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2024-2025年人教版七年级下册数学期末专题训练：动点问题压轴题
1．如图，射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．
(1)当时，求证：；
(2)用含的式子表示为________（直接写出答案）；
(3)当点在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们关系，并说明理由．
2．如图1所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点分别为D，C，连接，，．
(1)写出点C，D的坐标；
(2)若F是x轴上的一点，且的面积是面积的2倍，求点F的坐标：
(3)如图2，P是射线上一个动点，连接，．当点P在射线上运动时，请直接写出与，之间的数量关系．
3．如图，已知两条直线被直线所截，分别交于点平分交于点M，且．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；
(2)G是射线上一动点（不与点重合），平分交于点H，过点H作于点N．当点G在点F的右侧时，若，求的度数．
4．已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C．
(1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由；
(2)若，平分，交直线于点D．
①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由；
②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．
(1)填空：点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；
(2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，点运动至点时，点即停止运动，点继续运动至点时点即停止，设运动时间为秒．
①当轴时，求点M，N的坐标；
②以点，，，为顶点围成的四边形面积等于四边形面积的时，求点M，N的坐标．
6．如图，在长方形 中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内．
(1)______，______，点B的坐标为______；
(2)在x轴上有一点P（不与点A重合），的面积为四边形面积的，求点P的坐标；
(3)动点K从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，若移动时间为t秒．在移动过程中，当点K到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间t的值．
7．如图1，，．
(1)如果，求的度数；
(2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数．
8．点E，F分别为射线，上的动点，G为上一点，且满足，平分，与互补．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，若，，求的度数；
(3)如图3，当点G在点F左侧时，P为延长线上一点，平分，交于点M，平分，交于点N，若与互余，直接写出的度数．
9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴、y轴的垂线，交x轴子点C，y轴于点B，动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a，b满足．
(1)直接写出点B和点C的坐标；
(2)用含t的式子表示线段的长，并写出t的取值范围；
(3)已知点，连接，，在（2）条件下是否存在t值，使四边形的面积是三角形的面积的5倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由．
10．已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点．
(1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______；
(2)如图（），点是线段上的一个动点．
①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式；
②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标．
(3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值．
11．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段，连接，．
(1)点的坐标为________；点的坐标为________．
(2)如果．且上有一动点，的最小值为________．
(3)点是直线上一动点，连接，当点在直线上运动（不与点，重合）直接写出，，之间的数量关系．
(4)点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒2个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒3个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后两点距离最短？并写出点，的坐标．
12．如图1，平面直角坐标系中，为长方形，其中点B、D坐标分别为，且a、b满足，点C在x轴的正半轴上，且，连接．
(1)求A、C两点坐标；
(2)若一动点P从A出发，以1个单位/秒的速度沿向D点运动．
①如图2，连接，是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②如图3，当点P运动到上时，点P到x轴、y轴的距离分别为，若在线段上存在无数个点P，使（k为常数），求k的值．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至处，其中点的对应点，且．连接，．
(1)点的坐标为_____，点的坐标为_____；
(2)若点是轴正半轴上一动点，
①当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点的坐标；
②当，，，判断，，之间的数量关系，并说明理由．
14．已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)点为直线下方的动点，连接，使得平分，
①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
15．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且a、b满足等式．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿轴的正半轴方向运动，同时动点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿轴的正半轴方向运动，设运动的时间为秒．当是以为斜边的等腰直角三角形时，求的值；
(3)在第（2）问中的点、运动条件下，当为直角三角形时，作的平分线（参考图2）设的长为m，的面积为，请直接写出用含的式子表示．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积；
(2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴；
(3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标．
17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且b满足．
(1)求点B的坐标．
(2)为y轴上一动点，连接，过点P在线段上方作，且，
①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接，过点B作的平行线交x轴于点，求点的坐标（用含t的式子表示）．
②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系．
18．如图，在平面直角坐标系中有两点，现将点A向上平移7个单位长度，得到对应点C，连接，交x轴于点M，连接．
(1)如图1，点C的坐标是_______；
(2)如图1，与x轴的位置关系是_______；
(3)如图2，P是线段上的一个动点（不与点A，M，C重合），连接，，请你探究三个角之间的数量关系，并说明理由．
19．如图1，已知点，，，过点作直线轴于点，在直线上的动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线以2个单位长度/秒的速度竖直向下运动．
(1)直接写出：运动1秒时，点的坐标为________；运动秒时，点的坐标为________；（用含的式子表示）
(2)若点在第四象限，且三角形的面积，求点的坐标；
(3)如图2，如果将直线沿轴向上平移个单位长度，恰好经过点，求的值．
20．如图，，点C是的边上一点．动点A从点B出发在的边上，沿方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线．
(1)在动点A运动的过程中，__________（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得平分？
(2)假设存在平分，在此情形下，你能猜想和之间有何数量关系？并说明理由；
(3)当时，写出与之间的位置关系，并说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，且满足关系式
(1)请求出、两点的坐标；
(2)点在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若的面积为16，求线段的长．
(3)在（2）的条件下，连接，为轴上一个动点，若的面积等于的面积，请直接写出点的坐标．
22．已知分别是上的动点，也为一动点．
(1)如图1，若，试说明：；
(2)如图2，若，试说明：；
(3)如图3，，移动、，使，若，则___________．
23．如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点．
(1)填空：点的坐标为__________，点的坐标为__________．
(2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，直接写出答案；
(3)如图2，点在轴上，且，连接，，，当的面积等于的面积时，请求出点的坐标．
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第16页，共16页
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《2024-2025年人教版七年级下册数学期末专题训练：动点问题压轴题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；理解角平分线的定义，能灵活应用平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质，可得，再结合角平分线的定义，可得，即可求解；
（2）根据平行线的性质，可得，再结合角平分线的定义，可得，即可求解；
（3）根据平行线的性质，可得，，再结合角平分线的定义，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴，
（3）解：与之间的数量关系是：，
理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
2．(1)，
(2)F的坐标为或
(3)①当点P在线段上时，；②当点P在线段的延长线上时，
【分析】（1）根据点的平移规律即可得，的坐标；
（2）根据角形的面积是三角形面积的2倍，得，即可求出点的坐标；
（3）分两种情况，当点在线段上运动时，当点在线段的延长线上运动时，分别画图根据平行线性质得出答案．
【详解】（1）解：点，的坐标分别为，，两点分别向上平移个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，
，，
，；
（2）解：，，
，
三角形的面积是三角形面积的2倍，
，
点的坐标为，
点的坐标为或；
（3）解：当点在线段上运动时，如图，过作，
点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，，
，
∴，
，，
，
；
当点在线段的延长线上运动时，如图，过作，
点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，，
，
∴，
，，
，
；
综上所述：当点在线段上运动时，；
当点在线段的延长线上运动时，．
【点睛】本题考查了平行线的性质,平行公理的应用，以及点的平移的规律，坐标与图形，对点的位置进行分类讨论是解题的关键．
3．(1)．理由见解析
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键．
（1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可；
（2）根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义推出，根据平行线的性质求，即可解决问题．
【详解】（1）解：．理由如下：
因为平分，
所以．
因为，
所以，
所以；
（2）解：因为，
所以，
因为，
所以，
因为平分，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为，
所以．
4．(1)
(2)①不变，②与之间的数量关系是：或
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）延长到E，由得，进而得，再根据平分得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数；
（2）①延长到E，设，根据角平分线的定义得，，再根据得，进而得，，再根据平分，得，然后根据可得结论；
②（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，根据，得，进而得，，，然后由平分得，则，据此得；（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，再根据，得，进而得，，，，然后根据平分得，则，据此可得．综上所述即可得出与之间的数量关系．
【详解】（1）解：延长到E，如图1所示：
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①点P在点A左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下：
延长到E，如图2所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
②与之间的数量关系是：或，理由如下：
（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，如图3所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，如图4所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
综上所述：与之间的数量关系是：或．
5．(1)，
(2)①点M的坐标为，点N的坐标为；②点M的坐标为，点N的坐标为或点M的坐标为，点N的坐标为
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型，
（1）利用平移变换的性质求解；
（2）①设秒后轴，根据轴时，点的纵坐标相等构建方程求解；
②算出，列方程求出，再求出坐标．
【详解】（1）解：点，的坐标分别为，，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，
，；
（2）解：①设秒后轴，
．
解得：，
．
∴点M的坐标为，点N的坐标为；
②，
，
第一种情况，点M未停止时，
，
解得：．
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
第二种情况，点停止时，点还在运动．
，
解得：．
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
6．(1)4；6；．
(2)或
(3)或
【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，非负性的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
（1）根据非负数的性质可以求得、的值，根据长方形的性质，可以求得点的坐标；
（2）根据（1）所求结合长方形面积计算公式求出长方形的面积，则可求出的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案；
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况点K在上，点K在上，分别求出两种情况下点K移动的时间即可．
【详解】（1）解：∵a、b满足，，
∴
∴，，
解得：，，
∴，
∴，，
由长方形的性质可得，
∴点B的坐标是．
故答案是：4；6；．
（2）解：由（1）可知，，
∴长方形的面积为，，
∵在x轴上有一点P（不与点A重合），的面积为四边形面积的，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点P的横坐标为或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：由题意可得，在移动过程中，当点K到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点K在上时，
∵点K到x轴的距离为5个单位长度，
∴点K的纵坐标的绝对值为5，即点K的纵坐标为5，
∴，
∴点K移动的时间是：（秒），
第二种情况，当点K在上时，
∵点K到x轴的距离为5个单位长度，
∴点K的纵坐标的绝对值为5，即点K的纵坐标为5，
∴，
∴点K运动的路程，
∴点K移动的时间是：秒，
∴在移动过程中，当点K到x轴的距离为5个单位长度时，点K移动的时间是秒或秒，即t的值为或．
7．(1)
(2)不发生变化；，理由见解析
(3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题；
（2）过点作，过作，同理（1）求出；，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出，，由计算即可得到结论；
（3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：过点作，
，
，
，，
又，
，
；
（2）解：不发生变化；，理由为：
过点作，过作，
，
，
，，
又，
，即，
；
，
，
，，
、的角平分线交于点，
，，
，，
；
（3）解：由（2）得，，，
，
，
过点作，
，
，
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
；
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
．
综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，．
8．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，余角与补角的定义，平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用等知识.
（1）由角平分线的定义得出，再证明，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出.
（2）过点G作,交于点H.由平行线的性质得出,，结合已知条件可得出.
（3）设，根据角平分线的定义进一步得出，由平行线的性质得出，根据与互余列出关于的一元一次方程，求解并进一步即可得出答案.
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴，
∵与互补，
∴，
∴.
（2）解:如图,过点G作，交于点H
由(1)同理可证 ,
∴，
∴,，
∵, ,平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）解：平分，
设，
又平分，
，
，
平分，
,
,
∵与互余，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴.
9．(1)，；
(2)当时，，当时，；
(3)存在；，点P的坐标为；，点P的坐标为．
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，算术平方根的非负性，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键；
（1）根据求出a、b，及点A坐标，根据矩形特征即可得到结论；
（2）根据，，可得：，，分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段上时，用用含t的式子表示即可；
（3）当点P在线段上时，当点P在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，，
点，即，，
作x轴、y轴的垂线，交x轴于点C，交y轴于点B，
，；
（2）解：由，，可得：，，
点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，
当点P在线段上时，
，
即当时，，
当点P在线段上时，
，
即；当时，；
（3）解：存在，理由如下：
点，
，，
，
，
当点P在线段上时，
，，
解得：，
，
点P的坐标为；
当点P在线段上时，
解得：；
，
点P的坐标为
综上所述：，点P的坐标为；，点P的坐标为．
10．(1)，，
(2)①；②
(3)的值是定值，定值为
【分析】（）利用非负数的性质可得，，进而可得点的坐标，再根据平移可求出点坐标；
（）①如图（），过点分别作轴于点，轴于点，根据列出关系式即可；②分点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形解答即可；
（）过、分别作，，可得，再根据平行线的性质解答即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵轴于点，
∴，
∵平移线段使点与原点重合，点的对应点为点，
∴点坐标为，即，
故答案为：，，；
（2）解：①如图（），过点分别作轴于点，轴于点，
连接，由题可知，，
轴于点，且点三点的坐标分别为，，，
，，，，
，
又，
，
，
、满足的关系式为；
②当点在点的左侧时，如图，设直线交轴于，连接，，设，
，
，
，
，
解得，
；
当点在点的右侧时，如图，，连接、，
∵，
此时不存在符合题意的点；
综上所述，满足条件的点的坐标为；
（3）解：∵线段是由线段平移得到，
过、分别作，，
则，
设，则，
，
，
同理可证，，
，，
，
∴的值是定值，定值为．
【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，图形的平移，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
11．(1)；；
(2)
(3)或；
(4)秒后两点距离最短，此时点，的坐标分别为、．
【分析】（1）根据平移方式确定点的坐标即可；
（2）由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况求解：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，过点作，利用平行线的性质分别求解即可；
（4）设运动时间为秒，进而表示出点、的坐标，由垂线段最短可知，当时，的距离最短，此时两点横坐标相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段，
因为，点、的坐标为和，
所以，点的坐标为，即；点的坐标为，即，
故答案为：；；
（2）解：因为点、的坐标为、，
，，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
此时，
所以，即的最小值为，
故答案为：；
（3）解：或，理由如下：
①当点在线段上时，如图，过点作，
，
由平移的性质可知，，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作，
，
由平移的性质可知，，
，
，
；
（4）解：设运动时间为秒，
由题意可知，，，
因为点、的坐标分别为、，
所以点、的坐标分别为、，
由垂线段最短可知，当时，的距离最短，此时两点横坐标相同，
，
解得：，即秒后两点距离最短，
此时点，的坐标分别为、．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移，垂线段最短，平行线的判定和性质，平移的性质，一元一次方程的应用，动点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
12．(1)，
(2)①存在，或；②
【分析】本题考查了坐标与图形，涉及算术平方根的非负性，解一元一次方程，三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据算术平方根的平方的非负性求出，继而得到点坐标，再根据长方形的性质求解即可；
（2）①分两种情况讨论，用的代数式表示出图形的面积，再建立方程求解；
②连接，利用面积法得到，化简得到，则当点在线段上的任何位置时，均有成立，那么若在线段上存在无数个点P，使（k为常数）时，．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵为长方形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①存在，理由如下：
四边形的面积为：，
当点在上时，
∵三角形的面积等于四边形面积的，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当点在上时，如图：
∵三角形的面积等于四边形面积的，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述：或；
②连接，
由题意得，，
∴，
∴，
∴当点在线段上的任何位置时，均有成立，
那么若在线段上存在无数个点P，使（k为常数）时，．
13．(1)，
(2)①或；②或．理由见解析
【分析】本题主要查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）根据非负数的性质可得，从而得到点，再由平移的性质可得，即可求解；
（2）①设点的坐标为．根据三角形的面积是三角形的面积的3倍，可得 ，然后分两种情况讨论，即可求解；②分两种情况结合平移的性质解答，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵点，
∴点，
∵，
∴
∵将线段平移至处，
∴，
∴点；
故答案为：
（2）解：①设点的坐标为．
．
三角形的面积是三角形的面积的3倍，，
．
，
分两种情况讨论：
（i）当点在线段上时
，
，
．
点的坐标为；
（ii）当点在线段的延长线上时，
，
．
解得
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或；
②或．理由如下：
分两种情况：
①如图①，当点在线段上时，过点作交于点．
由平移的性质，得，
．
，．
，
．
②如图②，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点．
由平移的性质，得，
．
，
．
综上所述，，，之间的数量关系为或．
14．(1)
(2)①，证明见解析；②或
【分析】（1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）①过点P作，过点M作，设，，可得，，然后根据角的和差关系即可求证；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段延长线上时，过点P作，设，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解．
【详解】（1）解：过点P作．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，证明如下：
设，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
过点P作，过点M作，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，
设，设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得；
当点P在线段延长线上时，
过点P作，则，设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上：的度数为或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据非负性得出的值，进而解答即可；
（2）过作轴于，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）过点作，交延长线于延长线交的延长线于点．根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
；
（2）解：如图1中，过作轴于．
，
，
由题意得，
∵是以斜边的等腰直角三角形，
，，
，
∵轴，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
∴当时，是以为斜边的等腰直角三角形；
（3）解：过点作，交延长线于延长线交的延长线于点．
，
，
，
在和中
，
，
，
在和中
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形综合，二次根式的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
16．(1)，20
(2)秒
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查坐标与图形变化平移，一元一次方程的结几何应用，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质求解，再结合三角形的面积公式列式计算，即可作答．
（2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可；
（3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，
∴，，
，；
∴
连接记与轴的交点为点，如图所示：
∴，
∴四边形的面积为．
（2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同，
即，
解得，
点同时出发，秒后轴；
（3）解：设点的坐标为，
，
当在的左侧时，
，
解得，
此时；
当在到3之间时，
，
解得，
此时；
当在3的右侧时，
，
解得（舍）．
综上所述，点的坐标为或．
17．(1)
(2)①②且
【分析】（1）直接根据绝对值的非负性求出即可；
（2）①先根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定和性质求出，最后根据点P在y轴正半轴上作答即可；②过点M作轴于N，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到，求出，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可．
【详解】（1）∵，且b满足，
∴，
解得：，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴在和中
∴，
∴，
∵且点P在y轴正半轴上，
∴
②如图3，过点M作轴于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴M点在过B点且与y轴正半轴成夹角的直线上运动，
如图4，设直线与x轴交于点D，当时，最小，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，且，
又∵，
∴﹑均是等腰直角三角形，
∴，，
∴且．
【点睛】此题考查的是坐标与图形，绝对值的非负性，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角的有关计算．
18．(1)
(2)平行
(3)或
【分析】本题考查了坐标与图形变换—平移，坐标与图形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质求出点C的坐标即可解答；
（2）根据点C和B的纵坐标相同，即可得到与x轴平行解答即可；
（3）分点P在线段上和点P在线段上两种情况，过点P作，即可得到轴，进而得到，，再根据角的和差解题即可；
【详解】（1）解：点A向上平移7个单位长度点的坐标为，即为，
故答案为：；
（2）∵点，点，
∴与x轴的位置关系是平行，
故答案为：平行；
（3）当点P在上时，过点P作，
∵轴，
∴轴，
∴，，
∴；
当点P在上时，过点P作，
∵轴，
∴轴，
∴，，
∴；
综上所述，或．
19．(1)；
(2)
(3)8
【分析】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形的特点、三角形面积、平移的性质等知识点，综合性较强，熟练掌握三角形面积公式和平移的性质是解题的关键．
（1）每运动 1 秒，点向右移动 1 个单位长度，向下移动 2 个单位长度，由此可解；
（2）连接，由此可解；
（3）由平移的性质和规律即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，每运动 1 秒时，点向右移动 1 个单位长度，向下移动 2 个单位长度．
运动 1 秒时，点的坐标为，即；
运动秒时，点的坐标为，
故答案为：；；
（2）解：如图，由（1）得：点．
∵点在第四象限，
∴，，
解得：．
∵，，
∴，，，
∴．
∵三角形的面积，
∴点在直线的下方且在第四象限．
连接、、，
则有
．
∴．
∴，
解得：．
∴．
（3）解：如图，
∵，，过点作直线轴于点，
∴，，．
∴直线沿轴向上平移个单位长度经过点．
∵，，，，
直线每向上平移1个单位长度时，直线与直线的交点向左平移1个单位长度．
∵点向左平移2个单位长度到达点，
∴将直线沿轴继续向上平移2个单位长度，恰好经过点时．
∴．
20．(1)是
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）根据平行线的性质可得，，则当时，，即平分，由此即可得；
（2）先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，然后根据等量代换即可得；
（3）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得．
【详解】（1）解：当时，是存在某一时刻，使得平分，理由如下：
∵，
∴，，
∴当时，，即平分，
故答案为：是．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)
(2)8
(3)或
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，非负数的性质，熟知点的坐标平移变化规律是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可得到答案；
（2）根据轴得到点C纵坐标为3，据此可得向上平移了4个单位长度，则可得到点D到的距离为4，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）由（2）可得点C的坐标为，则可推出点D到y轴的距离为6，求出，据此根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵轴，
∴点C的纵坐标为3，，
∵将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，
∴向上平移了个单位长度，
∴点D的纵坐标与点A的纵坐标之差为4，
∴点D到的距离为4，
∵的面积为16，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得点C的坐标为，
∴点C与点B的横坐标之差为，
∴点D与点A的横坐标之差为6，
∴点D到y轴的距离为6，
∵，
∴，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解答此题的关键．
（1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证；
（2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论；
（3）由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论．
【详解】（1）证明：过作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）证明：过作，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：过点作，
由（1）可得：，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
23．(1)
(2)或
(3)或，
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键．
（1）根据坐标平移的规律，即可解答；
（2）根据点为射线上一动点，当点在点右边时，当点在点左边时，利用平行线的性质进行解答即可；
（3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答．
【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，
，
故答案为：；
（2）解：当点在点右边时，如图， 过点作
∴
∵平移，
∴
∴
∴
，
∴，
∴
∴
∵
∴
即
当点在点左边时，如图，
同理可得，，
∴
即
综上所述，或
（3）解：∵，，
∴
，
∵
∴，，
∵
∴
①点在点右边，在正半轴时，如图，
可得，
设，则
可得方程，
解得，
；
在负半轴时，点在的下方时，如图，
可得，
设，
可列方程，
解得，
∴
④点在点右边，点在的上方时如图，连接，
可得，
设，
可列方程，
解得，
，
综上，点的坐标为或，．
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