |2 R2(1 8cos AcosBcosC).
不妨设 A 90 （ 当 A 90 时类似可证得上式）.
熟知：H ,O为一对等角共轭点，即 BAO CAH ，
据此易知 HAO | B C | . 在 HAO中利用余弦定理知，
|OH |2 R2 (2R cos A)2 2 R 2Rcos A cos(B C)
R2(1 4cos2 A 4cos Acos(B C))
R2(1 4cos A(cos(B C) cos(B C)))
R2(1 8cos AcosBcosC) . ┈┈5 分
参考答案及评分标准 （第 2 页，共 6 页）
注意到恒等式：cos2 A cos2 B cos2C 2cos AcosBcosC 1，
∴ | AH |2 | BH |2 |CH |2 |OH |2
4R2 cos2 A cos2 B cos2C R2(1 8cos AcosBcosC)
4R2(cos2 A 1 cos2 B cos2C 2cos AcosBcosC )
4
4R2(1 1 ) 3R2 . ┈┈10 分
4
（2）再证明： | AD |2 | BD |2 |CD |2 |OD |2 5R2 .
如图，将四面体 ABCD补成一个立方体，设Q是四面体 ABCD的外接球球心，点P
使得Q是DP的中点，且设G是 ABC的重心.
因为 |OA | |OB | |OC |， |QA | |QB | |QC |，
所以 OQ 平面 ABC .
因为G是 ABC的重心，

所以3DG DA DB DC DP 2DQ，
则D,G,Q共线，且|GD | 2 |GQ | .
根据平面几何中的欧拉定理， H ,G,O三点共线，且|GH | 2 |GO | .
所以 DHG和 QOG相似，且| HD | 2 |OQ | .
因此，HD //OQ，进而HD 平面 ABC . ┈┈15 分
故 |OD |2 |OH |2 |HD |2 (3 |OG |)2 (2 |OQ |)2 9(|OG |2 |OQ |2) 5 |OQ |2
9 |QG |2 5 |OQ |2 |QD |2 5 |OQ |2 .
因为 | AD |2 | BD |2 |CD |2 | PD |2 4 |QD |2 ，
所以 | AD |2 | BD |2 |CD |2 |OD |2 5(|QD |2 |OQ |2)
5(|QA |2 |OQ |2 ) 5 |OA |2 5R2 .
| AD |2 | BD |2 |CD |2 |OD |2 5R2 5
由（1）、（2）知
| AH |2 | BH |2 |CH |2 |OH |2 3R2
. ┈┈20 分
3
参考答案及评分标准 （第 3 页，共 6 页）
证法二：由于DA,DB,DC两两垂直，以D为原点，DA,DB,DC分别为 x轴、 y轴
和 z轴建立空间直角坐标系.则D(0,0,0)，设 A(a,0,0)，B(0,b,0) ，C(0,0,c) .
则平面 ABC x y z的方程为： 1.
a b c
设H点的坐标为 (x, y, z)，由 AH BC，得 by cz 0 ，
由BH AC，得 ax cz 0，即 ax by cz x y z，结合 1，
a b c
得H点的坐标为：
( ab
2c2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 ,
a bc , a b c2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) . ┈┈5 分 a b b c c a a b b c c a a b b c c a
设O点坐标为 (x0, y0, z0)，则
(x0 a)
2 y2 2 2 2 2 2 2 20 z0 x0 (y0 b) z0 x0 y0 (z0 c) ，
故 2by0 2ax b
2
0 a
2，2cz0 2ax0 c
2 a2 x y z，代入平面方程 1，
a b c
解得O点坐标为：
a3(b2 c2 ) b3(a2 c2) c3(a2 b2( )2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 ) . ┈┈10 分 2(a b b c c a ) 2(a b b c c a ) 2(a b b c c a )
a6b4 a6c4 2 a6b2c2 4 a4b4c2
∴ R2 |OA |2 (x a)2 y2 z2 cyc cyc cyc cyc0 0 0 2 . 4( a b2)2
cyc
∴ | AD |2 | BD |2 |CD |2 |OD |2
a6b4 a6c4 2 a6b2c2
a2 cyc cyc cyc2 2 2
cyc 4( a b )
cyc
4 a2 ( a4b4 2 a4b2c2 ) a6b4 a6c4 2 a6b2c2
cyc cyc cyc cyc cyc cyc
4( a2
b2 )2
cyc
4 a6b4 4 a2b4c4 4 a6c4 8 a6b2c2 16 a4b4c2 a6b4 a6c4 2 a6b2c2
cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc
4( a2b2 )2
cyc
参考答案及评分标准 （第 4 页，共 6 页）
5 a6b4 5 a6c4 10 a6b2c2 20 a4b4c2
cyc cyc cyc cyc 5R2 . ┈┈15 分
4( a2b2 )2
cyc
又∵ | AH |2 | BH |2 |CH |2 |OH |2
a6(b2 c2 )2 2 a4b4c2 (a3b2 a3c2 2ab2c2)2
cyc cyc cyc
( a2
b2)2 4( a2b2 )2
cyc cyc
4 a6b4 8 a6b2c2 4 a6c4 8 a4b4c2
cyc cyc cyc cyc
4( a2b2)2
cyc
a6b4 a6c4 4 a4b4c2 2 a6b2c2 4 a4b4c2 4 a4b2c4
cyc cyc cyc cyc cyc cyc
4( a2b2)2
cyc
3 a6b4 3 a6c4 6 a6b2c2 12 a4b4c2
cyc cyc cyc cyc 3R2 .
4( a2b2)2
cyc
| AD |2 | BD |2 |CD |2 |OD |2 5R2 5
∴ 2 2 2 2 2 . ┈┈20 分 | AH | | BH | |CH | |OH | 3R 3
5
注：如果猜测出定值为 ，可以给 5 分.
3
11、（本题满分 20 分）给定奇质数 p，设数列{ fn}满足：
f1 f2 1，且 f
*
n 2 fn 1 fn (n N ) .
p 1 f
求证： p | (p 1)! n .
n 1 n
证明：先证一个引理.
引理：已知a, x, y R ，且 x y 1.若对任意正整数n ，t nn a(x y
n ) 均为整数，
p 1 n n
则对任意奇质数 p，有 (p 1)! a(x y ) 0(mod p) . ┈┈5 分
n 1 n
引理的证明：
n
k k
p 1 yn p 1
1 C ( x)
(1 x)
n p 1 n p 1 p 1 n
注意到 k 1 1 1 Ckn ( x)k .
n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n k 1
参考答案及评分标准 （第 5 页，共 6 页）
1 1 p 1
注意到 Ck Ck 1n n 1（ k 1 Ck 1 Ck）， n 1 p 1， n k n k
p 1 yn 1 p 1 n 1 p 1 1 p 1 p 1
所以， Ck 1n 1( x)k ( x)k Ck 1 1n 1 ( x)kCkn k k p 1 . n 1 n 1 k 1 k 1 n k k 1 k
p 1 xn yn p 1 xn ( x)nCn 1
从而a a p 1 .
n 1 n n 1 n
p 1 xn yn p 1 ( y)nCnp 1 1 y
n
同理，a a .
n 1 n n 1 n
p 1 n n p 1 axn ayn a[( x)n ( y)n ]Cn
∴ 2 ax ay n
p 1
n 1 n 1 n
p 1 1 p 1 Cn ( 1)n
(axn ayn) p 1 (axn ayn )
n 1 n n 1 n
p 1
1 t [1 Cn nn p 1( 1) ]. ┈┈10 分
n 1 n
Cn ( p 1)(p 2) ( p n)熟知 p 1 ( 1)
n (mod p) ,
n!
∴ p | [1 Cnp 1( 1)
n ]，
p 1 n n
∴ p | (p 1)! 2 a(x y ) ,
n 1 n
p 1
(p 1)! a(x
n yn)
∴ 0(mod p) .
n 1 n
引理得证. ┈┈15 分
回到原题：
f 5 [(1 5 )n (1 5 )n] a 5 x 1 5 1 5注意到： n ，记 ， ， y ， 5 2 2 5 2 2
则 x y 1，且对任意正整数n， fn 均为整数，
p 1
由引理知： (p 1)! fn 0(mod p).
n 1 n
p 1 f
∴ p | (p 1)! n . ┈┈20 分
i 1 n
参考答案及评分标准 （第 6 页，共 6 页）

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