资源简介

2025年春九年级数学中考复习《图形变换综合压轴题》考前冲刺专题提升训练（附答案）
1．在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图，，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转．
(1)将旋转至如图的位置时，连接，求证：．
(2)若将旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长．
2．在中，，D是平面内一点，连接．将绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到，且满足，连接．
(1)如图1，，D是边上一点，求的度数；
(2)如图2，D是平面内一点，F是的中点，连接．猜想与存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明；
(3)在（2）的条件下，若，在直线上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值．
3．综合运用
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，以，为邻边构造矩形，以点A为旋转中心，顺时针旋转矩形(旋转角为α，)，得到矩形，点B，C，O的对应点分别为点D，E，F．连接，，．
(1)当点F在线段上时，求的度数；
(2)当点B在直线上时，求点F的坐标；
(3)当与矩形的任意一条边垂直时，求的面积．
4．如图，四边形中，，，，，．点从点出发沿折线向点运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，作于点，设点运动的路程为．
(1)______°．
(2)若点在上（除外）．
①求证：；
②当点落在上时，求的值．
(3)作的中线，若与线段有交点，直接写出x的取值范围．
5．在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段．
(1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度；
(2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积．
6．综合与实践
如图，正方形和正方形有公共顶点，将正方形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角，其中，连接，．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)请你画出除图1外，满足的其它图形，并写出的度数；
(3)旋转过程中，________时，最大，________时，最小；
(4)旋转过程中，判断与的大小关系，并写出对应的的范围．
7．将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，．
(1)如图1，当时，的形状为______，连接，可求出的值为______．
(2)当且时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
②当以点，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
8．【证明体验】
(1)如图①，在和中，，，，连接，．
求证：；
(2)【思考探究】如图②，在①的条件下，若，，，，求的长；
(3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，，，求的值．
9．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图，在中，，，分别为、边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转．

(1)观察猜想
绕点旋转到如图所示的位置，若，则的值为______．
(2)类比探究
若，将绕点旋转到如图所示的位置，求的值．
(3)拓展应用
若，为的中点，，当时，请直接写出的值．
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为．
(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标．
(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）
(1)当t＝6时，点M的坐标是______；
(2)求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
(3)是否存在点B，使四边形AOBD为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．
12．射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作于点H．
(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；
(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；
(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，，，请直接写出HG的长．
13．正方形中，对角线、交于点O，点E、F、G分别在边、、上．
(1)在图①中，于点P，连接、；
①判断线段、之间的关系____________；
②若，，P、Q两点关于直线对称，直接写出线段的长度______；
③若，当E、F在边、上运动时，的最小值是______；
(2)在图②中，于点P，连接，比较 与的大小关系，并说明理由．
14．如图，在中，，，点是边上一动点，作于点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)如图2所示，当点运动的延长线上时，与交于点，其他条件不变， 已知，求的值；
(3)点在边上运动的过程中，线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，若的长为2，求的长．
15．如图，正方形ABCD中分别交BC，CD于点E，F，连接EF．
(1)如图①，若，，试求的度数；
(2)如图②，以点A为旋转中心，旋转，旋转时保持．当点E，F分别在边BC，CD上时，AE和AF是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由；
(3)如图③，在②的条件下，当点E，F分别在BC，CD的延长线上时，②中的结论是否成立？只需回答结论，不需说明理由．
16．如图1，在等腰三角形中，，点D、E分别在边、上，，连接．点M、N、P分别为的中点．
(1)观察猜想．
图1中，线段的数量关系是__________，的大小为__________．
(2)探究证明
把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
将图1中的绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值．
17．在与中，连接，点、分别为和的中点，与所在直线交于点．
(1)【观察猜想】
如图①，若，，，与的数量关系是________， ________；
(2)【类比探究】
如图②，若，，，请写出与的数量关系与的度数，并就图②的情形说明理由；
(3)【解决问题】
如图③，，，，将绕点进行旋转，当点落在的边所在直线上时，请直接写出的长．
18．在中，，，点D是直线AC右侧一点，且，连接BD．将绕点A顺时针旋转得到，连接DE．
(1)观察猜想，如图1，当时，AD、CD、BD的数量关系是_______；
(2)类比探究，如图2，当时，试判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请说明理由；若不成立，请写出线段AD，BD，CD之间的数量关系，并加以证明．
(3)拓展应用，如图3，在矩形ABCD中，，，EP是的中位线，将绕点A在平面内自由旋转，当为直角三角形时，直接写BE的长．
19．综合与实践
在综合实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．
操作探究：
将三角形纸片进行如下操作：
(1)第一步：如图①，折叠三角形纸片使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平，则____________度，与的数量关系为____________；
(2)第二步：如图②，将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N，试写出与的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展延伸：
在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，如图③所示，若，则的长为____________．
20．二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
(1)二次函数的表达式为________，点的坐标为_________；
(2)如图①，是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
(3)如图②，是直线上方的二次函数图像上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为时，求点的坐标．
(4)连接，是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、．若的、两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标．
参考答案
1．（1）证明：
将绕点顺时针旋转到图位置
（2）
由（1）知，
如图，当点在上时，
在中，
由勾股定理得，
如图，当点在的延长线上时，
在中，
由勾股定理得，
综上所述：线段的长为或．
2．（1）解：旋转的性质得到，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：延长到M，使得，连接，
A是的中点，
F是的中点，
是的中位线，
，
，，
，即，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图，
，
，
，
为等边三角形，
，
当为菱形的边时，
四边形是锐角为的菱形，
，，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
点M与点C重合，
，
，
，
，
，
，
；
当为菱形的对角线时，点M在点处，
四边形是锐角为的菱形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
综上，．
3．（1）解：如图，由旋转的性质得，，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：当点B在直线上时，如图，连接、，过点F作轴于点M，交于点H，
由旋转的性质得，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：当时，如图，连接、，过点B作于点N，
由旋转的性质得，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
如图，当时，，
∴点C、E、D三点共线，
∵矩形绕点A顺时旋转得到，
∴点C、E、D三点不共线，
∴与不垂直，
综上所述，的面积为15．
4．（1）解： ，，，
，
，，
，
，即，
故答案为：；
（2）① 证明：由题意，得，，
，
即，
又，
在和中，
，
，
；
② ，，
，
若点在上，则，
，
而，，，
，
，
，
即；
（3）如图1，过点作于点，则，．
而，
点在上时， ，，
，
又 ，
，
有，
，
则，
此时，；
如图2，过点作于点，过点作于点．
点在上时，，
根据题意可得：，，
，即，
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，即，
，，
，
，
，
，
，
解得:，
此时，，
．
5．（1）解：过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由旋转的性质可得：，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：，
（2）解：连接，，
∵，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
（3）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∴，当在线段上时取得最小值，
延长与延长线交于点，过点作于点，连接，
由旋转的性质可得，，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，，，
∵，即：，解得：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（1）证明：如图，连接，
当时，则重合，重合，
∵四边形与四边形都是正方形，
∴，
∴重合，
∵垂直平分，
∴；
（2）解：由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则，
∴当点F在延长线上时，满足，
如图：
则，即三点共线，点在延长线上，
∴；
（3）解：根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动，
如图，当三点共线时，由最大值，
此时，；
同理，如图，当三点共线时，有最小值，
此时，；
（4）解：如图，由（1）（2）知，或时，，，连接，
∵，
∴，
∴，
当点在下方时，即时，
∴，
∴，
如图：在中，，
∴，
∴，
同理得：；
当点在上方时，即时，
同理得：，
∴，
综上：当或时，，当时，，当时，．
7．（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，则，设交于点，
∴是等腰三角形，
∴，
当时，即，且，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
∴，
连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为：等腰直角三角形，；
（2）解：①（1）仍然成立，理由如下，
当且时，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
∴，
如图所示，连接，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴（1）仍然成立；
②第一种情况，如图所示，以点，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴点是的中点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，则，
∴；
第二种情况，如图所示，以点，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴点三点共线，点重合，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
8．（1）证明：如图中，
∵，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：如图中，
，
∽，
∴，
可以假设，
∵
∴
，∴
解得，（负根已经舍去，
∴
∵
∴；
（3）解：如图中，，
将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，
∵
∴
∵
∴
∴∽，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
9．解：（1）如图，
，
，
，
，
，
，
绕点旋转到如图所示的位置，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
（2），
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∽，
；
（3）是的中点，
，
分两种情况：
如图，当旋转到直线的下方时，
，
，
在中，，
，
由知，，
；
图，当旋转到直线的上方时，
，
由知，，
；
综上所述，的值为或．
10．（1）解 ：∵
∴
如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于，
∴
∴，
∵,,
∴
在和中
∵
∴
∴，
∴．
（2）解：如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接，
∴，
∴，
同（1）可知
∴，
∴
∴
当时，；
当时，；
∴．
（3）解：①当时，，如图①，
由（2）可知，
将点、分别代入得和
解得和；
②当时，，如图②，
由（2）可知，
将点、分别代入得和
解得和；
③当时，，如图③，
由（2）可知，
将点、分别代入得和
解得和
综上所述，的值为 或 或或 或．
11．解：（1）如图1中，
，，，
，
故答案为：（3，4）；
（2）如图1中，作于，轴于．
∵，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
（3）存在．
如图2中，作于，轴于．
理由：由题意当时，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
又∵由（2）得，
即：，解得：．
．
（4）①如图3中，当时，以为对角线可得菱形，此时点在轴上．作BE⊥AC交于点E，
设，，
∵点M是AB的中点，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，则有，
①②联立，解得：，
，
点的纵坐标为3．
②如图4中，当时，以为对角线可得菱形．此时点的纵坐标为8．
③，
不存在以为对角线的菱形．
综上所述，满足条件的点的纵坐标为3或8．
12．（1）解： 线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，
，，
是等边三角形，
，，
∠AED＝60°，
，
点A、E、G、F四点共圆，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：在射线ED上截取，连接AN，如图3，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
，
∵
∴，
∴，
∴；
（3）当点F和点G都在射线AB的右侧时，在射线ED上取一点M，使得EM=EG，连接MG，如图4，
线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，
，，
是等边三角形，
，，
∠AED＝60°，
，
点A、E、G、F四点共圆，
，，
EM=EG，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点F和点G都在射线AB的左侧时，在线段GE上取一点N，使得NE=EF，如图5，
，
点A、E、G、F四点共圆，
，，，
NE=EF，
是等边三角形，
NE=EF=NF=1，，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述，GH的长为或．
13．（1）解：①线段、之间的关系：，
∵
∴
又∵
∴
∴在BCE和CDF中
∠BCE=∠CDF,∠CBE=∠DCF,BC=DC
∴
∴CE=DF
在ODF和OCE中
OD=OC,∠ODF=∠OCE,CE=DF
∴
∴OE=OF，
∵四边形是正方形
∴
∴
∴
故：线段、之间的关系：，
②∵BP=3.CP=1.
∴
在BCP和BCE中
,
∴
∴
∴
在PGC与PCE中，
∠PGC=∠CPE=90°,∠CPG=∠PCE
∴
∴
∴，
如图：作点P的对称点Q，连接PQ交BC于点G，过点O作，交BC于点M，过点Q作交OM的延长线于点K．
∴
③∵
∴点C、B、P始终在以BC为直径的圆上
如图，作BC的中点S，并做过点B、C、P的半圆，并连接DS交半圆于点P1
∴当点P运动到点P1位置时，DP最短
∵AB=2
∴
∴
∴
即：的最小值是．
（2）解：如图，将绕点B旋转90°
∵
∴
∵绕点B旋转90°
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，HB=BC
∴是等腰直角三角形
∴，
∴．
14．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∵PD⊥BC，
∴∠BDP＝∠ECD＝90°，
∴PD∥CE，
∵∠B＝∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
∴PD＝EC，
∴四边形PDCE是平行四边形，
∵∠PDC＝90°，
∴四边形PDCE是矩形；
（2）解∶如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC，
∴BM＝MC＝3m，
∴AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，DM=CM-CD=m，
∴BD＝PD＝4m，
∴PB＝4m，
∴PA＝m，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC＝4m，
设CN＝FN＝x，
∵FN∥CE，
∴△DFN∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴DN＝x，
∴x+x＝2m，
∴x＝m，
∴CF＝ m，
∴AF＝AC-CF＝3m－m＝m ，
∴；
（3）即：如图，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ＝BN，QC＝NM，∠QBN＝60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ＝QN，
∴QA+QB+QC＝AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
如图，连接MC，
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ＝BN，BC＝BM，∠QBN＝60°＝∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN＝∠BNQ＝60°，BM＝CM，
又∵AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD＝60°，
∴∠DBQ=30°，
∴
∴BD＝QD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，此时P与A重合，
设PD＝x，则DQ＝x－2，
∴x＝（x－2），
∴x＝3+，
∴PD＝3+ ．
15．解：（1）延长DH至点H，使DH＝BE，连接AH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ADH＝90°，
∵∠2＝73°，
∴∠BAE＝90°－∠2＝17°，
在△ABE和△ADH中，，，，
∴△ABE≌△ADH，
∴AE＝AH，∠2＝∠H＝73°，∠BAE＝∠DAH＝17°，
∴∠HAF＝∠DAH＋∠1＝17°＋28°＝45°，
∵∠EAF＝90°－∠1－∠BAE＝45°，
∴∠EAF＝∠HAF，
又∵AE＝AH，AF＝AF，
∴△FAE≌△FAH，
∴∠3＝∠AFH，
∵∠AFH＝90°－∠1＝90°－28°＝62°，
∴∠3＝62°；
（2）AE是∠FEB的平分线，AF是∠EFD的平分线，
理由：延长DH至点H，使DH＝BE，连接AH，
同（1）可证△ABE≌△ADH，
∴AE＝AH，∠AEB＝∠H，∠1＝∠4，
∵∠2＝45°，
∴∠1＋∠3＝90°－∠2＝45°，
∴∠4＋∠3＝90°－∠2＝45°，
即∠HAF＝45°，
∴∠2＝∠HAF，
又∵AE＝AH，AF＝AF，
∴△FAE≌△FAH，
∴∠AFE＝∠AFH，∠AEF＝∠H，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴AE平分∠FEB，AF平分∠EFD；
（3）AE仍然是∠FEB的平分线，AF不是∠EFD的平分线，
理由如下：在BC上取一点M，使得BM=DF，连接AM，设AE与FC交于点N，连接MN，如图，
∵BM=DF，AB=AD，∠ABM=∠ADF，
∴△ABM≌△ADF，
∴∠MAB=∠DAF，AF=AM，
∵∠BAM+∠MAD=90°，
∴∠FAD+∠MAD=90°，
∴∠MAF=90°，
∵∠FAE=45°，
∴∠EAM=90°-∠FAE=45°，
∴∠FAN=∠MAN，
∵AF=AM，AN=AN，
∴△AFN≌△AMN，
∴∠FNA=∠MNA，FN=MN，
∴∠FNE=180°-∠FNA=180°-∠MNA=∠MNE，
∵EN=EN，
∴△NFE≌△NME，
∴∠FEN=∠MEN，
∴AE平分∠FEB，
通过对图形的观察可以明显发现，AF不是∠EFD的平分线．
即结论得证．
16．（1）解：∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN=BD，PN=CE，，
∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，
∴∠MNP=60°，
故答案为：NM=NP；60°；
（2）△MNP是等边三角形． 理由 如下：
由旋转可得，∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
∴MN=BD，PN=CE，
∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，
∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，
∴△MNP是等边三角形；
（3）由（2）得，当最大，则最大，则等边的面积最大，
当时最大，
此时BD=AB+AD=8，
∴MN=PN=4，
∴△MNP的面积=，
∴△MNP的面积的最大值为．
17．（1）解：如图1，连接CE并延长交AB于点Q，交直线BD于点P'，
解： M，N分别为DE，DC的中点，MN是△DEC的中位线，
MN//EC，且2MN=EC，
∠BPM=∠QP'B，
∠BAC=∠DAE=60°，
∠DAE-∠BAE= ∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠EAC，
又AB=AC，AD=AE，
，
∠DBA=∠ECA， BD= CE =2MN，
在△QP'B和△QAC中，∠P'BQ= ∠ACQ，∠P'QB= ∠AQC，
∠QP'B =∠QAC=60°，
∠BPM =60°；
（2）解：如图2，连接CE并延长，交AB于点Q，交BD于点P'，
M，N 分别为DE ，DC的中点，
MN是△DEC的中位线，
MN// EC，且2MN= EC，
∠BPM=∠BP'Q，
∠BAC=∠DAE=90°，
∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠CAE.
又AB =AC ，AD =AE，
△ADB≌△AEC(SAS)，
∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN，
在△QP'B和△QAC中，∠P'BQ=∠ACQ，∠ P'QB= ∠AQC，
∠QP'B=∠QAC =90°，
∠BPM=90°；
（3）解：连接BD ，CE，易证CE =BD，同（2）可得MN=EC，
MN=BD，
点D在以点A为圆心，AD的长为半径的圆上，如图3，
故分四种情况讨论：①当点D落在边AC上时，如图4，
3AD=AB=6，
AD=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= ，
MN=BD =；
②当点D落在边BA的延长线上时，如图5，
此时BD=AB +AD=8，
MN=BD=；
③当点D落在边CA的延长线上时，如图6，
此时 ，
MN =BD=；
④当点D落在边AB上时，如图7，
此时BD=AB-AD=4， MN=BD=；
综上所述，MN的长为MN的长为，或．
18．解：（1）当时，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，，，
由题意，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）（1）中结论不成立，．
理由如下：
当时，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，，，
由题意，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴．
（3）分两种情况：①如图4，当时，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵旋转之前，EP是的中位线，
∴，
∵中，，，
∴是直角三角形，
∴，
∴ ．
②如图5，当时，
由①知，，，
旋转之前，
∵EP是的中位线，
∴，
，
，
旋转之后，
∵，
∴，
又∵，
∴， ，
∴，
此时B、E、P三点共线，设DE为m，则，，
在中，，
即 ，
解得，（舍去），
∴，
综上可知BE的长为或．
19．（1）解：由折叠可知，点A与点C关于DE对称，
∴DE⊥AC，AE=CE，
∴∠EDC=90°，
∴∠BAC=∠DEC=90°，
∴DEAB，
∴，
∴CD=BD，
故答案为：90，；
（2）解：
证明：∵折叠三角形纸片使点C与点A重合，得到折痕，
∴．
∴．
连接， 如图，
根据旋转性质可知：．
又∵
∴
∴．
（3）解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC=，
由（1）知，点D是BC中点，点E是AC中点，
∴BD=BC=5，DE=AB=×6=3，AE=CE=AC=×8=4，
由旋转得：∠DFM=∠DEC=90°，DF=DE=3，
∴∠DFB=90°，
在Rt△DFB中，由勾股定理，得
BF=，
由（2）知：ME=MF，
设ME=MF=x，则AM=4-x，BM=4+x，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得
，
即，
解得：x=，
∴AM=4-x =4-=．
20．（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴．
故答案为：；．
（2）如图1，如图2，连接，，设是的垂直平分线，
∴，
∵二次函数的图像与轴交于点，
∴，且对称轴，
∵点是该二次函数图像的对称轴上一个动点，设，
又∵，
∴由勾股定理可得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
（3）如图3，设交抛物线的对称轴于点，
设点，
∵点是的中点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
∴点的坐标为或．
（4）旋转后点、两个顶点在抛物线上，设，
∵，，
∴点向右平移6个单位，再向下平移3个单位与点重合，
∵将绕点沿逆时针方向旋转后得到，
即线段绕点沿逆时针方向旋转后可得到，
∴点向右平移3个单位，再向上平移6个单位与点重合，
∴，
∴，
解得：．
∴点的横坐标为．

展开更多......

收起↑