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北师大版数学七年级下册
第一章 整式的乘除
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
1.3 第3课时 完全平方公式的认识
1.3　乘法公式
目录
壹
学习目标
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
学习目标
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式.
2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想.
第贰章节
新课导入
新课导入
什么是多项式乘多项式法则
平方差公式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(m+a) (n+b) = mn+mb+an+ab
由下面的两个图形你能得到哪个公式
(a + b)(a – b)= a2 – b2
第叁章节
新知探究
新知探究
完全平方公式
1
算一算：
(1) (1 - p)2
解：原式 = ( 1 - p )( 1 - p )
= 1 - p - p + p2
= 1 - 2p + p2.
(2) (m + 3)2
解：原式 = (m + 3)(m + 3)
= m2 + 3m + 3m + 9
= m2 + 2×3m + 9
= m2 + 6m + 9.
解：原式= (2 + 3x)(2 + 3x)
= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2
= 4 + 2×2×3x + 9x2
= 4 + 12x + 9x2.
(3) (2 + 3x)2
追问 1：上述式子的左边有什么共同特征 计算的结果都是几次几项式
左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式.
追问 2：计算结果的每一项分别与括号里的每一项有什么关系
结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的 2 倍.
(1) (1 - p)2 = 1 - 2p + p2.
(2) (m + 3)2= m2 + 6m + 9
(3) (2 + 3x)2 = 4 + 12x + 9x2.
比一比：
根据发现的特征，写出下面式子的答案：
(1) (a＋b)2 = ；
(2) (a－b)2 = .
a2＋2ab＋b2
a2－2ab + b2
观察并比较(1)(2)两个式子，等式左边(右边)相同的项.
(1) (a＋b)2
= (a＋b)(a＋b)
= a2＋ab＋ab＋b2
= a2＋2ab＋b2
(2) (a－b)2
= [a＋(－b)]2
= a2＋a(－b)＋a(－b)＋(－b)2
= a2＋2a(－b)＋(－b)2
= a2－2ab＋b2
推导 过程验证：
议一议
追问 1：(1)(2)两个式子等式右边不同的是哪一项
它的符号与什么有关
＋2ab 和－2ab. 与两数中间的符号有关.
(1) (a＋b)2 = a2＋2ab＋b2
(2) (a－b)2 = a2－2ab＋b2
追问 2：能否描述你们发现的规律 (分别从文字语言和符号语言角度引导)
文字语言：两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的 2 倍.
符号语言：(a±b) = a ±2ab＋b .
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中间”
知识要点
完全平方公式
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式.
例1 利用完全平方公式计算：
解：(2x－3)2 =
=4x2
(1) (2x－3)2；
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(2x)2
－ 2 (2x) 3
+ 32
－12x
+ 9；
典例精析
(2) (4x＋5y)2；
解： (4x＋5y)2 =
(4x)2
＋2 (4x) 5y
＋(5y)2
( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2
= 16x2＋40xy＋25y2；
(3) (mn－a)2.
解： (mn－a)2 = (mn)2－ 2 mn a＋a2
= m2n2－2amn＋a2.
1.利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.
(3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2.
(2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
练一练
思考：(a + b)2 与 (- a - b)2 相等吗
(a - b)2 与 (b - a)2 相等吗
(a - b)2 与 a2 - b2 相等吗 为什么
解：(-a - b)2 = (-a)2 - 2·(-a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
(b - a)2 = b2 - 2ba + a2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
(a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，
只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2.
想一想
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1．利用多项式乘法法则计算下面各题：
(1)(a＋b)2；　　　　　　　　　　　　　(2)(a－b)2．

(2)a2－2ab＋b2
知识点：完全平方公式
(1)a2＋2ab＋b2
2．补全计算过程：
(1)(2a＋b)2＝(2a)2＋2(　 　)·(　 　)＋b2＝　 　；
(2)(3x＋4y)2＝(3x)2＋2(　 　)·(　 　)＋(4y)2＝　 　．
　9x2＋24xy＋16y2　
　4y　
　3x　
　4a2＋4ab＋b2　
　b　
　2a　
3．下列运算正确的是(　 　)．
A．x3·x5＝x15　　　　　　B．2x＋3y＝5xy
C．(x－2)2＝x2－4　　　 D．2x2·(3x2－5y)＝6x4－10x2y
　D　
4．下列计算正确的是(　 　)．
A．2a＋3b＝5ab B．(－a3b4)2＝a6b8
C．a6÷a2＝a3 D．(a＋b)2＝a2＋b2
5．若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2的值为　 　．　
　90　
　B　
6．计算：
(1)(－5a＋4b)2；　　　　　　　　　　 (2)；
(3)； (4)．
(1)25a2－40ab＋16b2
(2)4a2－ ab＋ b2
(3) a2－ ab＋ b2
(4)m2n2－ mn＋
7．诚诚同学在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板A，B进行拼接(重组)探究，已知纸板A与B的面积之和为52．如图所示，现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为9；若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为(　 　)．
A．40　 B．41
C．43　　　 D．45
　C　
1．已知a－b＝1，且a2＋b2＝25，则ab的值为(　 　)
A．10 B．11 C．12 D．13
2．下列计算正确的是(　 　)．
A．3x＋3y＝6xy
B．(－3xy)2＝6x2y2
C．x6÷x3＝x2
D．(2x－y)2＝4x2－4xy＋y2
　D　
　C　
3．如果x2－3x＋k(k是常数)是完全平方式，那么k的值为(　 　)．
A．6 B．9 C． D．
4．设(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋A，则A＝(　 　)．
A．30ab B．60ab C．15ab D．12ab
　B　
　D　
5．已知m＝2n＋3，求m2－4mn＋4n2的值．
9
6．若关于x的二次三项式x2－ax＋36是一个完全平方式，则a的值是
(　 　)．
A．12 B．±12 C．6 D．±6
　B　
7．已知y2－my＋9是完全平方式，则m的值为　 ．　
±　
8．如图，两个正方形的边长分别为a和b，若a＋b＝8，ab＝14，则阴影部分的面积是　 　．
　18　
第伍章节
课堂小结
课堂小结
完全平方公式
结果是三项，不要漏掉中间项
(a±b)2=a2±2ab+b2
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍
符号表示
注意
内容
中间项的符号要正确
图形变形前后阴影部分面积相等
几何解释
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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