资源简介

第三节　等差数列
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义,会求等差数列的一些基本量.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元函数的关系.
教材再回首
1.等差数列的有关概念
定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于　　　　　　,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
通项 公式 设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式an=　　　　　
等差 中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,　　叫做a与b的等差中项,即2A=　　　　
2.等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.
(1)当m+n=p+q时,am+an=　　　　(m,n,p,q∈N*).
特别地,若m+n=2p,则am+an=　　　(m,n,p∈N*).
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为　　(k,m∈N*).
(3)也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差为d.
(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.
(5)若数列{an},{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn,Tn,则=.
解题结论拓展
(1)在等差数列{an}中,若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,=.
(2)(源于人A选必修②P23T5)在等差数列{an}中,若项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an,=.
(3)等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关.
①若a1>0,d<0,则Sn存在最大值.
②若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
③若a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则{Sn}是递减数列,S1是{Sn}的最大值.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. (　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (　　)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. (　　)
(4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2. (　　)
2.(北师大选必修②P19T1)已知等差数列{an}的前3项分别为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项为 (　　)
A.2n-5 B.2n+1
C.2n-3 D.2n-1
3.(人A选必修②P15T4改编)已知等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a4=　　　　.
4.(人A选必修②P24T1(1)改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S6=3(a5+3),且a4=-1,则{an}的公差d=　　　　.
题点一　等差数列基本量的运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7=20,S16=392,则a13= (　　)
A.36 B.35
C.42 D.38
(2)已知一个多边形的周长等于207 cm,所有各边的长成等差数列,最大的边长为42 cm,公差为3 cm,则这个多边形的边数为 (　　)
A.4 B.6
C.23 D.6或23
|思维建模|
等差数列基本运算的解题策略
(1)求公差d或项数n:在求解时,一般要运用方程思想.
(2)求通项:a1和d是等差数列的两个基本元素.
(3)求特定项:利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.
(4)求前n项和:利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.
[即时训练]
1.(2025·济南模拟)记数列的前n项和为Sn,若等差数列的首项为5,第4项为8,则a10= (　　)
A.14 B.23
C.32 D.140
2.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　 　　.
题点二　等差数列的判定与证明
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　已知数列{an}满足a1=4,且an=Sn-1+2n+1(n≥2),其中Sn为an的前n项和,令bn=.
(1)求证:{bn}为等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
|思维建模|　等差数列的判定与证明方法
定义法 an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列
等差 中项法 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项 公式法 an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列,适用于选择、填空题
前n项和 公式法 Sn=An2+Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列,适用于选择、填空题
[即时训练]
3.(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列.则 (　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,若nSn+1-(n+1)Sn=2(n2+n),且a1=2.
(1)证明:为等差数列,并求Sn;
(2)证明:{an}为等差数列.
题点三　等差数列性质的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　等差数列的性质
[例3]
(1)(2025·南京开学考)已知数列{an}为等差数列,前n项和为Sn.若S3=6,S6=3,则S9= (　　)
A.-18 B.-9
C.9 D.18
(2)(2025·深圳模拟)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则= (　　)
A. B.
C. D.
|思维建模|
利用等差数列的性质解题的关注点
(1)等差数列中两项和的转换是最常用的性质,利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分,在Sn=中,Sn与a1+an可以相互转化.
(2)在等差数列中,前奇数项的和与中间项的关系S2n-1=(2n-1)an可以将中间项与前n项和联系起来,相互转化.
(3)在等差数列中,性质=是针对两个等差数列而言的,且等式中分子与分母的项数应该是相等的,=并不一定成立,应用时注意区分.
考法(二)　等差数列前n项和的最值问题
[例4]　(2025·赣州模拟)[多选]设{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,且a6>a7,S7=S8>S9,则下列结论正确的是 (　　)
A.a8=0 B.d>0
C.S7与S8均为Sn的最大值 D.S8为Sn的最小值
|思维建模|
求等差数列前n项和最值的常用方法
(1)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值.
(2)二次函数法:利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数,A≠0)为二次函数,通过二次函数的性质求最值.
(3)不等式组法:借助当Sn最大时,有(n≥2,n∈N*),解此不等式组确定n的范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn为最大值),类似可求Sn的最小值.
[即时训练]
5.(2025·邯郸模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若2a4+a8+a16=24,则S15= (　　)
A.45 B.90
C.180 D.240
6.在中国文化中,竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代,早在新石器时代晚期,人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品,比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料,这九种竹筒的容积a1,a2,…,a9(单位:L)依次成等差数列,若a1+a2+a3=3.6,a8=0.4,则a1+a2+…+a9= (　　)
A.5.4 B.6.3
C.7.2 D.13.5
7.(2025·广州模拟)[多选]已知等差数列{an}中,a1>0,则下列命题正确的是 (　　)
A.若a3+a7=4,则S9=18
B.若a1+a2=5,a3+a4=9,则a7+a8=17
C.若S15>0,S16<0,则>
D.若S9=S10,则S18>0
第三节　等差数列
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.同一个常数　a1+(n-1)d　A　a+b
2.(1)ap+aq　2ap　(2)md
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　2.C
3.解析:由题意可得解得a1=0,d=2,故a4=a1+3d=6.
答案:6
4.解析:等差数列{an}中,S6=3(a5+3),且a4=-1,则解得d=-2.
答案:-2
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)D　(2)B
(1)设等差数列的公差为d,则解得故a13=a1+12d=2+12×3=38.
(2)由题意可知,an=42,Sn=207,d=3,则即整理得n2-29n+138=0,解得n=6或n=23.当n=23时,a1<0不合题意.故选B.
[即时训练]
1.选B　设等差数列的公差为d,则解得d=1,所以=5+d=5+×1=n+4,所以Sn=n(n+4)=n2+4n,所以a10=S10-S9=140-117=23.故选B.
2.解析:设数列{an}的公差为d,由题意得
解得
则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.
答案:95
题点二
[例2]　解:(1)证明:当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=Sn-1+2n+1,即Sn=2Sn-1+2n+1,则=+2,即bn=bn-1+2.又b1===2,故数列{bn}是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知,bn=2+2(n-1)=2n,即Sn=2n·2n,
当n≥2时,an=Sn-1+2n+1=2(n-1)·2n-1+2n+1=n·2n-2n+2n+1=(n+1)·2n,
当n=1时,a1=4,符合上式,故an=(n+1)·2n.
[即时训练]
3.选C　若{an}为等差数列,设其公差为d,则Sn=na1+d,=a1+(n-1)·,-=a1+(n+1-1)·-=,为常数,所以为等差数列,即甲 乙;若为等差数列,设其公差为t,则=+(n-1)t=a1+(n-1)t,所以Sn=na1+n(n-1)t,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=na1+n(n-1)t-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)t]=a1+2(n-1)t,当n=1时,S1=a1也满足上式,所以an=a1+2(n-1)t(n∈N*),所以an+1-an=a1+2(n+1-1)t-[a1+2(n-1)t]=2t,为常数,所以{an}为等差数列,即乙 甲.所以甲是乙的充要条件,故选C.
4.快审准解:(1)根据题意,化简得到-=2,所以是等差数列,结合等差数列的通项公式,即可求解;
(2)由(1)知Sn=2n2,利用an与Sn的关系,求得an=4n-2,结合等差数列的定义,即可得证.
证明:(1)由nSn+1-(n+1)Sn=2(n2+n),得-=2,且=2,所以是首项为2,公差为2的等差数列.
所以=2n,解得Sn=2n2.
(2)由(1)知Sn=2n2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,又a1=2符合上式,故an=4n-2,则an+1-an=4(n+1)-2-(4n-2)=4,所以{an}是首项为2,公差为4的等差数列.
题点三
[例3]　(1)B　(2)B
(1)由等差数列片段和的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以(S9-S6)+S3=2(S6-S3),则S9=3S6-3S3=3×3-3×6=-9,故选B.
(2)由题意,得==.又==,故===.
[例4]　选AC　因为S7=S8,所以a8=S8-S7=0,故A正确;因为{an}是等差数列且a6>a7,所以公差d=a7-a6<0,故B错误;因为S8>S9,所以a9=S9-S8<0,又因为{an}是等差数列且d<0,所以S7与S8均为Sn的最大值,故C正确,D错误.故选AC.
[即时训练]
5.选B　法一:一般解法　由2a4+a8+a16=24,得(a4+a8)+(a4+a16)=24,整理得2a6+2a10=24,即a6+a10=12,所以S15==(a6+a10)=90.
法二:秒杀法　把等差数列看成常数列,设an=x,
则2x+x+x=24,
解得x=6,
故S15=6×15=90.
6.选C　由题意得a1+a2+a3=3a2=3.6,故a2=1.2,∴a1+a2+…+a9=(a1+a9)=(a2+a8)=×(1.2+0.4)=7.2.
7.选ABD　S9===18,故A正确;设等差数列的公差为d,则(a3+a4)-(a1+a2)=4d=4,得d=1,则a7+a8=(a1+a2)+12d=5+12=17,故B正确;S15==15a8>0,则a8>0,S16==8(a8+a9)<0,则a8+a9<0,即00,a10=0,所以公差d=<0,则a9=a10-d>0,所以S18>0,故D正确.(共60张PPT)
第三节
等差数列
明确目标
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义，会求等差数列的一些基本量.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元函数的关系.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.等差数列的有关概念
定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，即an+1-an=
d(n∈N*，d为常数)
通项 公式 设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则通项公式an=____________
等差 中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，___叫做a与b的等差中项，即2A=______
同一个常数
a1+(n-1)d
A
a+b
2.等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和.
(1)当m+n=p+q时，am+an=________ (m，n，p，q∈N*).
特别地，若m+n=2p，则am+an=____ (m，n，p∈N*).
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等差数列，公差为_____ (k，m∈N*).
ap+aq
2ap
md
(3)也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差为d.
(4)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(5)若数列{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则=.
解题结论拓展
(1)在等差数列{an}中，若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)，S偶-S奇=nd， =.
(2)(源于人A选必修②P23T5)在等差数列{an}中，若项数为奇数2n-1，则S2n-1=(2n-1)an，S奇-S偶=an， =.
(3)等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关.
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值.
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值;若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)
(4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n，则它的公差为-2.(　　)
×
√
×
√
2.(北师大选必修②P19T1)已知等差数列{an}的前3项分别为a-1，a+1，2a+3，则此数列的通项为 (　　)
A.2n-5 B.2n+1
C.2n-3 D.2n-1
√
3.(人A选必修②P15T4改编)已知等差数列{an}中，a4+a8=20，a7=12，则a4=　　.
解析:由题意可得解得a1=0，d=2，故a4=a1+3d=6.
6
4.(人A选必修②P24T1(1)改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6=3(a5+3)，且a4=-1，则{an}的公差d=　　　　.
解析:等差数列{an}中，S6=3(a5+3)，且a4=-1，则解得d=-2.
-2
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7=20，S16=392，则a13=(　　)
A.36 B.35
C.42 D.38
√
题点一　等差数列基本量的运算
解析:设等差数列的公差为d，则解得故a13=a1+12d=2+12×3=38.
(2)已知一个多边形的周长等于207 cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长为42 cm，公差为3 cm，则这个多边形的边数为 (　　)
A.4 B.6
C.23 D.6或23
√
解析:由题意可知，an=42，Sn=207，d=3，则即整理得n2-29n+138=0，解得n=6或n=23.当n=23时，a1<0不合题意.故选B.
等差数列基本运算的解题策略
思维建模
求公差d 或项数n 在求解时，一般要运用方程思想
求通项 a1和d是等差数列的两个基本元素
求特定项 利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解
求前n项和 利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解
1.(2025·济南模拟)记数列的前n项和为Sn，若等差数列的首项为5，第4项为8，则a10=(　　)
A.14 B.23
C.32 D.140
即时训练
√
解析:设等差数列的公差为d，则解得d=1，所以=5+d=5+×1=n+4，所以Sn=n(n+4)=n2+4n，所以a10=S10-S9=140-117=23.故选B.
2.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=______.
解析:设数列{an}的公差为d，由题意得解得
则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.
95
[例2]　已知数列{an}满足a1=4，且an=Sn-1+2n+1(n≥2)，其中Sn为an的前n项和，令bn=.
(1)求证:{bn}为等差数列;
解:证明:当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=Sn-1+2n+1，即Sn=2Sn-1+2n+1，则=+2，即bn=bn-1+2.又b1===2，
故数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列.
题点二　等差数列的判定与证明
(2)求{an}的通项公式.
解:由(1)知，bn=2+2(n-1)=2n，即Sn=2n·2n，
当n≥2时，an=Sn-1+2n+1=2(n-1)·2n-1+2n+1=n·2n-2n+2n+1=(n+1)·2n，
当n=1时，a1=4，符合上式，故an=(n+1)·2n.
等差数列的判定与证明方法
思维建模
定义法 an-an-1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列
等差中项法 2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项公式法 an=pn+q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列，适用于选择、填空题
前n项和公式法 Sn=An2+Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列，适用于选择、填空题
3.(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列.则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
即时训练
√
解析:选C　若{an}为等差数列，设其公差为d，则Sn=na1+d，=a1+(n-1)·-=a1+(n+1-1)·-=，为常数，所以为等差数列，即甲 乙;若为等差数列，设其公差为t，则=
+(n-1)t=a1+(n-1)t，所以Sn=na1+n(n-1)t，所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=na1
+n(n-1)t-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)t]=a1+2(n-1)t，当n=1时，S1=a1也满足上式，所以an=a1+2(n-1)t(n∈N*)，所以an+1-an=a1+2(n+1-1)t-[a1+2(n-1)t]=2t，为常数，所以{an}为等差数列，即乙 甲.所以甲是乙的充要条件，故选C.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn+1-(n+1)Sn=2(n2+n)，且a1=2.
(1)证明:为等差数列，并求Sn;
快审准解:根据题意，化简得到-=2，所以是等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解;
证明:由nSn+1-(n+1)Sn=2(n2+n)，得-=2，且=2，
所以是首项为2，公差为2的等差数列.所以=2n，解得Sn=2n2.
(2)证明:{an}为等差数列.
快审准解:由(1)知Sn=2n2，利用an与Sn的关系，求得an=4n-2，结合等差数列的定义，即可得证.
证明:由(1)知Sn=2n2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，
又a1=2符合上式，
故an=4n-2，则an+1-an=4(n+1)-2-(4n-2)=4，
所以{an}是首项为2，公差为4的等差数列.
考法(一)　等差数列的性质
[例3]
(1)(2025·南京开学考)已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn.若S3=6，S6=3，则S9=(　　)
A.-18 B.-9
C.9 D.18
解析:由等差数列片段和的性质可知，S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，所以(S9-S6)+S3=2(S6-S3)，则S9=3S6-3S3=3×3-3×6=-9，故选B.
√
题点三　等差数列性质的应用
(2)(2025·深圳模拟)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则=(　　)
A. B.
C. D.
解析:由题意，得==.又==，故===.
√
利用等差数列的性质解题的关注点
(1)等差数列中两项和的转换是最常用的性质，利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分，在Sn=中，Sn与a1+an可以相互转化.
(2)在等差数列中，前奇数项的和与中间项的关系S2n-1=(2n-1)an可以将中间项与前n项和联系起来，相互转化.
(3)在等差数列中，性质=是针对两个等差数列而言的，且等式中分子与分母的项数应该是相等的，=并不一定成立，应用时注意区分.
思维建模
考法(二)　等差数列前n项和的最值问题
[例4]　(2025·赣州模拟)[多选]设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a6>a7，S7=S8>S9，则下列结论正确的是(　　)
A.a8=0
B.d>0
C.S7与S8均为Sn的最大值
D.S8为Sn的最小值
√
√
解析:因为S7=S8，所以a8=S8-S7=0，故A正确;因为{an}是等差数列且a6>a7，所以公差d=a7-a6<0，故B错误;因为S8>S9，所以a9=S9-S8<0，又因为{an}是等差数列且d<0，所以S7与S8均为Sn的最大值，故C正确，D错误.故选AC.
求等差数列前n项和最值的常用方法
(1)邻项变号法:利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值.
(2)二次函数法:利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
(3)不等式组法:借助当Sn最大时，有(n≥2，n∈N*)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn为最大值)，类似可求Sn的最小值.
思维建模
5.(2025·邯郸模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a4+a8+a16=24，则S15= (　　)
A.45 B.90 C.180　 D.240
解析:法一:一般解法　由2a4+a8+a16=24，得(a4+a8)+(a4+a16)=24，整理得2a6+2a10=24，即a6+a10=12，所以S15==(a6+a10)=90.
法二:秒杀法　把等差数列看成常数列，设an=x，则2x+x+x=24，解得x=6，故S15=6×15=90.
即时训练
√
6.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9(单位:L)依次成等差数列，若a1+a2+a3=3.6，a8=0.4，则a1+a2+…+a9= (　　)
A.5.4 B.6.3 C.7.2 D.13.5
解析:由题意得a1+a2+a3=3a2=3.6，故a2=1.2，∴a1+a2+…+a9=
(a1+a9)=(a2+a8)=×(1.2+0.4)=7.2.
√
7.(2025·广州模拟)[多选]已知等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是 (　　)
A.若a3+a7=4，则S9=18
B.若a1+a2=5，a3+a4=9，则a7+a8=17
C.若S15>0，S16<0，则>
D.若S9=S10，则S18>0
√
√
√
解析:S9===18，故A正确;设等差数列的公差为d，则(a3+a4)-(a1+a2)=4d=4，得d=1，则a7+a8=(a1+a2)+12d=5+12=17，故B正确;S15==15a8>0，则a8>0，S16==8(a8+a9)<0，则a8+a9<0，即00，a10=0，所以公差d=<0，则a9=a10-d>0，所以S18>0，故D正确.
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·济宁模拟)已知等差数列{an}的前5项和S5=35，且满足a5=13a1，则等差数列{an}的公差为(　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析:由S5=5a1+10d=35，a5=a1+4d=13a1，解得d=3，a1=1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1= (　　)
A. B.
C.- D.-
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
解析:法一　由S5=S10，得=，所以5a3=5(a3+a8)，所以a8=0，公差d==-，所以a1=a5-4d=1-4×=，故选B.
法二　由S5=S10，得S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，即5a8=0，a8=0，所以解得a1=.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=12，S8=40，则S12= (　　)
A.44 B.56
C.68 D.84
解析:由题意可得S4，S8-S4，S12-S8成等差数列，所以2(S8-S4)=S4+S12-S8，因为S4=12，S8=40，则56=12+S12-40，解得S12=84.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
4.(2024·包头三模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5=4a1，a1>0，当n>1时，Sn=an，则n 等于 (　　)
A.11 B.12
C.20 D.22
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
解析:设等差数列{an}的公差为d，由S5=4a1，得5a1+10d=4a1，所以a1=-10d，由a1>0，得d<0，故an=a1+(n-1)d=(n-11)d，则Sn=
==.因为Sn=an，所以=(n-11)d，化简得n2-23n+22=0，解得n=22或n=1(舍去).
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5.已知正项数列{bn}的前n项和为Tn，b1=1，且bn=+(n≥2)，则b20=(　　)
A.38 B.39
C.20 D.
快审准解:当n≥2时，由bn=Tn-Tn-1=+，因式分解后化简可得数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，从而可得出当n≥2时{bn}的通项公式，最后求出b20即可.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
解析:当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=+，即(-)
(+)=+.由数列{bn}为正项数列可知，-=1，又==1，即数列{}是首项为1，公差为1
的等差数列，即=n，则=n-1，n≥2.当n≥2时，bn=
+=2n-1，所以b20=20×2-1=39，故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
二、多选题
6.下列结论正确的有(　　)
A.若{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，则数列也是等差数列
B.若{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，则数列Sn，S2n，S3n，…也是等差数列
C.若等差数列{an}的项数为2n(n>1)，它的偶数项和为S偶，奇数项和为S奇，则 =
D.若等差数列{an}的项数为2n+1(n>1)，它的偶数项和为S偶，奇数项和为S奇，则 =
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
√
快审准解:对于A，利用等差数列定义判断，对于B，利用等差数列片段和性质判断，对于C、D，利用奇偶项和的性质判断.
解析:对于A，因为=a1+=n+，所以数列是等差数列，故A正确;对于B，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等差数列，故B错误;
对于C，因为S偶==nan+1，S奇==nan，所以 =，故C错误;
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
对于D，因为S偶==nan+1，
S奇==(n+1)an+1，
所以 =，故D正确.故选AD.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
7.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1=10，公差d=-2，则 (　　)
A.S4= S7
B.当n = 6或7时，Sn取得最小值
C.数列{|an|}的前10项和为50
D.当n≤2 023时，{an}与数列{3m+10}(m∈N)共有671项互为相反数
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
√
解析:等差数列{an}中，a1=10，公差d=-2，则an=a1+(n-1)d=-2n+12，S7-S4=a5+a6+a7=3a6=0，故A正确;由A的结论，an=-2n+12，则a6=0，由d =-2，当n<6时，an>0，a6=0，当n>6时，an<0，则当n=5或6时，Sn取得最大值，且其最大值为=30，故B错误;|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…
+a6-a7-a8-a9-a10=S6+2+4+6+8=30+20=50，故C正确;由n≤2 023，则an≥
a2 023=-4 034，则数列{an}中与数列{3m+10}中的项互为相反数的项依次为-16，-22，-28，…，-4 030，可以组成以-16为首项，-6为公差的等差数列，设该数列为{cn}，则cn=-10-6n，若cn=-10-6n=-4 030，解得n=670，即两个数列共有670项互为相反数，故D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
三、填空题
8.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+=-3，S5=10，则a11的值是　　.
解析:设等差数列{an}的公差为d，则由题意可得a1+=-3，5a1+10d=10，解得a1=-4，d=3，则a11=-4+10×3=26.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
26
9.已知数列{an}满足a1=-9，nan+1-(n+1)an=2n(n+1)，n∈N*，设bn=，n∈N*，则bn=　　　　　　　　.
解析:因为nan+1-(n+1)an=2n(n+1)，n∈N*，所以-=2，n∈N*.又因为bn=，n∈N*，所以bn+1-bn=2，n∈N*，所以数列{bn}是等差数列，公差为2，首项b1=a1=-9，所以bn=b1+2(n-1)=2n-11，n∈N*.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
2n-11，n∈N*
四、解答题
10.(10分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a6=0，S12=6.
(1)求数列{an}的通项公式;(4分)
解:设数列{an}的公差为d，
∵S12=6，∴a6+a7=1.又a6=0，∴a7=1，
∴公差d=1，∴a1=-5，∴an=-5+(n-1)=n-6.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.(6分)
解:由(1)知Sn==，当n≤5时，Tn=-Sn=;
当n≥6时，Tn=Sn-2S5=+30=.综上，Tn=
11.(13分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式及前10项的和;(5分)
解:设等差数列{an}的公差为d.
由已知得即解得
故an=2n-1，S10=1+3+5+…+19==100.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
(2)设数列{bn}的通项公式为bn=，问:是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列 若存在，求出t和m的值;若不存在，请说明理由.(8分)
解:由(1)知bn=.要使b1，b2，bm成等差数列，则2b2=b1+bm，
即2×=+，
移项得=-=，整理得m=3+.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.
当t=2时，m=7;当t=3时，m=5;当t=5时，m=4.
故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4课时跟踪检测(四十三)　等差数列
一、单选题
1.(2025·济宁模拟)已知等差数列{an}的前5项和S5=35,且满足a5=13a1,则等差数列{an}的公差为 (　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1= (　　)
A. B.
C.- D.-
3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4=12,S8=40,则S12= (　　)
A.44 B.56
C.68 D.84
4.(2024·包头三模)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=4a1,a1>0,当n>1时,Sn=an,则n等于 (　　)
A.11 B.12
C.20 D.22
5.已知正项数列{bn}的前n项和为Tn,b1=1,且bn=+(n≥2),则b20= (　　)
A.38 B.39
C.20 D.
二、多选题
6.下列结论正确的有 (　　)
A.若{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,则数列也是等差数列
B.若{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,则数列Sn,S2n,S3n,…也是等差数列
C.若等差数列{an}的项数为2n(n>1),它的偶数项和为S偶,奇数项和为S奇,则=
D.若等差数列{an}的项数为2n+1(n>1),它的偶数项和为S偶,奇数项和为S奇,则=
7.已知{an}为等差数列,前n项和为Sn,a1=10,公差d=-2,则 (　　)
A.S4= S7
B.当n = 6或7时,Sn取得最小值
C.数列{|an|}的前10项和为50
D.当n≤2 023时,{an}与数列{3m+10}(m∈N)共有671项互为相反数
三、填空题
8.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,若a1+=-3,S5=10,则a11的值是　　　　.
9.已知数列{an}满足a1=-9,nan+1-(n+1)an=2n(n+1),n∈N*,设bn=,n∈N*,则bn=　　　　　　　　.
四、解答题
10.(10分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a6=0,S12=6.
(1)求数列{an}的通项公式;(4分)
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.(6分)
11.(13分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式及前10项的和;(5分)
(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列 若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.(8分)
课时跟踪检测(四十三)
1.选D　由S5=5a1+10d=35,a5=a1+4d=13a1,解得d=3,a1=1.
2.选B　法一　由S5=S10,得=,所以5a3=5(a3+a8),所以a8=0,公差d==-,所以a1=a5-4d=1-4×=,故选B.
法二　由S5=S10,得S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=0,即5a8=0,a8=0,所以解得a1=.
3.选D　由题意可得S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+S12-S8,因为S4=12,S8=40,则56=12+S12-40,解得S12=84.
4.选D　设等差数列{an}的公差为d,由S5=4a1,得5a1+10d=4a1,所以a1=-10d,由a1>0,得d<0,故an=a1+(n-1)d=(n-11)d,则Sn===.因为Sn=an,所以=(n-11)d,化简得n2-23n+22=0,解得n=22或n=1(舍去).
5.快审准解:当n≥2时,由bn=Tn-Tn-1=+,因式分解后化简可得数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,从而可得出当n≥2时{bn}的通项公式,最后求出b20即可.
选B　当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=+,即(-)(+)=+.由数列{bn}为正项数列可知,-=1,又==1,即数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,即=n,则=n-1,n≥2.当n≥2时,bn=+=2n-1,所以b20=20×2-1=39,故选B.
6.快审准解:对于A,利用等差数列定义判断,对于B,利用等差数列片段和性质判断,对于C、D,利用奇偶项和的性质判断.
选AD　对于A,因为=a1+=n+,所以数列是等差数列,故A正确;对于B,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等差数列,故B错误;对于C,因为S偶==nan+1,S奇==nan,所以=,故C错误;对于D,因为S偶==nan+1,S奇==(n+1)an+1,所以=,故D正确.故选AD.
7.选AC　等差数列{an}中,a1=10,公差d=-2,则an=a1+(n-1)d=-2n+12,S7-S4=a5+a6+a7=3a6=0,故A正确;由A的结论,an=-2n+12,则a6=0,由d =-2,当n<6时,an>0,a6=0,当n>6时,an<0,则当n=5或6时,Sn取得最大值,且其最大值为=30,故B错误;|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…+a6-a7-a8-a9-a10=S6+2+4+6+8=30+20=50,故C正确;由n≤2 023,则an≥a2 023=-4 034,则数列{an}中与数列{3m+10}中的项互为相反数的项依次为-16,-22,-28,…,-4 030,可以组成以-16为首项,-6为公差的等差数列,设该数列为{cn},则cn=-10-6n,若cn=-10-6n=-4 030,解得n=670,即两个数列共有670项互为相反数,故D错误.
8.解析:设等差数列{an}的公差为d,则由题意可得a1+=-3,5a1+10d=10,解得a1=-4,d=3,则a11=-4+10×3=26.
答案:26
9.解析:因为nan+1-(n+1)an=2n(n+1),n∈N*,所以-=2,n∈N*.又因为bn=,n∈N*,所以bn+1-bn=2,n∈N*,所以数列{bn}是等差数列,公差为2,首项b1=a1=-9,所以bn=b1+2(n-1)=2n-11,n∈N*.
答案:2n-11,n∈N*
10.解:(1)设数列{an}的公差为d,
∵S12=6,∴a6+a7=1.又a6=0,∴a7=1,
∴公差d=1,∴a1=-5,
∴an=-5+(n-1)=n-6.
(2)由(1)知Sn==,
当n≤5时,Tn=-Sn=;
当n≥6时,Tn=Sn-2S5=+30=.
综上,Tn=
11.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得即解得
故an=2n-1,S10=1+3+5+…+19==100.
(2)由(1)知bn=.要使b1,b2,bm成等差数列,则2b2=b1+bm,
即2×=+,
移项得=-=,整理得m=3+.
因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.
当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;当t=5时,m=4.
故存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列.

展开更多......

收起↑