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(共33张PPT)
北师大版数学七年级下册
第一章 整式的乘除
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
1.3第4课时 完全平方公式的应用
1.3　乘法公式
目录
壹
学习目标
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
学习目标
学习目标
1.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式.
2.能准确运用平方差公式、完全平方公式及多项式乘以多项式的法则进行多项式的乘法运算和数的简便计算.
3.理解并掌握完全平方公式的几种变化形式.
第贰章节
新课导入
新课导入
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
前面我们学习了完全平方公式：
口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。
第叁章节
新知探究
新知探究
完全平方公式的几何验证
1
问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).
(1) 四块实验田面积分别为：
， ，
， .
a
a
b
b
a2
ab
b2
ab
(2)两种形式表示实验田的总面积：
a
a
b
b
①从整体看：
边长为 的大正方形，
S大正方形＝ ；
(a+b)
(a+b)2
②从部分看：
四块面积的和S＝ .
a +2ab+b
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
和的完全平方公式：
想一想
你能根据图中的面积解释完全平方公式吗
画一画
画一画：我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形验证(a－b)2 =a2－2ab + b2
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？
(1) 1022； (2) 1972.
解：原式 = (100 + 2)2
= 10 000 + 400 + 4
= 10 404.
解：原式 = (200－3)2
= 40 000－1200 + 9
= 38 809.
= 1002－2×100×2 + 22
= 2002－2×200×3 + 32
想一想
方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
例2 运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)；
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9.
解：原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
同号
异号
a
b
平方差公式
整体
典例精析
(2) ( a + b + c )2.
解：原式 = [(a + b) + c]2
方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
完全平方公式
都同号
例2 计算：
(1) (x + 3)2 – x2；
解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2
= 6x + 9；
或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x)
= (2x + 3)×3
= 6x + 9.
还有其他的方法吗？
典例精析
(2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )；
解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3]
= (a + b)2 - 32
= a2 + 2ab + b2 - 9.
(3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3).
解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6)
= x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6
= 15x + 19.
(4) [( a + b) ( a - b)]2.
解： 原式 = ( a2 - b2 )2
= a4 - 2a2b2 + b4.
2. 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
解：因为 a＋b＝7，
要熟记完全平方公式哦！
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29，
所以 (a＋b)2＝49.
练一练
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1．利用完全平方公式计算：
962＝(100－4)2＝　 　＝　 　．
2．整式A与m2－2mn＋n2的和是(m＋n)2，则A＝　 　．　
3．计算：(1)(2x－y)(－2x＋y)；　　　　　(2)(ab＋1)2－(ab－1)2．
(2)原式＝a2b2＋2ab＋1－a2b2＋2ab－1＝4ab．
解：(1)原式＝－(2x－y)2＝－(4x2－4xy＋y2)＝－4x2＋4xy－y2．
　4mn　
　9 216　
知识点：完全平方公式的应用
　1002－2×100×4＋42　
4．已知a＞b，ab＝2且a2＋b2＝5，则a－b＝　 　．
5．利用整式乘法公式计算下面各题：
(1)2992；　　　　　　　　　　 (2)．
　1　
解：(1)原式＝(300－1)2＝89 401．
(2)原式＝＝880．
6．若a2＋b2＋4a－6b＋13＝0，试求ab的值．
－6
1．下列计算正确的是(　 　)．
A．(a－1)2＝a2－1 B．(－a3b)2＝－a6b2
C．a6÷a3＝a2 D．(a2)3＝a6
　D　
2．若x＋＝3，则x2＋＝(　 　)．
A．11 B．9 C．7 D．5
　C　
3．计算：
(1)＝　 　；
(2)(3a＋6)2＝　 　．
4．已知y＋2x＝1，求代数式(y＋1)2－(y2－4x)的值．
x2－
3
　9a2＋36a＋36 　
5．已知x＋＝3，求下列各式的值：
(1)； (2)x4＋．
(2)47
(1)5
6．下列结论正确的是(　 　)．
①若(x－1＝1，则x只能是－1；
②若(x－1)(x2＋ax＋1)的运算结果中不含x2项，则a＝1；
③若a＋b＝8，ab＝7，则a－b＝4；
④若4x＝a，8y＝b，则可表示为．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
　D　
7．已知代数式a2＋(2t－1)ab＋4b2是一个完全平方式，则实数t的值为
　．
8．已知(x－2 021)2＋(x－2 025)2＝34，则(x－2 023)2的值是(　 　)．
A．5 B．9 C．13 D．17
　C　

9．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种图形中能够验证“平方差公式”的有_________
(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：2 0222－2 024×2 020；
2 0222－2 0222＋4＝4．
解：(2)原式＝2 0222－(2 022＋2)(2 022－2)＝2 0222－(2 0222－4)＝
　①②③　
(3)【拓展】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)．
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)
＝(28－1)(28＋1)…(232＋1)＝(216－1)(216＋1)(232＋1)
＝(232－1)(232＋1)＝264－1．
第伍章节
课堂小结
课堂小结
简便运算
混合运算
平方差公式的应用
实际应用:运用完全平方公式进行推理
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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