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第二十二章 二次函数 练习
一、选择题
1．下列函数属于二次函数的是（　　）．
A． B．
C． D．
2．二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（　　）
A． B． C． D．
4．若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（　　）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．关于x的方程的两根是
C．当时，y随x的增大而减小
D．
7．已知二次函数y=x2-4x+2，在-1≤x≤3的取值范围内，下列关于该函数的说法中正确的是(　　)
A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1
C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2
8．已知点、的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），若四边形为平行四边形，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正的边长为4，点P为边上的任意一点（不与点B、C重合），且，交于点D．设，，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，和都是等腰直角三角形，，，，点A，C，E共线，点F和点G分别是和的中点，，连接，下列结论错误的是（　　）
A．的最小值是2 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的最小值为
二、填空题
11．当　 　时，函数是二次函数．
12．把二次函数，化成的形式是　 　．
13．已知，在二次函数的图象上，比较　 　．（填、或）
14．如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是　 　．
15．已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是　 　．
16．准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时水柱的函数表达式为　 　，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为　 　米．（保留根号）
三、解答题
17．已知抛物线顶点，且过点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的开口方向和y的最值；
18．已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）当时，请根据图象直接写出的取值范围．
19．定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．
（1）若点是“完美点”，求的值；
（2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为，求该“完美函数”的解析式．
20．已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
21．在直角坐标系中，设函数y＝m（x+1）2+4n（m≠0，且m，n为实数）．
（1）求函数图象的对称轴；
（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）已知当x＝0，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若2q＜p+r，求证：m＜0．
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定防守方案？
素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，．
素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表． 守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． …912151821……5…
问题解决
任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式．
任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度．
23．抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴为，点是第一象限抛物线上动点，连接，．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图1，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标；
（3）如图2，设，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得恰好等于，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．D
5．B
6．C
7．D
8．C
9．C
10．C
11．
12．
13．
14．16
15．
解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点，
∴．
解得：；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大，
∴，
∴m的取值范围是．
16．；
解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，
过点B作BG⊥MN于G，如图：
∵抛物线的顶点C的坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
把点的坐标代入得：，
解得：，
∴，
∵，BC⊥y轴，
∴BD与直线平行，且BD与y轴的夹角是45°，
∵，
∴MN与直线平行，，
∴设MN的解析式为，
∵MN与抛物线只有一个交点，
∴方程组只有一组解，
∴方程有两个相等的实数根，
将方程整理得：，
∴，
解得：，
∴MN的解析式为，
令，得，
∴，
∵，
∴（米），
在中，，，
∵，
∴（米），
∴此时水住与遮阳棚的最小距离为米．
17．（1）
（2）开口向上，
18．（1），顶点坐标 为
（2）
19．（1）
（2）或
20．（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；
（2）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）解：∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．
21．（1）解：∵函数y＝m（x+1）2+4n（m≠0，且m，n为实数），
∴函数图象的对称轴为x＝-1；
（2）证明：令y＝0，则0＝m（x+1）2+4n，
即，
∵m，n异号，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）证明：由题可知p＝m+4n，q＝16m+4n，r＝25m+4n，
∵2q-（p+r）＝2（16m+4n）-（m+4n+25m+4n）＝6m＜0，
∴m＜0．
22．任务一：
解：任务1：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴h关于s的函数表达式为；
任务二：
任务2：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下：
在中，当时，，
∵，
∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；
任务三
：当守门员刚好接到球时，则，
把代入中得：，
解得，
∴此时球的飞行时间为，
∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于，
∴守门员的速度要大于等于，
∴守门员的最小速度为．
23．（1）抛物线解析式为，直线的解析式为；
（2）的最小值为，此时
（3）存在，点的横坐标为
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