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2025年数学高考冲刺模拟卷
一．选择题（8小题，共40分）
1．已知全集U＝{2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6}，B＝{3，6，7}，则（ UA）∩B＝（　　）
A．{3，6} B．{3，7} C．{3，6，7} D．{6，7}
2．已知，则（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．i D．1
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+a3＝8，a2a6＝64，则S7＝（　　）
A．70 B．49 C． D．
4．根据变量Y和x的成对样本数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，模型误差（　　）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的E（e）＝0的假设
C．不满足一元线性回归模型的D（e）＝σ2假设
D．不满足一元线性回归模型的E（e）＝0和D（e）＝σ2的假设
5．若函数f（x）＝|2x﹣m|在[1，2]上单调，则m的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．[4，+∞）
C．（﹣∞，2]∪[4，+∞） D．（0，2]∪[4，+∞）
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，2acosC+2ccosA＝3a，则a＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为45°，则六棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）＝x3﹣9x2+ax+b（a，b∈R），且不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m且x≠n}（m，n∈R），m+n＝3，则f（x）的极大值为（　　）
A．0 B．36 C．72 D．108
二．多项选择题（3小题，共18分）
（多选）9．下列四个等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线y2＝4x交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（　　）
A．若k＝1，则|AB|＝8 B．
C．过点B作x＝﹣1的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线 D．以AB为直径的圆与x＝﹣1相切
（多选）11．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列{an}的前n项和为Sn，且满足：，则下列结论中正确的是（　　）
A．a8＝7 B．S8＝19 C．a2025是偶数 D．Sn＝2Sn﹣3+an﹣2+2（n≥4，n∈N）
三．选择题（3小题，共15分）
12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为　 　 ．
13．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 　 　 种．
14．已知，设f（x）＞0的解集为（m，n）（m＜n），若mn＞1，则实数a的取值范围为 　 　 ．
四．解答题（5小题，共77分）
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a﹣c＝2bcosC．
（1）求角B；
（2）若a2﹣b2+c2﹣3c＝0，且边AC边上的中线长，求△ABC面积．
16．（15分）某新能源汽车公司对其销售的A、B两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了100名，调查结果统计如下表：
满意程度 汽车款式 合计
A款 B款
满意 90 170
不满意 20
合计
（1）补全2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？
（2）用频率估计概率，现从购买A、B款汽车的消费者中随机抽取4人，X表示这4名消费者中对B款汽车的售后服务持满意态度的人数，求X的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.010 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
17．（15分 ）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，点N满足．将△ABD沿AD折起，使点B到达点B1的位置，连接B1C，如图．点M满足，二面角B1﹣AD﹣C的大小为120°．
（1）证明：B1C∥平面DMN；
（2）若CD＝AD，求直线DN与平面AB1C所成角的正弦值．
18．（17分）在圆x2+y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点Q的轨迹为曲线E（当点经过圆与x轴的交点时，规定点Q与点P重合）．
（1）求曲线E的方程；
（2）A1，A2为曲线E与x轴的交点，过点M（3，0）作直线l交E于C，D两点（与A1，A2不重合），直线A1C与A2D交于点G．
（i）证明：点G在定直线上；
（ii）是否存在点G使得CG⊥DG，若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由．
19．（17分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若在（0，+∞）上单调递增，则称f（x）为“强增函数”．
（1）若f（x）＝x2﹣xlnx+a是“强增函数”，求a的取值范围；
（2）若f（x）为“强增函数”，且f（x）＜0．当0＜x＜1时，比较e﹣xf（x）与的大小，并说明理由；
（3）已知f（x）＝2ex﹣x2lnx﹣2，r＞0，s＞0，t＞0．证明：f（r+s+t）＞f（r）+f（s）+f（t）．
参考结论：当x→0时，x2lnx→0．
参考答案与试题解析
1．已知全集U＝{2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6}，B＝{3，6，7}，则（ UA）∩B＝（　　）
A．{3，6} B．{3，7} C．{3，6，7} D．{6，7}
【解答】解：因为全集U＝{2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6}，B＝{3，6，7}，
可得： UA＝{3，5，7}，
所以（ UA）∩B＝{3，7}．
故选：B．
2．已知，则（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．i D．1
【解答】解：∵i2025＝i4×506+1＝i，
∴，
则．
故选：A．
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+a3＝8，a2a6＝64，则S7＝（　　）
A．70 B．49 C． D．
【解答】解：Sn为等差数列{an}的前n项和，a1+a3＝8，a2a6＝64，
可得2a2＝8，解得a2＝4，
则a6＝16，
故S7（a1+a7）（a2+a6）＝70．
故选：A．
4．根据变量Y和x的成对样本数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，模型误差（　　）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的E（e）＝0的假设
C．不满足一元线性回归模型的D（e）＝σ2假设
D．不满足一元线性回归模型的E（e）＝0和D（e）＝σ2的假设
【解答】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型，
根据对应的残差图，残差的均值E（e）＝0可能成立，
但明显残差的x轴上方的数据更分散，D（e）＝σ2不满足一元线性回归模型，正确的只有C．
故选：C．
5．若函数f（x）＝|2x﹣m|在[1，2]上单调，则m的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．[4，+∞）
C．（﹣∞，2]∪[4，+∞） D．（0，2]∪[4，+∞）
【解答】解：当x∈[1，2]时，
因为函数y＝2x在R上单调递增，
可知2x∈[2，4]．
当m∈（﹣∞，2]时，2x﹣m≥0，
所以f（x）＝|2x﹣m|＝2x﹣m，
此时f（x）在[1，2]上单调递增；
当m∈（2，4）时，
则，
则f（x）在[1，2]上先单调递减，再单调递增；
当m∈[4，+∞）时，2x﹣m≤0，
所以f（x）＝|2x﹣m|＝m﹣2x，
则f（x）在[1，2]上单调递减．
综上，要使函数f（x）＝|2x﹣m|在[1，2]上单调，
则m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞）．
故选：C．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，2acosC+2ccosA＝3a，则a＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：根据题意可知，2acosC+2ccosA＝3a，
根据正弦定理，可得2sinAcosC+2sinCcosA＝3sinA，所以2sin（A+C）＝3sinA，
又因为A+C＝π﹣B，所以sin（A+C）＝sinB，所以2sinB＝3sinA，
根据正弦定理，可得2b＝3a，即，
因为b＝3，所以a＝2．
故选：A．
7．2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为45°，则六棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：取CD的中点G，连接OG、SG，如图所示：
因为S﹣ABCDEF为正六棱锥，所以SG⊥CD，OG⊥CD，
所以∠SGO为侧面SCD与底面ABCDEF的夹角，所以∠SGO＝45°，
又SO⊥底面ABCDEF，OG 底面ABCDEF，所以SO⊥OG，
所以SO＝OG＝h，又底面ABCDEF为正六边形，所以△COD为等边三角形，
所以DG＝OGtan30°h，则CD＝2DGh，
所以S△CODh×hh2，
所以S正六边形ABCDEF＝6S△COD＝2h2，
所以六棱锥的体积为VS正六边形ABCDEFhh3．
故选：C．
8．已知函数f（x）＝x3﹣9x2+ax+b（a，b∈R），且不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m且x≠n}（m，n∈R），m+n＝3，则f（x）的极大值为（　　）
A．0 B．36 C．72 D．108
【解答】解：因为不等式f（x）＝x3﹣9x2+ax+b＞0的解集为{x|x＞m，且x≠n}，可得x＝n为f（x）＝0的二重根，
故可设f（x）＝（x﹣m）（x﹣n）2＝x3﹣（2n+m）x2+（2mn+n2）x﹣mn2，
则2n+m＝9，又m+n＝3，
所以m＝﹣3，n＝6，f（x）＝（x+3）（x﹣6）2，
则f′（x）＝2（x﹣6）（x+3）+（x﹣6）2＝3x（x﹣6），
当x＜0或x＞6时，f′（x）＞0，f（x）递增，当0＜x＜6时，f′（x）＜0，f（x）递减，
故x＝0是函数f（x）的极大值点，故f（x）的极大值为f（0）＝108．
故选：D．
（多选）9．下列四个等式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为，
所以，故A正确；
，
即，故B正确；
由二倍角公式可得，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线y2＝4x交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（　　）
A．若k＝1，则|AB|＝8
B．
C．过点B作x＝﹣1的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线
D．以AB为直径的圆与x＝﹣1相切
【解答】解：对于选项A：设A（x1，y1），B（x2，y2），
当k＝1时，
联立，消去y并整理得x2﹣6x+1＝0，
由韦达定理得x1+x2＝6，
所以|AB|＝x1+x2+p＝8，故选项A正确；
对于选项B：设直线倾斜角为θ，
因为p﹣|AF|cosθ＝|AF|，
所以，
同理得，
则，故选项B错误；
对于选项C：因为D（﹣1，y2），
联立，消去y并整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
由韦达定理得x1x2＝1，
所以y1y2＝﹣4，
因为，，
所以kOA＝kOD，
则A，O，D三点共线，故选项C正确；
对于选项D：易知x＝﹣1是抛物线的准线，
过点A作AA1垂直x＝﹣1于点A1，过点B作BB1垂直x＝﹣1于点B1，
取AB的中点M，过点M作MM1垂直x＝﹣1于点M1，
所以|AB|＝|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝2|MM1|，
所以以AB为直径的圆与准线x＝﹣1相切，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）11．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列{an}的前n项和为Sn，且满足：，则下列结论中正确的是（　　）
A．a8＝7
B．S8＝19
C．a2025是偶数
D．Sn＝2Sn﹣3+an﹣2+2（n≥4，n∈N）
【解答】解：对于A，因为，
所以a4＝a2+a1＝2，a5＝a3+a2＝2，a6＝a4+a3＝3，a7＝a5+a4＝4，a8＝a6+a5＝5，故A错误；
对于B，由A的分析可得：S8＝a1+a2+a3+ +a8＝1+1+1+2+2+3+4+5＝19，故B正确；
由a1＝a2＝a3＝1，an+3＝an+1+an（n∈N，n≥1）知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，
a1＝2 a2 a3 a4 a5 a6 a7
1 1 1 2 2 3 4
a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
5 7 9 12 16 21 28
a15 a16 a17 a18 a19 a20 a21
* * * @ @ * @
a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28
* * * @ @ * @
……
显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，
1个奇数，1个偶数，而2025＝7×289+2，故a2025是奇数，故C错误；
由a4＝a2+a1，a5＝a3+a2，a6＝a4+a3，…，an＝an﹣2+an﹣3，且n≥4，
所以a4+a5+ +an＝a1+2（a2+a3+ +an﹣3）+an﹣2，
又因为Sn＝a1+a2+a3+ +an，所以Sn＝2（a1+a2+a3+ +an﹣3）+an﹣2+a2+a3＝2Sn﹣3+an﹣2+2（n≥4，n∈N），故D正确．
故选：BD．
12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为　﹣20　 ．
【解答】解：（1+x）6（1﹣x）6＝（1﹣x2）6 开式中x6的系数为20，
故答案为：﹣20．
13．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 　1560　 种．
【解答】解：给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，
用5种颜色，则共有种，
用4种颜色，选出4种颜色有种，选B和E、A和C中的一组区域涂一种颜色有种，其它三个区域有种，则共有15×8×6＝720种，
用3种颜色，选出3种颜色有种，其中B和E、A和C两组区域分别各涂一种颜色有种，剩下的一个区域有1种涂法，则共有20×6×1＝120种，
所以，共有720+720+120＝1560种．
故答案为：1560．
14．已知，设f（x）＞0的解集为（m，n）（m＜n），若mn＞1，则实数a的取值范围为 　（0，1）　 ．
【解答】解：，，
设g（x）＝﹣ax﹣elnx，则，
所以g（x）单调递减，又x→0时，g（x）→+∞，g（1）＝﹣a＜0，
所以存在x0∈（0，1），使得f′（x0）＝g（x0）＝0，
故f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，且f（x0）≥f（1）＝e﹣1＞0，
又当x→0和x→+∞时，f（x）→﹣∞，所以存在0＜m＜1＜n，使得f（m）＝f（n）＝0，
因为mn＞1，所以，所以，
因为，所以，
设，
易知，又，
所以h（m）单调递增，所以，所以，即a∈（0，1）．
故答案为：（0，1）．
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a﹣c＝2bcosC．
（1）求角B；
（2）若a2﹣b2+c2﹣3c＝0，且边AC边上的中线长，求△ABC面积．
【解答】解：（1）根据2a﹣c＝2bcosC，结合正弦定理得2sinA﹣sinC＝2sinBcosC，
因为△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
所以2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC＝2sinBcosC，
整理得2cosBsinC＝sinC，
由sinC≠0，解得，
结合B∈（0，π），可得；
（2）由a2﹣b2+c2﹣3c＝0，结合余弦定理得2accos3c＝ac﹣3c＝0，解得a＝3．
根据平面向量数量积的定义，可得 || ||cos||．
根据BD是AC边上的中线，可得，两边平方得（）2，
即（||2+||2 ），整理得，解得（舍负），
所以△ABC的面积SacsinB．
16．某新能源汽车公司对其销售的A、B两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了100名，调查结果统计如下表：
满意程度 汽车款式 合计
A款 B款
满意 90 170
不满意 20
合计
（1）补全2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？
（2）用频率估计概率，现从购买A、B款汽车的消费者中随机抽取4人，X表示这4名消费者中对B款汽车的售后服务持满意态度的人数，求X的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.010 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
【解答】解：（1）2×2列联表为：
满意程度 汽车款式 合计
A款 B款
满意 90 80 170
不满意 10 20 30
合计 100 100 200
零假设H0：消费者对A、B款汽车售后服务的满意度无差异，
则，
根据小概率值α＝0.010的独立性检验，没有充分理由推断H0不成立，
故消费者对A、B款汽车的售后服务的满意度无差异；
（2）从20名消费者中随机抽1人，对B款车的售后服务持满意态度的频率为，
所以从购买A、B款汽车的消费者中随机抽取1人，则该人对B款汽车的售后服务持满意态度的概率为，
则，X＝0，1，2，3，4，
则，，
，，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以．
17．在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，点N满足．将△ABD沿AD折起，使点B到达点B1的位置，连接B1C，如图．点M满足，二面角B1﹣AD﹣C的大小为120°．
（1）证明：B1C∥平面DMN；
（2）若CD＝AD，求直线DN与平面AB1C所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由，
得，
则MN∥B1C，而MN 平面DMN，B1C 平面DMN，
所以B1C∥平面DMN．
（2）由AB＝AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，
将△ABD沿AD折起后，AD⊥CD，AD⊥B1D，
则∠B1DC是二面角B1﹣AD﹣C的平面角，
而二面角B1﹣AD﹣C的大小为120°，则∠B1DC＝120°，
又CD∩B1D＝D，CD，B1D 平面B1CD，
则AD⊥平面B1CD，
在平面B1CD内过D作Dx⊥CD，
以D为坐标原点，直线Dx，DC，DA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
不妨设CD＝AD＝4，则，
则，
设平面AB1C的法向量为，
则，则，
取y＝1，，
设直线DN与平面AB1C所成的角为θ，
则，
所以直线DN与平面AB1C所成角的正弦值为．
18．在圆x2+y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点Q的轨迹为曲线E（当点经过圆与x轴的交点时，规定点Q与点P重合）．
（1）求曲线E的方程；
（2）A1，A2为曲线E与x轴的交点，过点M（3，0）作直线l交E于C，D两点（与A1，A2不重合），直线A1C与A2D交于点G．
（i）证明：点G在定直线上；
（ii）是否存在点G使得CG⊥DG，若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设点Q的坐标为（x，y），由PD⊥x轴于D，Q为线段PD的中点，得点P（x，2y），
由点P在圆x2+y2＝4上，得x2+4y2＝4，
即，
所以点Q的轨迹E的方程是．
（2）（i）证明：由（1）不妨令A1（﹣2，0），A2（2，0），直线l不垂直于y轴，
设直线l：x＝ty+3，C（x1，y1），D（x2，y2），
由，
得（t2+4）y2+6ty+5＝0，由Δ＝16t2﹣80＞0，
得或，
则，
所以5（y1+y2）＝﹣6ty1y2，
直线A2D方程为，直线A1C方程为，
联立消去y，得，
解得，所以点G在直线上．
（ii）由CG⊥DG，得A1G⊥A2G，则点G在以A1A2为直径的圆上，
设，则，
解得，即，
于是直线A1C的方程为，
由，
消去y得9x2+16x﹣4＝0，
而点A横坐标为﹣2，则点C横坐标，纵坐标，
所以直线l的斜率．
19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若在（0，+∞）上单调递增，则称f（x）为“强增函数”．
（1）若f（x）＝x2﹣xlnx+a是“强增函数”，求a的取值范围；
（2）若f（x）为“强增函数”，且f（x）＜0．当0＜x＜1时，比较e﹣xf（x）与的大小，并说明理由；
（3）已知f（x）＝2ex﹣x2lnx﹣2，r＞0，s＞0，t＞0．证明：f（r+s+t）＞f（r）+f（s）+f（t）．
参考结论：当x→0时，x2lnx→0．
【解答】解：若在（0，+∞）上单调递增，则称f（x）为强增函数．
（1）若f（x）＝x2﹣xlnx+a是强增函数，
则在（0，+∞）上单调递增，
则0恒成立，故x2﹣x﹣a≥0，
根据二次函数的性质可得，，解得，
所以a的范围为{a|a}；
（2）由题意可知在（0，+∞）上单调递增，
因为0＜x＜1，故，
即，所以，
设，
所以m（x）在（0，1）上单调递减，
当0＜x＜1时，m（x）＞m（1）＝0，即，
所以，即．
（3）f′（x）＝2ex﹣2xlnx﹣x，
令h（x）＝2ex﹣2xlnx﹣x，则，
设p（x）＝lnx﹣x+1，
则当x＞1时，单调递减，当0＜x＜1时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，
故当p（x）≤p（1）＝0，故lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取等号，
设n（x）＝ex﹣x﹣1，n′（x）＝ex﹣1，
当x＞0，n′（x）＞0，n（x）单调递增，当x＜0，n′（x）＜0，n（x）单调递减，
所以n（x）≥n（0）＝0，故ex≥x+1，
所以，即h′（x）＞0，
所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
令F（x）＝f（x+t）﹣f（x）﹣f（t），t＞0，
则F′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），又f′（x）单调递增，所以F′（x）＞0，
则F（x）在（0，+∞）上单调递增，
又当x→0，x2lnx→0，所以x→0时，f（x）→0，F（x）→0，
所以F（x）＞0，即f（x+t）＞f（x）+f（t），
所以f（s+t）＞f（s）+f（t），
所以f（r+s+t）＞f（r）+f（s+t）＞f（r）+f（s）+f（t）．
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