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2025年数学高二下册期末模拟卷
一．选择题（8小题，共40分）
1．已知f（x）＝x2，则f′（x）＝（　　）
A．0 B．2x C．6 D．9
2．在等比数列{an}中，若a2a5＝a6，且a3＝9，则公比q＝（　　）
A． B．3 C． D．±3
3．的展开式中的系数为（　　）
A．56 B．﹣56 C．70 D．﹣70
4．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是（　　）
A．B． C．D．
5．某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了400人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（　　）
A．估计到达该地旅游的女性占比约为55%
B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为0.175
C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取8人
D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.6
6．2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某地为迎接春节的到来，举行了舞龙舞狮、铁水火龙、高跷秧歌、花灯猜谜、庙会祭祖五个民俗表演活动．若甲、乙、丙3人参加此次表演活动，且每人只选择一个活动参加，则3人中至多有2人所选活动相同的情况共有（　　）
A．64种 B．90种 C．120种 D．180种
7．某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品A“的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为2：3，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）＝（x﹣a2）（x﹣1）2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞1 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜1
二．多项选择题（3小题，共18分）
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．利用χ2进行独立性检验时，χ2的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立
B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C．样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱
D．用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
（多选）10．已知随机变量X N（﹣1，1），Y N（3，1），则（　　）
A．E（X）＝E（Y） B．D（X）＝D（Y）
C．P（X≤1）＝P（Y≥1） D．P（X≤﹣2）+P（Y≥2）＝1
（多选）11．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，其导函数为f′（x），则下列说法正确的是（　　）
A．f（1）＝f′（1） B．f（x）在区间（﹣2，2）上单调递减
C．f（x）无最大值，有最小值 D．若函数y＝f（x）﹣m（m∈R）有两个零点，则
三．填空题（3小题，共15分）
12．已知随机变量X服从正态分布，P（3＜X≤4）＝0.4，则P（X≤2）＝ 　 　 ．
13．参加志愿者活动可以学会团队合作，不但能开阔眼界，还能提升个人沟通技巧和组织能力，从而积累社会经验．在帮助他人的过程中，传递爱心，促进社会和谐．现在某校举行校运会，有4名志愿者前往跳高、检录、立定跳远三个项目执行任务，若每个人只能去其中一个项目，且每个项目至少安排一个志愿者，则不同的安排方法种数是 　 　 ．（用数字作答）
14．在数列{an}中给定a1，且函数的导函数有唯一的零点，函数g（x）＝8x+sin（πx）﹣cos（πx）且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝18．则a5＝　 　 ．
四．解答题（5小题，共77分）
15．（13分）某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如表：
年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年
民俗文化周届数编号X 1 2 3 4 5
外地游客人数Y（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5
（1）求Y关于X的线性回归方程；
（2）据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元．
参考公式：，．
16．（15分）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1且an+1﹣Sn＝1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列bn满足，求bn的最大值．
17．（15分）在如图所示的多面体中，DB⊥平面ABC，EA∥BD，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．
（1）求证：平面CEM⊥平面AEM．
（2）求平面EMC与平面BCD夹角的余弦值．
18．（17分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且C过点．
（1）求C的方程．
（2）过点F的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．
（i）证明：直线PM过定点．
（ii）记直线PM过的定点为Q，过点N作直线PM的垂线，垂足为H，试问|MQ||HQ|是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax．
（1）若a＝2，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝f（x）+1，讨论函数g（x）的零点个数；
（3）证明：，（n∈N*）．
参考答案与试题解析
1．已知f（x）＝x2，则f′（x）＝（　　）
A．0 B．2x C．6 D．9
【解答】解：因为f（x）＝x2，
根据函数求导公式可得，f′（x）＝2x．
故选：B．
2．在等比数列{an}中，若a2a5＝a6，且a3＝9，则公比q＝（　　）
A． B．3 C． D．±3
【解答】解：等比数列{an}中，a2a5＝a6，
可得a6＝a2a5＝a1a6，可得a1＝1，
而a3＝9，则．
故选：D．
3．的展开式中的系数为（　　）
A．56 B．﹣56 C．70 D．﹣70
【解答】解：设的通项公式为，
令8﹣2k＝﹣2，解得 k＝5，
所以的展开式中的系数是．
故选：B．
4．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：对于A，两个变量为函数关系，不是线性相关关系，所以A错误；
对于B，所有点不是在一条直线附近波动，不是线性相关关系，故B错误；
对于C，对于两个变量x，y，y随着x的增加而减少，
且所有点都在一条直线附近波动，所以具有线性相关关系，故C正确；
对于D，两个变量不具有相关性，故D错误．
故选：C．
5．某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了400人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（　　）
A．估计到达该地旅游的女性占比约为55%
B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为0.175
C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取8人
D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.6
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，到达该地旅游的女性占比约40%×0.7+35%×0.5+25%×0.6＝60.5%，A错误；
对于B，在随机选取的400人中，中年男性的占比为35%×0.5＝0.175，故随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为0.175，B正确．
对于C，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取20×35%＝7人，C错误；
对于D，到达该地旅游青年人中，女性占0.7，故在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.7，D错误．
故选：B．
6．2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某地为迎接春节的到来，举行了舞龙舞狮、铁水火龙、高跷秧歌、花灯猜谜、庙会祭祖五个民俗表演活动．若甲、乙、丙3人参加此次表演活动，且每人只选择一个活动参加，则3人中至多有2人所选活动相同的情况共有（　　）
A．64种 B．90种 C．120种 D．180种
【解答】解：甲、乙、丙3人中至多有2人所选活动相同的情况有两类：
①3人所选活动均不同，有种；
②恰有2人所选活动相同，有种；
∴共有种．
故选：C．
7．某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品A“的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为2：3，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设事件A＝“该教师为男教师”，事件B＝“该教师为女教师”，事件C＝“该教师为点赞教师”，
参与活动的男、女教师总人数比例为2：3，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，
则，，
又∵，
∴．
故选：C．
8．已知函数f（x）＝（x﹣a2）（x﹣1）2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞1 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜1
【解答】解：函数f（x）＝（x﹣a2）（x﹣1）2，
则f′（x）＝（x﹣1）2+2（x﹣a2）（x﹣1）＝（x﹣1）（3x﹣1﹣2a2），
令f′（x）＝0，可得x＝1或x，
因为函数f（x）在x＝1处取得极小值，
所以在x＝1两侧导数需满足左负右正，
所以1，解得﹣1＜a＜1．
故选：A．
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．利用χ2进行独立性检验时，χ2的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立
B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C．样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱
D．用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
【解答】解：对于A，利用χ2进行独立性检验时，χ2的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，故A错误；
对于B，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好，故B正确；
对于C，样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故C错误；
对于D，用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．已知随机变量X N（﹣1，1），Y N（3，1），则（　　）
A．E（X）＝E（Y） B．D（X）＝D（Y）
C．P（X≤1）＝P（Y≥1） D．P（X≤﹣2）+P（Y≥2）＝1
【解答】解：A选项，因为X N（﹣1，1），Y N（3，1），所以E（X）＝﹣1，E（Y）＝3，故A选项错误；
B选项，因为X N（﹣1，1），Y N（3，1），所以D（X）＝1，D（Y）＝1，所以D（X）＝D（Y），故B选项正确；
C选项，因为X N（﹣1，1），Y N（3，1），
所以P（X≤1）＝P（X≥﹣3）＝P（Y≥1），故C选项正确；
D选项，由对称性，得P（X≤﹣2）＝P（X≥0）＝P（Y≥4）＝P（Y≤2），
所以P（X≤﹣2）+P（Y≥2）＝P（Y≤2）+P（Y≥2）＝1，故D选项正确．
故选：BCD．
（多选）11．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，其导函数为f′（x），则下列说法正确的是（　　）
A．f（1）＝f′（1）
B．f（x）在区间（﹣2，2）上单调递减
C．f（x）无最大值，有最小值
D．若函数y＝f（x）﹣m（m∈R）有两个零点，则
【解答】解：函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，则f′（x）＝（x2﹣2）ex，
f′（1）＝f（1）＝﹣e，故A正确；
当或时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，），（）上单调递增，在（）上单调递减，故B错误；
作出f（x）的大致图象如图所示，
由图可知f（x）无最大值，有最小值，故C正确；
函数y＝f（x）﹣m有两个零点等价于函数y＝f（x）与直线y＝m有两个交点，
又，，
则m或，故D错误．
故选：AC．
12．已知随机变量X服从正态分布，P（3＜X≤4）＝0.4，则P（X≤2）＝ 　0.1　 ．
【解答】解：因为X～，则，
又因为P（3＜X≤4）＝0.4，
所以．
故答案为：0.1．
13．参加志愿者活动可以学会团队合作，不但能开阔眼界，还能提升个人沟通技巧和组织能力，从而积累社会经验．在帮助他人的过程中，传递爱心，促进社会和谐．现在某校举行校运会，有4名志愿者前往跳高、检录、立定跳远三个项目执行任务，若每个人只能去其中一个项目，且每个项目至少安排一个志愿者，则不同的安排方法种数是 　36　 ．（用数字作答）
【解答】解：有4名志愿者前往跳高、检录、立定跳远三个项目执行任务，若每个人只能去其中一个项目，且每个项目至少安排一个志愿者，
前往跳高、检录、立定跳远三个项目执行任务的志愿者的人数分别为：2、1、1；1、2、1；1、1、2．
故安排方法为．
故答案为：36．
14．在数列{an}中给定a1，且函数的导函数有唯一的零点，函数g（x）＝8x+sin（πx）﹣cos（πx）且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝18．则a5＝　　 ．
【解答】解：因为f'（x）＝x2﹣an+1cosx+an+2有唯一的零点且f'（x）为偶函数，
所以f'（0）＝0，即an+1﹣an＝2，n∈N*，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
又因为，
令，则h（t）为奇函数，
因为，所以h（t）在R上单调递增，
因为g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝18，
所以[g（a1）﹣2]+[g（a2）﹣2]+…+[g（a9）﹣2]＝0，
因为数列{an}是公差不为0的等差数列，其中a1＜a2＜…＜a9，
则，
假设，，
因为，
所以，
假设，同理可得，
综上，，
故答案为：．
15．某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如表：
年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年
民俗文化周届数编号X 1 2 3 4 5
外地游客人数Y（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5
（1）求Y关于X的线性回归方程；
（2）据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元．
参考公式：，．
【解答】解：（1）由所给数据计算得：
，
，
，
，
，
，
所以所求的线性回归方程为Y＝0.22X+0.34．
（2）由（1）知，当X＝9时，Y＝0.22×9+0.34＝2.32，
于是预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可达23万2千人，
由232000×100＝23200000（元），
所以预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达2320万元．
16．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1且an+1﹣Sn＝1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列bn满足，求bn的最大值．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1且an+1﹣Sn＝1，
当n≥2时，由an+1﹣Sn＝1，
可得an﹣Sn﹣1＝1（n≥2），
两式相减可得an+1＝2an，
令n＝2，则a2＝S1+1＝a1+1＝2，∴，
∴{an}为首项为1，公比为2的等比数列，
∴．
（2）由（1）知：，
则，
所以b1 b2 b3 b4 b5＞...＞bn，
所以当n＝3时，bn有最大值．
17．在如图所示的多面体中，DB⊥平面ABC，EA∥BD，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．
（1）求证：平面CEM⊥平面AEM．
（2）求平面EMC与平面BCD夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为AC＝BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB，
因为DB⊥平面ABC，EA∥BD，
所以EA⊥平面ABC，又CM 平面ABC，
所以CM⊥EA，
因为EA∩AB＝A，EA 平面AEM，AB 平面AEM，
所以CM⊥平面AEM，
因为CM 平面CEM，
所以平面CEM⊥平面AEM；
（2）解：以M为原点，以MB，MC所在直线为x，y轴，
过点M且垂直于平面ABC的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面EMC的法向量为，
则由，，可得
取x1＝1，可得，所以，
设平面BCD的法向量为，
则由，，可得
取x2＝1，解得y2＝1，z2＝0，所以，
记平面EMC与平面BCD夹角为θ，
则，
即平面EMC与平面BCD夹角的余弦值为．
18．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且C过点．
（1）求C的方程．
（2）过点F的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．
（i）证明：直线PM过定点．
（ii）记直线PM过的定点为Q，过点N作直线PM的垂线，垂足为H，试问|MQ||HQ|是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意可得，
解得a2＝4，b2＝3，
故C的方程为．
（2）（i）证明：依题意可设直线l的方程为x＝my+1（m≠0），M（x1，y1）N（x2，y2），
联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
则y1+y2，y1y2，
则直线PM的方程为，
即，
又 ，
则直线PM的方程为，故直线PM过定点（4，0）．
（Ⅱ），
因为NH⊥MH，所以，
所以
＝|（my1﹣3）（my2﹣3）+y1y2|＝|（m2+1）y1y2﹣3m（y1+y2）+9|
，
当m＝0时，|MQ||HQ|取得最小值，但此时l的斜率不存在，故|MQ||HQ|不存在最小值．
19．已知函数f（x）＝lnx﹣ax．
（1）若a＝2，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝f（x）+1，讨论函数g（x）的零点个数；
（3）证明：，（n∈N*）．
【解答】解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝lnx﹣2x的定义域为（0，+∞），求导得，
当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，
则函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以函数f（x）的递增区间是，递减区间是．
（2）函数g（x）＝lnx﹣ax+1的定义域为（0，+∞），求导得，
当a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝1﹣a＞0，
当x从大于0的方向趋近于0时，g（x）趋近于负无穷大，则函数g（x）存在唯一零点；
当a＞0时，由g′（x）＞0，得；由g′（x）＜0，得，
函数g（x）在上单调递增，在上单调递减，，
当0＜a＜1时，﹣lna＞0，当x从大于0的方向趋近于0时，g（x）趋近于负无穷大，
当x趋近于正无穷大时，g（x）趋近于负无穷大，函数g（x）有2个零点；
当a＝1时，﹣lna＝0，函数g（x）存在唯一零点；
当a＞1时，﹣hna＜0，函数g（x）无零点，即零点个数为0，
所以当a≤0或a＝1时，函数g（x）有1个零点；
当0＜a＜1时，函数g（x）有2个零点；
当a＞1时，函数g（x）有0个零点．
（3）证明：由（2）知，当a＝1时，g（x）≤0 lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取等号，
取，n∈N*，则ln1，
因此1lnlnln +lnln（ln（n+1），
所以．
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