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2024-2025 学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = 5 + 1, ∈ }, = { |0 < < 21, ∈ },则集合 ∩ 的子集的个数为( )
A. 4 个 B. 8 个 C. 16 个 D. 32 个
2.命题“ > 0, 2 + < 0”的否定是( )
A. > 0, 2 + ≥ 0 B. ≤ 0, 2 + < 0
C. ≤ 0, 2 + ≥ 0 D. > 0, 2 + ≥ 0
3.若 > > 0，则下列不等式一定成立的是( )
A. > +1 +1 B. +
1 > + 1 C. > D. 2 + > +2
4. 1 1 (2 1)
8的展开式中的常数项为( )
A. 17 B. 16 C. 16 D. 17
5.不等式 2| + 2| + | 1| ≥ 5 成立的一个必要不充分条件是( )
A. ≤ 1 或 ≥ 0 B. ≥ 0 C. ≤ 83或 ≥ 0 D. ≥ 1
6.玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.7，0.2，0.1，一顾客欲购
一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看 4 只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾
客买下该箱的概率为( )
A. 7 B. 43 C. 437 D. 87710 50 475 950
7.互不相等的正实数 1, 2, 3, 4 ∈ 2,4,5,9 , 1, 2 , 3, 4是 1, 2, 3, 4的任意顺序排列，设随机变量 ,
= max min 1, 2 , min 3 , 4
满足： ，则( )
= min max 1, 2 , max 3 , 4
A. ( ) < ( ), ( ) > ( ) B. ( ) < ( ), ( ) = ( )
C. ( ) > ( ), ( ) > ( ) D. ( ) > ( ), ( ) = ( )
8.将六枚棋子 ， ， ， ， ， 放置在 2 × 3 且一端固定的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其
进行上色(颜色不必全部选用)，要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子 ， 的颜色必须相同，则一共有( )种
不同的放置与上色方式
A. 11232 B. 10483 C. 10368 D. 5616
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知由样本数据( , )( = 1,2,3, , 8)组成的一个样本，得到回归直线方程为 = 2 0.4 且 = 2，去除
其中两个点 ( 2,7)和 (2, 7)后，得到新的回归直线的 = 3.则下列说法正确的是(附：样本点 , 的残
差 = )( )
A.相关变量 , 具有正相关关系
B.去除点 , 后的回归直线方程为 = 3 3.2
C.去除点 , 后，随 值增加相关变量 值增加速度变小
D.去除点 , 后，样本点(4,8.9)的残差为 0.1
10.下列说法正确的有( )
A. + 1 的最小值为 2
B.已知 > 0, > 0, = + + 3，则 的取值范围是[9, + ∞)
2 2C.已知 > 0, > 0, + 2 = 1 +1，则 +
4 +1
2 的最小值为 4
D.已知 > > 0, 1 1 + + = 4，则 5 4 最小值为 2
11.某区四所高中各自组建了排球队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每
支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛),最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得 3 分，平
1
一场得 1 分，负一场得 0 分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为3 ,且每场比赛结果相互独立，则在比
赛结束时( )
A. 1甲队积分为 9 分的概率为27
B.不可能出现恰有三支球队积分相同的情况
C. 1甲队胜 2 场且乙队胜 2 场的概率为27
D. 8甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为243
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 ～ (6, )， ～ , 2 1，且 ( ≥ 4) = 2， ( ) = ( )，则 = ．
13.甲、乙、丙、丁、戊、戌 6 名同学相约到电影院观看电影《哪吒 2》，恰好买到了六张连号且在同一排
的电影票，若甲不坐在 6 个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为 ．(用数字作答)．
14.已知 ∈ , > 0，若存在实数 ∈ [0,1) ，使得| | 2成立，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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在下列三个条件中任选一．个．合．适．的条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于 50；
条件②：展开式中第 3 项的二项式系数是 21；
条件③：展开式中第 2 项与第 7 项的二项式系数相等．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
1
问题：已知二项式(2 + ) ( ∈ N ),若________，求：
(1)求 和展开式中二项式系数最大的项；
(2)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. (有
理项指所有字母的指数恰好都是整数的项)
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + 1) 2 + 1( ∈ )．
(1)当 > 2 时，解关于 的不等式 ( ) ≥ ；
(2)若不等式 ( ) ≥ 0 对于任意 ∈ [ 2,1]恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单
车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段, , 两个调查小组分
赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对 15 至
45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，进行了数据统计，具体情况如下表：
组统计结果 组统计结果
年龄＼组别
经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车
[15,25) 27 人 13 人 40 人 20 人
[25,35) 23 人 17 人 35 人 25 人
[35,45] 20 人 20 人 35 人 25 人
(1)先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 人的样本，再用分
层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．
①求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数；
②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人员召开
座谈会.会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份(其余人员仅赠送骑行优惠券).已知参加座谈会的人员
中有且只有 4 人来自 组，求 组这 4 人中得到礼品的人数 的分布列和数学期望；
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(2)根据已有数据，完成下列 2 × 2 列联表(单位：人)，并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的前提下有把
握认为“经常使用共享单车与年龄(35 岁)有关”？
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到 35 岁
达到 35 岁
合计
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + ) ,其中 = + + + ．
参考数据：
2 ≥ 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18.(本小题 17 分)
对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从
最大的数开始交替地减，加后继的数，例如 2,3,5 的“交替和”是 5 3 + 2 = 4, 5 的“交替和”是 5．
(1)求集合 1,2,3 的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合 = 1,2,3,4,5,6 ，求集合 所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合 = { = 5 2 , = 1,2, , }，其中 ∈ N ,求集合 所有非空子集的交替和的总和．
19.(本小题 17 分)
“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节
举办形式多样的猜灯谜活动．
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为 、 两类，抽到较易的 类并答对购物打八折优惠，
抽到稍难的 类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有 8 张完全相同的卡片，
其中 3 张写有 字母，3 张写有 字母，2 张写有 字母，顾客每次不放回从箱中随机取出 1 张卡片，若抽到
写有 的卡片，则再抽 1 次，直至取到写有 或 卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有 的卡片
的条件下，求他共抽了 3 次的概率．
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共
会遇到 条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备
采用如下策略：不摘前 (1 ≤ < )条灯谜，自第 + 1 条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就
摘这条灯谜，否则就摘最后一条.设 = ，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为 ．
( )若 = 4, = 2，求 ；
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( )当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值．
( 1+ 1 1 取 +1+ + 1 = ln )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13.144
14. 1, 2+12
3
15.(1) 1 1解：由二项式(2 + ) 的展开式的通项为 =
(2 ) ( ) +1 = 2
2 ，
若选条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于 50，可得2 1 = 50，
因为 ∈ N ，次数不存这样的 ，不符合题意；
若选条件②：展开式中第 3 项的二项式系数是 21，即 2 = 21，可得 = 7，
若选条件③：展开式中第 2 项与第 7 项的二项式系数相等，可得 1 = 6 ，此时 = 7，
1
所以二项式(2 + 7 ) ，可得展开式中二项式系数最大的项为第 4 项和第 5 项，
3 5 3
即 4 3 7 ×3 3 4 7 ×44 = 2 7 2 = 460 2和 5 = 2 7 2 = 280 ．
3
(2)解：由二项式(2 + 1 )7 的展开式的通项为
7 7
+1 = 2 7 2 , ( = 0,1,2, , 7)，
当 = 0,2,4,6 时，可得展开式为有理项；当 = 1,3,5,7 时，可得展开式为无理项，
从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，
可分为两类：一项为有理项，两项为无理项或两项为有理项，一项为无理项，
当一项为有理项，两项为无理项时，有 14 24 = 24；
当两项为有理项，一项为无理项时，有 2 14 4 = 24，
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综上可得，共有 24 + 24 = 48 不同取法．
16.(1)由 ( ) ≥ ，则( + 1) 2 1 = [( + 1) + 1]( 1) ≥ 0，
当 + 1 = 0，即 = 1 时，解集为{ | ≥ 1}；
当 + 1 > 0，即 > 1 时，解集为{ | ≤ 1 +1或 ≥ 1}；
当 + 1 < 0 1，即 2 < < 1 时，解集为{ |1 ≤ ≤ +1 }；
(2)由题设， ∈ [ 2,1]时( + 1) 2 + 1 ≥ 0 恒成立，
所以 ( 2 + 1) ≥ 1 2，又 2 + 1 = ( 12 )
2 + 34 > 0，
∈ [ 2,1] ≥ 1
2
= 2 所以 上 2 +1 2 +1 1 恒成立，
令 = 2 ∈ [1,4]，则 = 2 ，
2 1 1 1 2 3
所以 2 +1 1 = (2 )2 (2 )+1 1 = 2 3 +3 1 = +3
1 ≤ 1 = 1 = ，
3 2 3 3
2 3 3 3
当且仅当 = 3 2 3，即 = 2 3时取等号，所以 ≥ 3 ．
17.(1) 100由题意有：①从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的有 60 × 300 = 20 人，
再将这 20 人用分层抽样法按 是否经常使用单车 进行名额划分，其中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”
45
的人数为 20 × 100 = 9 人.
② 组这 4 人中得到礼品的人数 的可能取值为 0，1，2，3，
C3 5 1 2 2 1 3
所以 ( = 0) = 53 = 42 , ( = 1) =
C4C5 = 103 21 , ( = 2) =
C4C5 = 53 , ( = 3) =
C4
3 =
1
，所以 的分布列
C9 C9 C9 14 C9 21
为
0 1 2 3
5 10 5 1
45 21 14 21
所以 ( ) = 0 × 5 + 1 × 10 5 1 445 21 + 2 × 14+ 3 × 21 = 3，
(2)
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经常使用单车偶尔使用单车合计
未达到 35 岁125 75 200
达到 35 岁 55 45 100
合计 180 120 300
2 = 300× 125×45 75×55
2
= 25所以 200×100×180×120 16 ≈ 1.563 < 6.635，
所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下没有把握认为“经常使用共享单车与年龄(35 岁)有关”．
18.(1)集合 1,2,3 的非空子集有 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3 ，
根据题意，集合 1 , 2 , 3 的交替和分别为 1,2,3，
集合 1,2 的交替和为 2 1 = 1，
集合 1,3 的交替和为 3 1 = 2，
集合 2,3 的交替和为 3 2 = 1，
集合 1,2,3 的交替和为 3 2 + 1 = 2，
所以，集合 1,2,3 的所有非空子集的交替和的总和为 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1 + 2 = 12．
(2)集合 = 1,2,3,4,5,6 的所有非空子集中，考虑数字 1 在子集中出现的情况，
相当于从剩下的 5 个元素中选取若干个元素与 1 组成子集，那么 1 出现的次数为25 = 32 次.
同理，每个元素出现的次数为25 = 32 次，
所以，集合 所有非空子集的元素和的总和为 32 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 672．
(3)集合 = { = 5 2 , = 1,2, , } = 3,1, 1, 3, , 5 2 ，其非空子集有2 1 个，
将这些非空子集分为 3 类：第一类，含元素 3 的单元素集 3 ，有 1 个，其“交替和”为 3；
第二类，含元素 3 的多元素集合(至少两个元素)，有2 1 1 个；
第三类，不含元素 3 的非空集合，有2 1 1 个，
将第二类中的集合 与第三类中的集合 ′(集合 中的元素去掉元素 3 构成的新集合)配对，
则集合 与集合 ′的“交替和”的和始终为 3，
如取 = 3,1, 5 ，则 ′ = 1, 5 ，集合 与集合 ′的“交替和”的和为 3 1 + ( 5) + 1 ( 5) =
3，
这样的配对共有2 1 1 组，因此集合 的所有非空子集的“交替和”的总和为 3 2 1 1 + 3 = 3 ×
2 1, ∈ N ．
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19.(1)设 表示共抽了 3 次，对应事件为{第一、二次都抽到 ，第三次抽到 }，
3 2 1
由题意，第一、二次抽到 的概率依次为8、7，第三次抽到 的概率为3，
( ) = 3 × 2 × 1 1所以 8 7 3 = 28，
而最后一次抽到 的情况有{抽了 1 次}、{抽了 2 次}、{抽了 3 次}、{抽了 4 次}，
1 3 2 3 1 3 2 1 2 1
除了最后一次，其它抽到 ，故对应概率依次为4、8 × 7 = 28、28、8 × 7 × 6 × 5 = 140，
1
5
所以该顾客最后一次取到的是写有 的卡片的条件下，求他共抽了 3 次的概率为 281 3 1 1 = ．
4+ 5628+28+140
(2)( )这 4 条灯谜的位置从第 1 个到第 4 个排序，有 44 = 24 种情况，
要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况：
①最适合灯谜是第 3 个，其它的随意在哪个位置，有 33 = 6 种情况；
②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第 1 个或第 2 个，其它的随意在哪个位置，有 2 22 = 4 种情况，
6+4 5
综上，所求概率为 24 = 12；
( ) 1记事件 表示最适合灯谜被摘到，事件 表示最适合灯谜排在第 个，则 = ，
由全概率公式知： ( ) = =1 ( |
1
) ( ) = =1 ( | )，
当 1 ≤ ≤ 时，最适合灯谜在前 条中，不会被摘到，此时 | = 0；
当 + 1 ≤ ≤ 时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前 1 条灯谜中的最适合那条在前 个之中时，此时
| = 1，
1
所以 ( ) = + +1+ + 1 = ln ，
( ) = ln ( > 0) ′( ) = 1 ln 1令 ，则 ，由 ′ ( ) = 0

，得 = e，
当 ∈ (0, e )时，
′( ) > 0，当 ∈ ( e , )时，
′( ) < 0，
( ) (0, 所以 在 e )上单调递增，在( e , )上单调递减，故 ( )max = (

e ) =
1
e，

当 = e时， ( ) = ln
1 1 1
取得最大值e，从而 的最大值为e，此时 的值为e .
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