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浦东新区2024-2025学年第二学期高三三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
2．已知函数的最小值是-1，则实数 ．
3．设为实数，则不等式的解集是 ．
4．若，那么在方向上的数量投影为 ．
5．已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为 ．（结果用数值表示）
6．如图，将一个高为的圆锥沿其一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为 ．
7．短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为 ．
8．曲线的图像上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 ．
9．已知随机变量，其密度函数为，则 ．
10．浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示：
其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取 人.
11．已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 ．
12．对于函数，若关于的方程恰有个实数根，则称函数为＂＂函数．
①函数的定义域且；
②函数是＂2＂函数，也是＂3＂函数；那么同时满足条件①②的函数共有 个.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分．
13．在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ）.
A．2 B．4 C．8 D．16
14．，请从以下选项中选出＂＂的充分条件（ ）.
A．＂＂ B．＂＂ C．＂＂ D．＂＂
15．已知的内角所对的边分别为．若，则以下关于的选项，结论正确的是（ ）.
A．存在满足； B．存在锐角满足；
C．该表达式不存在最大值； D．该表达式不存在最小值．
16．如图，是四面体．已知，以下两个语句中：
①棱与棱一定相等；②棱与棱不一定相等；下列选项判断正确的是（ ）.
A．①，②都正确；
B．①正确，②错误；
C．①错误，②正确；
D．①，②都错误．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知．
（1）数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式；
（2）设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
申辉中学机器人兴趣小组，进行某款机器人研发学习活动.该机器人被设计从数轴上的原点出发，机器人每一步只能选择向数轴正方向或向负方向行走1个单位.设机器人第步选择向正方向行走的概率为.设行走步后机器人所在位置对应的数为随机变量.
（1）兴趣小组成员小浦对机器人行走的步数和机器人所在位置进行了观察记录，记录数据如下：
请求出变量和之间的线性相关系数；
（2）若，求；
（3）已知，在的条件下，求的概率．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知曲线，第一象限内点在曲线上．，连接并延长与曲线交于点，．以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记的面积分别为．
（1）若，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，求证；
（3）求的最小值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知实数，且依次构成等差数列，对于曲线，若满足依次构成等差数列，则曲线为曲线．
（1）若，是曲线，求实数的值；
（2）已知曲线都是曲线，证明：是曲线；
（3）若为曲线，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5．12 6．1 7． 8． 9．-1 10．45 11． 12．18
二、选择题
13.B 14.C 15.C 16.A
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知．
（1）数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式；
（2）设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1），当时，，当时，，
则．
（2），设，当时，，
恒成立，则，
因为，所以．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：因为平面，所以，
因为为直径，所以，因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）法1：，当且仅当时等号成立．
设圆心为，联结，在平面上过作，联结，
在平面上过作，因为，所以，
因为平面平面，所以平面平面，
因为平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面平面，所以为平面与平面的夹角或其补角，在平面上，，有，得，
，有，得，则，
平面与平面所成锐角的余弦值为．
法2：据（1）知，面
，
当时，达到最大；
过点作于，建立以为原点，为轴，为轴，
过点垂直于平面的方向为轴．设平面与平面的法向量分别为．
则点，
;
则；
令，可得；
因为平面的法向量为．
则平面与平面夹角的余弦值．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
申辉中学机器人兴趣小组，进行某款机器人研发学习活动.该机器人被设计从数轴上的原点出发，机器人每一步只能选择向数轴正方向或向负方向行走1个单位.设机器人第步选择向正方向行走的概率为.设行走步后机器人所在位置对应的数为随机变量.
（1）兴趣小组成员小浦对机器人行走的步数和机器人所在位置进行了观察记录，记录数据如下：
请求出变量和之间的线性相关系数；
（2）若，求；
（3）已知，在的条件下，求的概率．
【答案】（1） （2）0 （3）
【解析】（1）．
（建议：若用计算器得到不精确值扣1分，并和学生明确书上黑体字公式要掌握）
（2）设第步行走量为，因为，所以，.
（3）设为事件为事件，
其中，，,故．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知曲线，第一象限内点在曲线上．，连接并延长与曲线交于点，．以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记的面积分别为．
（1）若，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，求证；
（3）求的最小值．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）设，
与联立可得，,
因为，所以，因为在第一象限，所以，
解得，故．
（2），
则，即．
（3）由（1）得，因为，所以，
解得，
因为，由（2）知，
又，所以，
当且仅当时等号成立，故．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知实数，且依次构成等差数列，对于曲线，若满足依次构成等差数列，则曲线为曲线．
（1）若，是曲线，求实数的值；
（2）已知曲线都是曲线，证明：是曲线；
（3）若为曲线，求的取值范围．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1），
因为，所以，解得．
（2）①； ②；
两式相乘得，解得，
代入①得，则成立，
是曲线.
（3）在上有解，
令，
（3．1）当时，，解得有零点！
（3．2）当时，
由零点定理知，上存在使有零点！
（3．3）当时，若则
因为在上为严格减函数，在上为严格增函数，
所以无零点；
若，又，有，得
在上为严格增函数，注意到，
由零点定理知，若有零点，则，解得，又，故，
（3．4）当时，严格增，，无零点；
综上，．

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