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湘教版2024—2025学年七年级下学期数学第三次月考模拟试卷（一）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．的算术平方根等于（　　）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
2．2﹣的相反数是（　　）
A．2+ B．﹣2+ C．﹣2﹣ D．2﹣
3．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（　　）
A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：01
4．把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b、c大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
6．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．2
7．把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
8．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°
C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
9．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．对于实数a，b，整式P，Q，规定整式的运算：P Q＝aP+bQ，n⊙P．当n≠1时，若对于n⊙P＝P始终成立，则a，b满足的条件是（　　）
A．a＝b B．ab＝0 C．a+b＝0 D．a+b＝1
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若2m＝3，2n＝5，则22m+n＝ 　 　 ．
12．比较大小： 　 　 ．
13．若（m+1）x|m|﹣5＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　 ．
14．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　 　 ．
15． 　 　
16．已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c＝4，2a+b+3c＝5，设s＝5a+4b+7c的最大值是m，最小值是n，则m+n的值为 　．
第II卷
湘教版2024—2025学年七年级下学期数学第三次月考模拟试卷（一）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+2a（a﹣3b）﹣（a﹣2b）2，其中a＝1，b＝2．
18．某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求2a﹣b的算术平方根．
19．在计算（x+a）（2x+b）时，甲同学由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为2x2﹣x﹣3，乙同学漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为x2﹣4x+3．
（1）求a，b的值．
（2）请你计算出正确的结果．
20．已知关于x，y的方程组
（1）用含a的式子表示x、y．
（2）x＞0，y＞0，求a的取值范围．
（3）在（2）的条件下，化简|3a+2|﹣2|2a﹣4|+3|a﹣3|．
21．如图，EF∥CD，∠1＝140°，∠2＝40°．
（1）试说明：DG∥AC；
根据题图，在下列解答中，给①、②处填上适当的理由．
解：∵EF∥CD（已知），
∴∠1+∠ACD＝180°（①　 　），
∵∠1＝140°（已知），
∴∠ACD＝40°（等式的性质），
∵∠2＝40°（已知），
∴∠ACD＝∠2（等量代换），
∴DG∥AC（②　 　）．
（2）若DG平分∠CDB，求∠A的度数．
22．有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题方法为把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即a+3＝0，所以a＝﹣3．
[理解应用]
（1）若关于x的多项式（2m﹣3） x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值．
（2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值．
（3）如图①，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张如图①所示的纸片按照图②中的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2．当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
23．先阅读下面的文字，再解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即
∴的整数部分为2，小数部分为．
（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
24．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：1是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；
（3）若关于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：2x是同解不等式，试求关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集．
25．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣8|+（b﹣2）2＝0．
（1）a＝ 　 　，b＝ 　 　；
（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
（3）若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
参考答案
一、选择题
1—10：CBBCB BBDBC
二、填空题
11．【解答】解：22m+n＝（2m）2 2n＝32×5＝45．
故答案为：45．
12．【解答】解：∵，，18＜12，
∴．
故答案为：＞．
13．【解答】解：由条件可知|m|＝1且m+1≠0，
∴m＝1．
故答案为：1．
14．【解答】解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∴AH＝DG，
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，又BE＝8，
∴CE＝3，又△DCE的面积为6，
∴DG＝4，
∴四边形ABCD的面积＝BC×AH＝20，
故答案为：20．
15．【解答】解：，
故答案为：．
16．【解答】解：∵3a+2b+c＝4①，2a+b+3c＝5②，②×2﹣①得，a+5c＝6，a＝6﹣5c，
①×2﹣②×3得，b﹣7c＝﹣7，b＝7c﹣7，
又已知a、b、c为非负实数，
∴6﹣5c≥0，7c﹣7≥0，1≤e≤S＝5a+4b+7c＝5×（6﹣5c）+4×（7c﹣7）+7c＝10c+2，
∴10≤10c≤12 12≤10c+2＝S≤14，
即m＝14，n＝12，
故m+n＝26．
故答案为：26．
三、解答题
17．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+2a（a﹣3b）﹣（a﹣2b）2
＝4﹣a2+2a2﹣6ab﹣a2+4ab﹣4b2
＝4﹣2ab﹣4b2，
当a＝1，b＝2时，原式＝4﹣2×1×2﹣4×22＝﹣16．
18．【解答】解：（1）∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，
∴a+3+2a﹣15＝0，b＝（﹣2）3＝﹣8，
解得，a＝4，b＝﹣8；
（2）∵a＝4，b＝﹣8，
∴2a﹣b＝2×4﹣（﹣8）＝16，
∵16的算术平方根是4，
∴2a﹣b的算术平方根是4．
19．【解答】解：（1）由题意得：
（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab，
则2x2+（b﹣2a）x﹣ab＝2x2﹣x﹣3，
∴b﹣2a＝﹣1①，
（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
则x2+（a+b）x+ab＝x2﹣4x+3，
∴a+b＝﹣4②，
组成方程组为：，
解得：；
（2）（x﹣1）（2x﹣3）
＝2x2﹣3x﹣2x+3
＝2x2﹣5x+3．
20．【解答】解：（1）①×3+②×2，得：19x＝57a+38，
解得x＝3a+2，
将x＝3a+2代入①，得：15a+10+2y＝11a+18，
解得y＝﹣2a+4；
（2）根据题意，得：，
解得：﹣＜a＜2；
（3）原式＝3a+2+2（2a﹣4）﹣3（a﹣3）
＝3a+2+4a﹣8﹣3a+9
＝4a+3
21．【解答】解：（1）∵EF∥CD（已知），
∴∠1+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1＝140°（已知），
∴∠ACD＝40°（等式的性质），
∵∠2＝40°（已知），
∴∠ACD＝∠2（等量代换），
∴DG∥AC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；
（2）∵DG平分∠CDB，∠2＝40°，
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∵DG∥AC，
∴∠A＝∠BDG＝40°．
22．【解答】解：（1）∵关于x的多项式（2m﹣3） x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
解得：m＝1.5；
（2）∵3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝（﹣6+15y）x﹣9，
由题意得：﹣6+15y＝0，
解得：y＝0.4；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），
∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，
∴S1﹣S2取值与x无关，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
23．【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是；
（2）∵，
∴，
∵的小数部分为a，
∴，
∵，
∴，
∵的整数部分为b，
∴b＝3，
∴；
（3）∵，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x是的整数部分，y是的小数部分，
∵，
∴，
∴x＝11，，
∴；
24．【解答】解：（1）解关于x的不等式A：1﹣3x＞0，得x，
解不等式B：1，得x，
由题意得：，
解得：a＝1．
（2）解不等式C：x+1＞mn得：x＞mn﹣1，
不等式D：x﹣3＞m得：x＞m+3，
∴mn﹣1＝m+3，
∴m，
∵m，n是正整数，
∴n﹣1为1或4或2，
∴m＝4，n＝2或；m＝1，n＝5或m＝2，n＝3．
（3）解不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0得：x（2a﹣b＜0），
解不等式Q：2x得：x，
∴，
∴7a＝8b，
∵2a﹣b＜0，
∴4b＝3.5a，且a＜0，
∴a﹣4b＝a﹣3.5a＝﹣2.5a＞0，
∴（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解为：x．
25．【解答】解：（1）∵|a﹣8|+（b﹣2）2＝0，|a﹣8|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a﹣8＝0，b﹣2＝0，
∴a＝8，b＝2，
故答案为：8；2；
（2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直，
如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∵PQ∥MN，
∴∠ABQ+∠BAM＝180°，
∴∠OBQ+∠OAM＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠OBQ＝2t°，∠OAM＝8t°，
∴2t+8t＝90，
∴10t＝90，
∴t＝9，
∴至少旋转9秒时，射线AM、射线BQ互相垂直；
（3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM′的位置，则∠MAM′＝15×8＝120°，
∴∠M′AB＝180°﹣45°﹣120°＝15°；
分两种情况：
①当时，∠QBQ′＝2t°，∠M′AM″＝8t°，
∵PQ∥MN，
∴∠BAN＝45°＝∠ABQ，
∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝∠M′AM″﹣∠M′AB＝8t°﹣15°，
当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″，
∴45﹣2t＝8t﹣15，
∴10t＝60，
解得t＝6；
②当7.5＜t＜13.125时，∠QBQ′＝2t°，∠NAM″＝8（t﹣7.5）°＝8t°﹣60°，
∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝45°﹣（8t°﹣60°）＝105°﹣8t°，
当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″，
此时，45﹣2t＝105﹣8t，
∴6t＝60，
解得t＝10；
综上所述，射线AM再转动6秒或10秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
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