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2025年数学高一下册期末模拟卷
一．选择题（8小题，共40分）
1．已知复数z满足（1+i）z＝2+3i，则复数z的虚部为（　　）
A．i B． C．i D．
2．若，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（　　）
A．5 B．1 C．（5，0） D．（1，0）
4．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（　　）
A．119 B．122 C．125 D．132
5．一水平放置的平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′A′＝O′C′＝2，A′B′∥O′C′，O′C′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则在原图中BC的长为（　　）
A． B． C．4 D．8
6．甲、乙两人进行投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，若第一次由甲开始投篮，则第五次是乙投篮的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． B． C．24π D．
8．设函数在区间（0，π）恰有三个极值点，两个零点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二.多项选择题（3小题，共18分）
（多选）9．下列命题正确的有（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C．的充要条件是且
D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且” “四边形ABCD是平行四边形”
（多选）10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A． B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）关于点中心对称 D．函数f（x）在区间上有5个零点
（多选）11．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，λ，μ∈（0，1），则下列说法正确的是（　　）
A．λ＝μ时，C1B1∥平面D1PQ
B．时，四面体APQD1的体积为定值
C．时， λ∈（0，1），使得A1Q⊥平面D1PA
D．若三棱锥P﹣CBD的外接球表面积为，则
三．填空题（3小题，共15分）
12．若，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 　 　 ．
13．已知，tan（α﹣β）＝1，则 　 　 ．
14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形的周长是 　 　 ．
四．解答题（5小题，共77分）
15．已知，，与的夹角是120°．
（1）计算；（2）当k为何值时，．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AC⊥PB，DB⊥PD．
（1）证明：PD⊥平面ABCD．
（2）若AD＝PD，求二面角C﹣AP﹣B的余弦值．
17．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B的值；
（2）若，求a2+c2的取值范围．
18．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝CP＝2，E为BC中点，M为BP中点，设平面AEM与平面ACP交于直线l．
（1）证明：ME∥l；
（2）若AP＝AC，AM，取AE中点N，证明：MN⊥平面ABC；
（3）在（2）的条件下，求平面AEM与平面ACP夹角的余弦值．
19．已知函数．
（1）求f（x）的图象的对称中心、对称轴及f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最值；
（3）当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
1．已知复数z满足（1+i）z＝2+3i，则复数z的虚部为（　　）
A．i B． C．i D．
【解答】解：复数z满足（1+i）z＝2+3i，
则z，
故复数z的虚部为．
故选：B．
2．若，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
则tanα＝1．
故选：B．
3．已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（　　）
A．5 B．1 C．（5，0） D．（1，0）
【解答】解：因为，可得，
，
所以，
所以在方向上的投影的数量为．
故选：A．
4．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（　　）
A．119 B．122 C．125 D．132
【解答】解：8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，
将数据从小到大排序：115，117，119，125，126，129，130，132，
8×40%＝3.2，
所以第40百分位数为第四个数，即125．
故选：C．
5．一水平放置的平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′A′＝O′C′＝2，A′B′∥O′C′，O′C′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则在原图中BC的长为（　　）
A． B． C．4 D．8
【解答】解：根据题意，设A′B′交y′轴于点D′，
在直观图中，由于，且O′A′＝A′D′＝B′D′＝2，
则，
又由B′C′∥y′轴，
在原图中，则有．
故选：B．
6．甲、乙两人进行投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，若第一次由甲开始投篮，则第五次是乙投篮的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可分两类情况，
第1类为第四次甲投篮，第2类为第四次乙投篮，
则对应的概率如下表所示：
类别 1 2 3 4 5 P
第1类 甲 甲 乙 甲 乙
甲 甲 甲 甲 乙
甲 乙 甲 甲 乙
甲 乙 乙 甲 乙
第2类 甲 甲 乙 乙 乙
甲 乙 甲 乙 乙
甲 甲 甲 乙 乙
甲 乙 乙 乙 乙
所以第五次由乙投篮的概率是P．
故选：B．
7．已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． B． C．24π D．
【解答】解：设正四棱锥的斜高为t，则侧面积为，
∴t，∴该四棱锥的高为，
设该四棱锥的外接球的半径为R，
则，解得R，
∴该四棱锥的外接球的表面积为4πR2．
故选：B．
8．设函数在区间（0，π）恰有三个极值点，两个零点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，当ω＜0时，不能满足在（0，π）上极值点比零点多，
当ω＞0时，∵x∈（0，π），∴ωx∈（，），
要使函数f（x）＝sin（）在区间（0，π）内恰有三个极值点，两个零点，
由y＝sinx的部分图象，如图，
则，解得，
即ω∈（，]．
故选：B．
（多选）9．下列命题正确的有（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C．的充要条件是且
D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且” “四边形ABCD是平行四边形”
【解答】解：对于A，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
反之，两个向量相等，不一定它们有相同的起点和终点，可知A项错误；
对于B，若与共线，根据它们有公共点B，可知A、B、C三点在同一条直线上，故B正确；
对于C，若，则与的方向相同或相反，
因此的充要条件是且它们方向相同，可知C项错误；
对于D，根据A、B、C、D是不共线的点，且，
可知四边形ABCD对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，
反之，若四边形ABCD是平行四边形，则与方向相同，且模相等，所以．
综上所述，“若A，B，C，D是不共线的四点，且”是“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件，D项正确．
故选：BD．
（多选）10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）关于点中心对称
D．函数f（x）在区间上有5个零点
【解答】解：对于A选项，观察函数的图象，得A＝2，根据周期公式可得最小正周期，解得ω＝2，
由，且在函数f（x）的递增区间内，得，，
则k＝0，，因此，故A选项正确；
对于B选项，把x代入可得，故B选项错误；
对于C选项，把x代入可得，故C选项正确；
对于D选项，当时，，由f（x）＝0，得，
因此函数f（x）在区间上有4个零点，故D选项错误．
故选：AC．
（多选）11．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，λ，μ∈（0，1），则下列说法正确的是（　　）
A．λ＝μ时，C1B1∥平面D1PQ
B．时，四面体APQD1的体积为定值
C．时， λ∈（0，1），使得A1Q⊥平面D1PA
D．若三棱锥P﹣CBD的外接球表面积为，则
【解答】解：对于A，λ＝μ时，∵，，
∴PQ∥C1B1，
又PQ 平面D1PQ，C1B1 平面D1PQ，
∴C1B1∥平面D1PQ，故A正确；
对于B，时，△AD1P的面积为定值；
∵点Q是BC1边上的点，且BC1∥平面APD1，
∴点Q到平面AD1P的距离即为直线BC1到平面AD1P的距离为定值，
∴四面体APQD1的体积为定值，故B正确；
对于C，时，以D为坐标原点，分别为x，y，z轴为正向，建立空间直角坐标系，如图，
则A（2，0，0），D1（0，0，2），P（2，2，2λ），A1（2，0，2），Q（1，2，1），
则，，
记平面D1PA的法向量为，
则，即，取x0＝﹣1，得，
又
当∥时，λ＝2 （0，1），
即不存在λ∈（0，1），使得A1Q⊥平面D1PA，故C错误；
对于D，PB⊥平面CBD于点B，
且△CBD的外接圆半径，外接球的半径为，
故由得，
∴，即，故D正确．
故选：ABD．
12．若，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 　　 ．
【解答】，
由点积大于0，得不等式：﹣3λ+20＞0，解得；
排除共线情况：
若与共线，则存在实数k，使得λ＝﹣3k且4＝5k，解得，此时．
因此，排除（此时夹角为0°，非锐角），
综上，λ的取值范围为且，即λ的取值范围为．
故答案为：．
13．已知，tan（α﹣β）＝1，则 　　 ．
【解答】解：已知，tan（α﹣β）＝1，
故tanα＝tan[（2α﹣β）﹣（α﹣β）]，
故，
所以．
故答案为：．
14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形的周长是 　32　 ．
【解答】解：根据题意，连接B1E，与BA的延长线交于点F，连接CF与AD交于点G，
如图：AEBB1，且AE∥BB1，
∴A为BF的中点，则G为AD的中点，
故截面为梯形B1CGE，
其中B1C2，EG，CG＝B1E，
则梯形B1CGE的周长为32，即所得的截面图形的周长是32．
故答案为：32．
15．已知，，与的夹角是120°．
（1）计算；
（2）当k为何值时，．
【解答】解：（1），，与的夹角是120°，
则，
故；
（2）由，
可得，即，
即16k﹣16（2k﹣1）﹣128＝0，解得k＝﹣7．则当k为﹣7时，；
综上，（1），（2）k＝﹣7．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AC⊥PB，DB⊥PD．
（1）证明：PD⊥平面ABCD．
（2）若AD＝PD，求二面角C﹣AP﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
又因为AC⊥PB，PB∩BD＝B，PB，BD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD，
因为PD 平面PBD，所以AC⊥PD，
因为DB⊥PD，AC与BD相交，AC，BD 平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD．
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝PD＝1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
则，，．
设平面ABP的法向量为，
则，则，即，
令x＝1，则z＝1，
所以平面ABP的一个法向量为．
设平面ACP的法向量为，
则，则，即，
令a＝1，则b＝c＝1，
所以平面ACP的一个法向量为．
，
易知二面角C﹣AP﹣B的平面角为锐角，
故二面角C﹣AP﹣B的余弦值为．
17．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B的值；
（2）若，求a2+c2的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理边化角可得，
所以，又sinB≠0，
所以，又B为锐角，则；
（2）由正弦定理，
则a＝4sinA，c＝4sinC，
所以a2+c2＝16sin2A+16sin2C＝8（1﹣cos2A）+8（1﹣cos2C），
，
因为在锐角△ABC中，得，
所以，
则，
所以a2+c2的取值范围为（20，24]．
18．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝CP＝2，E为BC中点，M为BP中点，设平面AEM与平面ACP交于直线l．
（1）证明：ME∥l；
（2）若AP＝AC，AM，取AE中点N，证明：MN⊥平面ABC；
（3）在（2）的条件下，求平面AEM与平面ACP夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为M，E为BP，BC中点，所以ME∥PC，且，
因为ME 平面ACP，PC 平面ACP，
所以ME∥平面ACP，
因为ME 平面AME，平面AME∩平面ACP＝l，
所以ME∥l；
（2）证明：由（1）可得是AE中点，
所以MN⊥AE，
在△ABP中，，
可得2，
两边平方可得4222+2
22+2|| ||cos∠BAP，
即8＝4+8﹣2×2×2cos∠BAP
解得，
在△ABP中，，
解得BP＝4，所以BM＝2，
在△ABC中，AB⊥AC，所以，
所以，
在Rt△AMN中，，
因为，且2，
所以4||222+2 22+2|| ||cos∠ABC
＝4+3+2×211，
解得，
在△BMN中，，所以MN⊥BN，
因为AE∩BN＝N，AE，BN 平面ABC，
所以MN⊥平面ABC；
（3）解：过N作NH∥AB交BC于H，过N作NK∥AC交BC于K，
由题意知NH⊥NK．以N为原点，NH，NK，NM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz，
则N（0，0，0），M（0，0，），A（，，0），C（，，0），B（，，0），
，得，．
设平面AME与平面ACP的法向量为别为和．
则，即，
令，则y1＝﹣1，z1＝0，所以，
则，即，
令，则z2＝1，y2＝0，所以，
可得 ，||，||，
所以cos，，
设平面AME与平面ACP的夹角为θ，有．
所以平面AME与平面ACP的夹角的余弦值为．
19．已知函数．
（1）求f（x）的图象的对称中心、对称轴及f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最值；
（3）当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
令，解得，
所以其对称中心为；
令，解得，
可得其对称轴方程为；
由，得，
可得其单调递增区间为；
（2）由于，可得，
可得，
当，即时，函数f（x）取得最小值；
当，即时，函数f（x）取得最大值2；
（3）由题意得时，有解，
而此时sinx＞0，即有解，只需要即可，
可得，
令t＝sinx，则在上单调递减，
所以当t＝1时，ymin＝1，即，
所以m的取值范围是m∈[1，+∞）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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