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湘教版2024—2025学年七年级下学期数学第三次月考全真模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．如图所示的图标中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2.若a＞b，且c是任意实数，则下列不等式总成立的是（　　）
A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．a﹣c＞b﹣c D．﹣ac＜﹣bc
3．计算的结果为（　　）
A．1 B． C． D．1.2
4．若整数m满足，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（1﹣5m）（5m﹣1）
C．（3x﹣5y）（3x+5y） D．（a+b）（﹣a﹣b）
6．若（2x+m）（x﹣3）的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　）
A．﹣6 B．0 C．3 D．6
7．已知，，则（　　）
A．0.1333 B．13.33 C．0.2872 D．28.72
8．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥|b，∠1＝40°，则∠2＝（　　）
A．50° B．40°
C．30° D．45°
9．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
10．对a，b定义一种新运算“ ”，规定：a b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知：a﹣b＝5，a2+b2＝15，则ab＝　 　．
12．若a﹣b＝2，则5a÷5b＝　 　
13．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a﹣b＝　 　．
14．已知，则x2﹣x的值是 　 　．
15．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2＝ 　 　．
16．如图，已知AB∥CD，EF∥BN，MN∥DE，则∠ABF+∠E+∠F+∠EPN+∠M+∠N+∠CDM＝　 　．
第II卷
湘教版2024—2025学年七年级下学期数学第三次月考全真模拟试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：（3x﹣y）2+2x（x﹣y）﹣y2．
18．解不等式组，并求出不等式组的非负整数解．
19．若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2．
（1）求a和b的值；
（2）求a+3b的平方根．
20．如图：已知，∠EAB＝∠OBC，∠AEF+∠AOB＝180°
（1）求证：EF∥AO（把证明过程补充完整并在括号内填上理由）；
解：∵∠EAB＝∠OBC（　 　），
∴AE∥BO（　 　）．
∴　 　（两直线平行，内错角相等）．
∵∠AEF+∠AOB＝180°，
∴∠AEF+∠EAO＝180°（　 　）．
∴EF∥AO（　 　）．
（2）若AO平分∠EAB，∠EFO＝92°，∠OBC＝70°，求∠BOC的度数．
21．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请直接写出点A、B的坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'；
（3）求△ABC的面积；
（4）若在x轴上有一点P，使得△BCP的面积为4，则点P的坐标是 　 ．
22．如图，直线AB与CD被直线EF所截，EF与AB，CD分别交于点P，O，且AO⊥BO，∠1+∠2＝90°．
（1）试说明：AB∥CD；
（2）若OB平分∠DOE，∠3＝4∠2，求∠OPB的度数．
23．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需130元；购买5个A奖品和4个B奖品共需230元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．购买预算金不超过920元，请问学校有几种购买方案．
24．我们约定：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．
例如：不等式组是的“子集”．
若不等式组：，，则其中不等式组 　　是不等式组的“子集”（填A或B）；
（2）若关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　 　；
（3）若关于x的不等式组有解且是不等式组的“子集”，求a的取值范围是 　 　；
（4）若关于x的不等式组是不等式组N：﹣2≤x≤7的“子集”且不等式组M的所有整数解的和为15，请求出m，n的取值范围．
25．通过第1章的学习，我们已经知道，对于一个图形（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2可以得到：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形．
（1）【探索发现】根据图中条件，猜想并验证（a+b）2与（a﹣b）2之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）；图3表示：　 　 ；
（2）【解决问题】①若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝ 　 　 ；
②当（x﹣300）（200﹣x）＝1996时，求（2x﹣500）2的值；
（3）【拓展提升】如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB＝10，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和S1+S2．
参考答案
一、选择题
1—10：CCCDC DBAAB
二、填空题
11．【解答】解：根据题意可知，∵a﹣b＝5，a2+b2＝15，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
即25＝15﹣2ab，
解得：ab＝﹣5．
故答案为：﹣5．
12．【解答】解：5a÷5b＝5a﹣b，
又a﹣b＝2，
故5a÷5b＝5a﹣b＝52＝25．
故答案为：25．
13．【解答】解：∵3＜＜4，a＜＜b，
∵a，b为两个连续的整数，
∴a＝3，b＝4，
∴a﹣b＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．【解答】解：∵，
∴x﹣1＝0或±1，
∴x＝1或x＝2或x＝0，
当x＝1时，x2﹣x＝0；
当x＝2时，x2﹣x＝2；
当x＝0时，x2﹣x＝0；
综上，x2﹣x的值是0或2，
故答案为：0或2．
15．【解答】解：如图，
∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝∠3+∠1＝100°．
故答案为：100°．
16．【解答】解：如图，过P作PQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∵EF∥BN，
∴∠F＝∠FBP，∠E＝∠EPB，
∵PQ∥AB，
∴∠ABP＝∠BPQ，
∴∠ABF+∠F＝∠ABP＝∠BPQ，
∵MN∥DE，
∴∠M＝∠MDE，∠N＝∠NPD，
∵PQ∥CD，
∴∠CDP＝∠DPQ，
∴∠M+∠CDM＝∠CDP＝∠DPQ，
∴∠ABF+∠E+∠F+∠EPN+∠M+∠N+∠CDM
＝∠EPB+∠BPQ+∠EPN+∠NPD+∠DPQ
＝360°．
故答案为：360°．
三、解答题
17．【解答】解：原式＝9x2﹣6xy+y2+2x2﹣2xy﹣y2＝11x2﹣8xy．
18．【解答】解：解不等式（1）得x≥﹣1
解不等式（2）得x＜3
∴原不等式组的解集是﹣1≤x＜3
∴不等式组的非负整数解0，1，2．
19．【解答】解：（1）由题可知，
∴3b﹣5+（﹣2b+2）＝0，
∴b＝3，
∴a＝（3b﹣5）2＝42＝16；
（2）∵a＝16，b＝3，
∴a+3b＝16+3×3＝16+9＝25，
∵25的平方根是±5，
∴a+3b的平方根为±5．
20．【解答】解：（1）∵∠EAB＝∠OBC（已知），
∴AE∥BO（同位角相等，两直线平行），
∴∠EAO＝∠BOA（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEF+∠AOB＝180°，
∴∠AEF+∠EAO＝180°（等量代换），
∴EF∥AO（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知；同位角相等，两直线平行；∠EAO＝∠BAO；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
（2）∵AO平分∠EAB，
∴，
∵∠EAB＝∠OBC，∠EFO＝92°，∠OBC＝70°，
∴AE∥BO，∠EAO＝∠OAB∠EAB70°＝35°，
∴∠EAO＝∠BOA＝35°，
∵EF∥AO，
∴∠EFO＝∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝92°，
∴35°+∠BOC＝92°，
解得∠BOC＝57°．
所以∠BOC的度数为57°．
21．【解答】解：（1）由图可得，A（﹣4，4），B（﹣2，0）．
（2）如图，△A'B'C'即为所求．
（3）△ABC的面积为9﹣1﹣4＝4．
（4）设点P的坐标是（m，0），
∵△BCP的面积为4，
∴4，
解得m＝2或﹣6，
∴点P的坐标是（2，0）或（﹣6，0）．
故答案为：（2，0）或（﹣6，0）．
22．【解答】解：（1）∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠2＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOC＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）∵OB平分∠DOE，
∴∠DOE＝2∠2，
∵∠3＝4∠2，∠3+∠DOE＝180°，
∴4∠2+2∠2＝180°，
∴∠2＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠DOE+∠OPB＝180°，
∴∠OPB＝120°．
23．【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元．
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，
依题意，得：，
解得：10≤m≤12．
∵m为整数，
∴m＝10，11，12，
∴40﹣m＝30，29，28．
∴学校有三种购买方案，方案一：购买A种奖品10个，B种奖品30个；方案二：购买A种奖品11个，B种奖品29个；方案三：购买A种奖品12个，B种奖品28个．
24．【解答】解：（1）A：，的解集为4＜x＜9，
的解集为x＞1，
的“解集为x＞3，
则不等式组A是不等式组M的子集，
故答案为：A；
（2）关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，
∵当a≤﹣1时，关于x的不等式组的解集是：x＞﹣1，
不等式组的“解集”是x＞3，
则关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，
当a＞﹣1时，关于x的不等式组的解集是：x＞a，
∵不等式组的“解集”是x＞3，
若关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，
则a＜3，
综上所述：a＜3时，关于x的不等式组不是不等式组的“子集”；
故答案为：a＜3；
（3）∵不等式组有解，
∴解集为：4a﹣5＜x＜a+4，且4a﹣5＜a+4，
∴a＜3，
∵不等式组的“解集”为x＞3，
∵不等式组有解且是不等式组的“子集”，
∴4a﹣5≥3，
解得：a≥2，
∴a的取值范围是 2≤a＜3；
（4）关于x的不等式组的解集是：且，
∵关于x的不等式组是不等式组N：﹣2≤x≤7的“子集”，
∴2，7，
解得：m≥﹣5，n≤22，
∵不等式组M的所有整数解的和为15，
∴不等式组M整数解是0、1、2、3、4、5或1、2、3、4、5或4、5、6，
∴①当整数解是0、1、2、3、4、5，
﹣10，56，
解得：﹣3＜m≤﹣1，16＜n≤19，
②当整数解是1、2、3、4、5，
01，56，
解得：﹣1＜m≤1，16＜n≤19，
③当整数解是4、5、6时，
∴34，67，
解得：5＜m≤7，19＜n≤22，
∴m，n的取值范围是﹣3＜m≤1，16＜n≤19或5＜m≤7，19＜n≤22．
25．【解答】解：（1）如图3所示：大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为（a﹣b），
∴大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，
另一方面：大正方形是由4个长为a，宽为b的长方形和一个边长为（a﹣b）的小正方形构成，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）①（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2），
∵x+y＝8，x2+y2＝40，
∴2xy＝82﹣40＝24，
∵xy＝12，
故答案为：12；
②设x﹣300＝a，200﹣x＝b，
∴a+b＝x﹣300+200﹣x＝﹣100，a﹣b＝x﹣300﹣（200﹣x）＝2x﹣500，
∴（x﹣300）（200﹣x）＝1996，
∴ab＝1996，
由（1）可知（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝（﹣100）2﹣4×1996＝2016，
∴（2x﹣500）2＝2016；
（3）设AC＝a，BC＝b，
∵AB＝10，
∴a+b＝10，
∵图中阴影部分面积为42，
∴ab＝42，
∵四边形ACDE和BCFG均为正方形，
∴，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×42＝16，
∴S1+S2＝16．
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