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第一节 数列的概念与简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单表示方法(列表、图象、公式).
2.了解数列是自变量为正数的一类特殊函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题.
教材再回首
1.数列的有关概念
概念 含义
数列 按照 排列的一列数
数列的项 数列中的
通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an} 的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数
无穷数列 项数
项与项间 的大小 关系 递增数列 an+1 an 其中n∈N*
递减数列 an+1 an
常数列 an+1=an
摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是 ,对应的函数值是 ,记为an=f(n).
解题结论拓展
1.两个常用结论
(1)若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=
(2)在数列{an}中,若an最大,则若an最小,则
2.数列的函数性质(源于人A选必修②P10阅读与思考)
由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数,因此它具备函数的某些性质:
(1)单调性——若an+1>an,则{an}为递增数列;若an+1(2)周期性——若=an(k为非零常数),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列. ( )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( )
(3)1,1,1,1,…,不能构成一个数列. ( )
(4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列. ( )
(5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对 n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn. ( )
2.(人A选必修②P4例1(1)改编)数列1,3,6,10,x,21,28,…中,由给出的数之间的关系可知x的值为 ( )
A.12 B.15
C.17 D.18
3.(苏教选必修①P183T2)在数列{an}中,若an=则a4+a5的值为 .
4.(人A选必修②P8T3改编)已知数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2),则a5= ,猜想 an= .
题点一 由an与Sn的关系求通项公式
[例1]
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),则 an= .
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1,an=-SnSn-1(n≥2),则Sn= .
|思维建模|
1.已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1=S1求出a1;
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
2.Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.
(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解;
(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
[即时训练]
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1-,则数列{an}的通项公式为 ( )
A.an= B.an=2n-1
C.an=(-2)n-2 D.an=2n-2
2.(2025·漳州模拟)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=an+1,则= ( )
A.- B.-
C. D.
题点二 数列的性质
考法(一) 数列的周期性
[例2] 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列{bn},则数列{bn}的前2 026项和为 ( )
A.1 350 B.676
C.1 351 D.1 352
|思维建模|
解决数列周期性问题的方法
解决数列周期性问题,根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳出数列的周期,进而求出有关项的值或前n项和.
考法(二) 数列的单调性
[例3] 已知函数f(x)=数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且数列{an}是递增数列,则a的取值范围是 .
|思维建模|
判断数列单调性的方法
应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的方法如下:
(1)利用数列对应函数的单调性判断;
(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断.
考法(三) 数列的最大(小)项
[例4] 已知数列{an}的通项公式为an=2n-2 025n(n∈N*),则当an最小时,n= ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
|思维建模|
求数列的最大(小)项的常用方法
(1)将数列视为函数f(x),即当x∈N*时所对应的一列函数值,根据f(x)的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法,求出f(x)的最值,进而求出数列的最大(小)项.
(2)利用(n≥2)确定最大项;利用(n≥2)确定最小项.
[即时训练]
3.若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2 025= ( )
A.-3 B.
C.- D.2
4.已知数列{an}的通项公式为an=kn2-n-2,若{an}为递增数列,则k的取值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.(0,+∞)
C. D.
5.若数列{bn}满足bn=,则当n= 时,bn取最大值为 .
第一节 数列的概念与简单表示法
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.确定的顺序 每一个数 序号n a1+a2+…+an
2.有限 无限 > <
3.序号n 数列的第n项an
[典题细发掘]
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.选B 各项乘于2,变为1×2,2×3,3×4,故数列的通项公式为an=,故a5=15.
3.27
4.解析:由题意,知a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=,a5=2-=,猜想an=.
答案:
课堂·题点精研
题点一
[例1] (1) (2)
(1)因为数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.a1=2不满足an=2n-1,因此,an=
(易错提醒:利用an=Sn-Sn-1关系求an,忽略n≥2,遗漏n=1的情况)
(2)依题意得Sn-1-Sn=Sn-1Sn(n≥2),整理得-=1.
又==1,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.因此=1+(n-1)×1=n,即Sn=.
[即时训练]
1.选D 因为Sn=2n-1-,当n=1时,a1=S1=20-=;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2,a1=也满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n-2.
2.选A 因为3Sn=an+1,所以3Sn+1=an+1+1,两式相减可得3an+1=an+1-an,即2an+1=-an,令n=7,可得2a8=-a7,且an≠0,所以=-.
题点二
[例2] 选C 根据斐波那契数列性质可得{an}中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律,因此新数列{bn}即为按照1,1,0呈周期出现的数列,周期为3.易知2 026=675×3+1,一个周期内的三个数字之和为2,所以数列{bn}的前2 026项和为675×2+1=1 351.
[例3] 解析:由数列{an}是递增数列,可知当n≤3,n∈N*时,f(n)=-n2-2an-a=-(n+a)2+a2-a,则-a≥3或,解得a<-;当n≥4时,f(n)=2n+ln(n-3)单调递增恒成立,且f(4)>f(3),24+ln(4-3)>-9-6a-a,解得a>-,所以a的取值范围是.
答案:
[例4] 选C 数列{an}中,an=2n-2 025n,则-an=2n-2 025,而210<2 025<211,于是当n≤10时,-an<0,即0,即>an,因此当n∈N*,n≤11时,数列{an}递减,当n≥11时,数列{an}递增,所以当且仅当n=11时,an最小.
[即时训练]
3.选D 因为数列{an}满足a1=2,an+1=,所以a2===-3,a3===-,a4===,a5===2=a1,a6===-3=a2,…,所以数列{an}是周期为4的数列,则a2 025=a506×4+1=a1=2.
4.快审准解:依题意有an+1>an(n∈N*),解得k>(n∈N*),求出即可得k的取值范围.
选D 若{an}为递增数列,则an+1>an(n∈N*),有k(n+1)2-(n+1)-2>kn2-n-2(n∈N*),解得k>(n∈N*),则k>.当n=1时,=,所以k>,则k的取值范围为.故选D.
5.解析:法一 ∵当n≥2时,bn-bn-1=-=,∴当2≤n≤4时,bn>bn-1,{bn}递增;
当n≥5时,bn故当n=4时,(bn)max=b4=.
法二 当n≥2时,令即解得≤n≤,又n∈N*,故n=4,故当n=4时,(bn)max=b4=.
答案:4 (共58张PPT)
第六章
数 列
第一节
数列的概念与简单表示法
明确目标
1.了解数列的概念和几种简单表示方法(列表、图象、公式).
2.了解数列是自变量为正数的一类特殊函数，能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.数列的有关概念
概念 含义
数列 按照___________排列的一列数
数列的项 数列中的___________
通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
确定的顺序
每一个数
序号n
续表
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an} 的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=________________
a1+a2+…+an
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数______
无穷数列 项数______
项与项间的大小关系 递增数列 an+1____an 其中n∈N*
递减数列 an+1_____an
常数列 an+1=an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
有限
无限
>
<
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是_______，对应的函数值是_______________，记为an=f(n).
序号n
数列的第n项an
解题结论拓展
1.两个常用结论
(1)若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an=
(2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
2.数列的函数性质(源于人A选必修②P10阅读与思考)
由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质:
(1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列;若an+1(2)周期性——若=an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )
(3)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )
(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )
(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对 n∈N*，都有an+1=Sn+1-Sn.( )
×
√
×
×
√
2.(人A选必修②P4例1(1)改编)数列1，3，6，10，x，21，28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值为 ( )
A.12 B.15
C.17 D.18
解析:各项乘于2，变为1×2，2×3，3×4，故数列的通项公式为an=，故a5=15.
√
3.(苏教选必修①P183T2)在数列{an}中，若an=则a4+a5的值为 .
27
4.(人A选必修②P8T3改编)已知数列{an}满足a1=2，an=2-(n≥2)，则a5= ，猜想an= .
解析:由题意，知a2=2-=，a3=2-=，
a4=2-=，a5=2-=，猜想an=.
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*)，则an= .
解析:因为数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*)，当n=1时，a1=S1=2;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.a1=2不满足an=2n-1，因此，an=
(易错提醒:利用an=Sn-Sn-1关系求an，忽略n≥2，遗漏n=1的情况)
题点一 由an与Sn的关系求通项公式
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=1，an=-SnSn-1(n≥2)，则Sn= .
解析:依题意得Sn-1-Sn=Sn-1Sn(n≥2)，整理得-=1.又==1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.因此=1+(n-1)×1=n，即Sn=.
1.已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1=S1求出a1;
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;
(3)对n=1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写;如果不符合，则应该分n=1与n≥2两段来写.
思维建模
2.Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解;
(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n-1-，则数列{an}的通项公式为( )
A.an= B.an=2n-1
C.an=(-2)n-2 D.an=2n-2
解析:因为Sn=2n-1-，当n=1时，a1=S1=20-=;当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n-1-2n-2=2n-2，a1=也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=2n-2.
即时训练
√
2.(2025·漳州模拟)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=an+1，则=( )
A.- B.-
C. D.
解析:因为3Sn=an+1，所以3Sn+1=an+1+1，两式相减可得3an+1=an+1-an，即2an+1=-an，令n=7，可得2a8=-a7，且an≠0，所以=-.
√
考法(一) 数列的周期性
[例2] 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即a1=a2=1，an=an-1+an-2(n≥3，n∈N)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列{bn}，则数列{bn}的前2 026项和为( )
A.1 350 B.676
C.1 351 D.1 352
√
题点二 数列的性质
解析:根据斐波那契数列性质可得{an}中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，因此新数列{bn}即为按照1，1，0呈周期出现的数列，周期为3.易知2 026=675×3+1，一个周期内的三个数字之和为2，所以数列{bn}的前2 026项和为675×2+1=1 351.
解决数列周期性问题的方法
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
思维建模
考法(二) 数列的单调性
[例3] 已知函数f(x)=数列{an}满足an=f(n)(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则a的取值范围是__________.
解析:由数列{an}是递增数列，可知当n≤3，n∈N*时，f(n)=-n2-2an-a=-(n+a)2+a2-a，则-a≥3或，解得a<-;当n≥4时，f(n)=2n+ln(n-3)单调递增恒成立，且f(4)>f(3)，24+ln(4-3)>-9-6a-a，解得a>-，所以a的取值范围是.
判断数列单调性的方法
应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的方法如下:
(1)利用数列对应函数的单调性判断;
(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断.
思维建模
考法(三) 数列的最大(小)项
[例4] 已知数列{an}的通项公式为an=2n-2 025n(n∈N*)，则当an最小时，n=( )
A.9 B.10
C.11 D.12
√
解析:数列{an}中，an=2n-2 025n，则-an=2n-2 025，而210<
2 025<211，于是当n≤10时，-an<0，即0，即>an，因此当n∈N*，n≤11时，数列{an}递减，当n≥11时，数列{an}递增，所以当且仅当n=11时，an最小.
求数列的最大(小)项的常用方法
(1)将数列视为函数f(x)，即当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项.
(2)利用(n≥2)确定最大项;利用(n≥2)确定最小项.
思维建模
3.若数列{an}满足a1=2，an+1=，则a2 025=( )
A.-3 B.
C.- D.2
即时训练
√
解析:因为数列{an}满足a1=2，an+1=，所以a2===-3，a3===-，a4===，a5===2=a1，a6===
-3=a2，…，所以数列{an}是周期为4的数列，则a2 025=a506×4+1=a1=2.
4.已知数列{an}的通项公式为an=kn2-n-2，若{an}为递增数列，则k的取值范围为 ( )
A.(1，+∞) B.(0，+∞)
C. D.
快审准解:依题意有an+1>an(n∈N*)，解得k>(n∈N*)，求出即可得k的取值范围.
√
解析:若{an}为递增数列，则an+1>an(n∈N*)，有k(n+1)2-(n+1)-2>kn2-n-2(n∈N*)，解得k>(n∈N*)，则k>.
当n=1时，=，所以k>，则k的取值范围为.故选D.
5.若数列{bn}满足bn=，则当n= 时，bn取最大值为 .
解析:法一 ∵当n≥2时，bn-bn-1=-=，∴当2≤n
≤4时，bn>bn-1，{bn}递增;当n≥5时，bn
4
法二 当n≥2时，令即解得≤n≤，又n∈N*，故n=4，故当n=4时，(bn)max=b4=.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.已知数列-1，，-，…，则该数列的第211项为( )
A.- B.
C.- D.
解析:由题意，该数列可表示为-，-，…，则该数列的通项公式为an=(-1)n·，所以a211=-.故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2-1，则a3等于 ( )
A.-5 B.5
C.7 D.8
解析:因为Sn=n2-1，所以a3=S3-S2=(32-1)-(22-1)=5.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.已知数列{an}的通项公式是an=，那么这个数列是( )
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
解析:∵an+1-an=-=>0，∴an+1>an，故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
4.(2025·衡水阶段练习)已知数列{an}满足an+1=2-，若a1=-1，则a4=( )
A.3 B.
C. D.
解析:因为an+1=2-，所以当n=1时，a2=2-=3;当n=2时，a3=2-=;当n=3时，a4=2-=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
5.(2024·浙江二模)记Sn为非零数列{an}的前n项和，若Sn+1=2Sn，n∈N*，则=( )
A.2 B.4
C.8 D.16
解析:由Sn+1=2Sn，n∈N*，得Sn+1-Sn=Sn，即an+1=Sn，所以a2=a1，a3=a1+a2=2a1，a4=a1+a2+a3=2a1+2a1=4a1，故==4.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sm+Sn=Sm+n，若a1=2，则a20等于 ( )
A.2 B.4
C.20 D.40
解析:法一 a20=S20-S19=S18+S2-(S18+S1)=S2-S1=a1=2.
法二 令m=1，则Sn+S1=Sn+1，∴Sn+1-Sn=S1=2，∴an+1=2，∴a20=2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
7.已知数列{an}满足an=(k∈R)，则“数列{an}是递增数列”的充要条件是( )
A.k<0 B.k<1
C.k>0 D.k>1
快审准解:根据条件，利用递增数列满足an+1>an，即可求解.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:因为an=(k∈R)，所以an+1-an=-=.由an+1-an=>0，得k<1，所以“数列{an}是递增数列”的充要条件是“k<1”，故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
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8.(2025·长沙阶段练习)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a10= ( )
A.10 B.55
C.89 D.99
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解析:依题意，an=an-1+an-2(n∈N*，n≥3)，a1=1，a2=2，所以a3=3，a4=5，a5=8，a6=13，a7=21，a8=34，a9=55，a10=89.
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9.定义 为n个正数p1，p2，…，pn的“倒均数”.若数列{an}的前n项的“倒均数”为，数列{bn}满足bn=，则b4=( )
A. B.
C. D.
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解析:由题可得=，可得数列{an}的前n项和Sn=.当n=1时，a1=1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=n.经验证，a1=1符合上式，故an=n，则bn==，可得b4==.
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10.设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=(-1)nan+，则S1+S3+S5=( )
A.0 B.
C. D.
解析:数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=(-1)nan+，当n为偶数时，Sn=Sn-Sn-1+，即有Sn-1=，所以S1+S3+S5=++=.故选D.
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11.若数列{an}满足an+1=an+2n，则a1+a2+…+
a8=( )
A.28 B.32
C.36 D.40
解析:由an+1=an+2n，得a2=-a1+2，a3=a2+4=
-a1+6，a4=-a3+6=a1，a5=a4+8=a1+8，a6=-a5+10=-a1+2，a7=a6+12=
-a1+14，a8=-a7+14=a1.所以a1+a2+…+a8=32，故选B.
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二、多选题
12.下列有关数列的说法正确的是( )
A.数列-2 025，0，4与数列4，0，-2 025是同一个数列
B.数列{an}的通项公式为an=n(n+1)，则110是该数列的第10项
C.数列1，，2，，…的第8项是2
D.数列0，，4，，…的一个通项公式为an=
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√
解析:对于A，数列中的项与顺序有关，故数列-2 025，0，4与数列4，0，-2 025是两个不同的数列，故A错误;对于B，当n=10时，a10=10×11=110，又an=n(n+1)是递增数列，故110是该数列的第10项，故B正确;对于C，数列1，，2，，…的一个通项公式为an=，故第8项是2，故C正确;对于D，数列可变形为
，…，所以数列的一个通项公式为an=，故D正确.
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13.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n，则 ( )
A.该数列仅有6个正数项
B.该数列有无限多个负数项
C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值
D.-70是该数列中的一项
快审准解:根据题意，利用数列{an}的通项公式可逐项分析判断各个选项.
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解析:对于A、B，令-2n2+13n>0，解得0-70，解得n=10或-(舍去)，即-70是该数列的第10项，故D正确.
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三、填空题
14.若数列{an}的前n项和Sn=n2-n，则数列{an}的通项公式an= .
解析:当n=1时，a1=S1=，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-n-=n-1.又a1=也适合上式，所以an=n-1.
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n-1
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15.在数列{an}中，a1=，anan+1+1=an，n∈N*，则a2 025= .
解析:由anan+1+1=an，得an+1=1-，又a1=，所以a2=1-=-1，a3=1-=2，a4=1-=，a5=1-=-1，…，由此可得数列{an}为周期数列，周期为3.又2 025=3×675，所以a2 025=a3=2.
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2课时跟踪检测(四十一) 数列的概念与简单表示法
一、单选题
1.已知数列-1,,-,,…,则该数列的第211项为 ( )
A.- B.
C.- D.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n2-1,则a3等于 ( )
A.-5 B.5
C.7 D.8
3.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是 ( )
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
4.(2025·衡水阶段练习)已知数列{an}满足an+1=2-,若a1=-1,则a4= ( )
A.3 B.
C. D.
5.(2024·浙江二模)记Sn为非零数列{an}的前n项和,若Sn+1=2Sn,n∈N*,则= ( )
A.2 B.4
C.8 D.16
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sm+Sn=Sm+n,若a1=2,则a20等于 ( )
A.2 B.4
C.20 D.40
7.已知数列{an}满足an=(k∈R),则“数列{an}是递增数列”的充要条件是 ( )
A.k<0 B.k<1
C.k>0 D.k>1
8.(2025·长沙阶段练习)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图),例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房,…,以此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数,则a10= ( )
A.10 B.55
C.89 D.99
9.定义为n个正数p1,p2,…,pn的“倒均数”.若数列{an}的前n项的“倒均数”为,数列{bn}满足bn=,则b4= ( )
A. B.
C. D.
10.设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=(-1)nan+,则S1+S3+S5= ( )
A.0 B.
C. D.
11.若数列{an}满足an+1=an+2n,则a1+a2+…+a8= ( )
A.28 B.32
C.36 D.40
二、多选题
12.下列有关数列的说法正确的是 ( )
A.数列-2 025,0,4与数列4,0,-2 025是同一个数列
B.数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则110是该数列的第10项
C.数列1,,,2,,…的第8项是2
D.数列0,,4,,…的一个通项公式为an=
13.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,则 ( )
A.该数列仅有6个正数项
B.该数列有无限多个负数项
C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值
D.-70是该数列中的一项
三、填空题
14.若数列{an}的前n项和Sn=n2-n,则数列{an}的通项公式an= .
15.在数列{an}中,a1=,anan+1+1=an,n∈N*,则a2 025= .
课时跟踪检测(四十一)
1.选A 由题意,该数列可表示为-,,-,,…,则该数列的通项公式为an=(-1)n·,所以a211=-.故选A.
2.选B 因为Sn=n2-1,所以a3=S3-S2=(32-1)-(22-1)=5.
3.选A ∵an+1-an=-=>0,∴an+1>an,故选A.
4.选C 因为an+1=2-,所以当n=1时,a2=2-=3;当n=2时,a3=2-=;当n=3时,a4=2-=.
5.选B 由Sn+1=2Sn,n∈N*,得Sn+1-Sn=Sn,即an+1=Sn,所以a2=a1,a3=a1+a2=2a1,a4=a1+a2+a3=2a1+2a1=4a1,故==4.
6.选A 法一 a20=S20-S19=S18+S2-(S18+S1)=S2-S1=a1=2.
法二 令m=1,则Sn+S1=Sn+1,∴Sn+1-Sn=S1=2,∴an+1=2,∴a20=2.
7.快审准解:根据条件,利用递增数列满足an+1>an,即可求解.
选B 因为an=(k∈R),所以an+1-an=-=.由an+1-an=>0,得k<1,所以“数列{an}是递增数列”的充要条件是“k<1”,故选B.
8.选C 依题意,an=an-1+an-2(n∈N*,n≥3),a1=1,a2=2,所以a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.
9.选C 由题可得=,可得数列{an}的前n项和Sn=.当n=1时,a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.经验证,a1=1符合上式,故an=n,则bn==,可得b4==.
10.选D 数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=(-1)nan+,当n为偶数时,Sn=Sn-Sn-1+,即有Sn-1=,所以S1+S3+S5=++=.故选D.
11.选B 由an+1=an+2n,得a2=-a1+2,a3=a2+4=-a1+6,a4=-a3+6=a1,a5=a4+8=a1+8,a6=-a5+10=-a1+2,a7=a6+12=-a1+14,a8=-a7+14=a1.所以a1+a2+…+a8=32,故选B.
12.选BCD 对于A,数列中的项与顺序有关,故数列-2 025,0,4与数列4,0,-2 025是两个不同的数列,故A错误;对于B,当n=10时,a10=10×11=110,又an=n(n+1)是递增数列,故110是该数列的第10项,故B正确;对于C,数列1,,,2,,…的一个通项公式为an=,故第8项是2,故C正确;对于D,数列可变形为,,,…,所以数列的一个通项公式为an=,故D正确.
13.快审准解:根据题意,利用数列{an}的通项公式可逐项分析判断各个选项.
选ABD 对于A、B,令-2n2+13n>0,解得014.解析:当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-n-=n-1.又a1=也适合上式,所以an=n-1.
答案:n-1
15.解析:由anan+1+1=an,得an+1=1-,又a1=,所以a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,a5=1-=-1,…,由此可得数列{an}为周期数列,周期为3.又2 025=3×675,所以a2 025=a3=2.
答案:2
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