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2024-2025 学年天津市滨海新区汉沽第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，共 60 分。
1.函数 ( ) = 3 + ln2 的导数为( )
A. 3 ln3 B. 3 ln3 + 12 C. 3
+ 12 D. 3

2.在(1 2 )8的二项展开式中，中间一项的二项式系数是( )
A. 32C58 B. C58 C. 16C4 48 D. C8
3.下表是离散型随机变量 的分布列，则常数 的值是( )
3 4 5
1 1
3 2
A. 1 B. 1 C. 1 D. 16 5 3 2
4.用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A. 324 B. 328 C. 360 D. 648
5.若函数 ( ) = ln 在[1,3]上为增函数，则 的取值范围为( )
A. ( ∞, 1] B. [ 3, + ∞) C. [ 1, + ∞) D. ( ∞, 3]
6.某学校召集高二年级 6 个班级的部分家长座谈，高二(1)班有 2 名家长到会，其余 5 个班级各有 1 名家长
到会，会上任选 3 名家长发言，则发言的 3 名家长来自 3 个不同班级的可能情况的种数为( )
A. 15 B. 30 C. 35 D. 42
7.函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则( )
A. = 1 12为函数 ( )的零点 B.函数 ( )在 2 , 2 上单调递减
C. = 2 为函数 ( )的极大值点 D. ( 2)是函数 ( )的最小值

8 1.在 3 2 的展开式中，所有二项式系数和为 64，则该展开式中常数项为( )
A. 90 B. 135 C. 90 D. 135
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9.某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占 60％，次品率为 5％；第二批占 40％，次品率为 4％.
现从仓库中任抽取 1 个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是( )
A. 0.046 B. 0.90 C. 0.952 D. 0.954
10 2.若离散型随机变量 ～ (4, 3 )，则 ( )和 ( )分别为( )
A. 8 16 B. 8 8 C. 8 8 D. 16 83， 9 3，9 9，3 9，3
11 1.若函数 ( ) = ln + 2 2 在区间 2 , 2 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2] B. 18 , + ∞ C. 2,
1
8 D. ( 2, + ∞)
12.若对任意的 1, 2 ∈ ( , + ∞)

，不等式 1
ln 2 2ln 1
> 2 恒成立，则实数 的取值范围是( )1 2
A. 1e , e
3 B. 1 , e3e C. e
3, + ∞ D. e3, + ∞
二、填空题：本大题共 8 小题，共 40 分。
13.在( 2)5的展开式中， 2的系数为 ．
14.某次调研测试中，考生成绩 服从正态分布 (75, 2).若 (60 ≤ ≤ 90) = 35，则从参加这次考试的考生
中任意选取 1 名考生，该考生的成绩高于 90 的概率为 ．
15.如图，现有 4 种不同颜色给图中 5 个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色
方法；(用数字作答)
16.袋子中装有 个白球，3 个黑球，2 个红球，已知若从袋中每次取出 1 球，取出后不放回，在第一次取
1
到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为3，则 的值为 ，若从中任取 3 个球，用 表示取出 3 球
中黑球的个数，则随机变量 的数学期望 ( ) = ．
17.已知函数 ( )的定义域为 ， ( 1) = 2，对任意 ∈ , ′( ) > 2，则 ( ) > 2 + 4 的解集为 ．
18.(1 + )5 = 0 + 1 + 2 2 + 33 + 44 + 55 所有项的系数和为 32，则 = ；则
1 + 3 + 5 = ．
19 1.若对于任意 1, 2 ∈ 2 , 2 ，函数 ( ) = ln 都有 1 2 ≤ ，则 的最小值为 ．
20.已知函数 ( ) = ln e 有零点，则实数 的取值范围是 ．
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三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.已知二项式 2 + 2 8，求：
(1)二项展开式第 3 项的二项式系数；
(2)二项展开式第 8 项的系数．
22.为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热
情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有 10 道题目，随机抽取 3 道让参赛者回答.已知小明只能答
对其中的 6 道，试求：
(1)抽到他能答对题目数 的分布列和期望；
(2)求小明至少答对一道题的概率．
23.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 在点 (0, 2)处的切线斜率为 1，且在 = 1 处取得极值．
(1)求函数 ( )的单调区间和极值；
(2)当 ∈ [ 1,2]时，求函数 ( )的最小值．
24 1+ .已知函数 ( ) = ln ， ( ) = ( > 0)．
(1)若 = 1，求函数 ( )的极值；
(2)设函数 ( ) = ( ) ( )，求函数 ( )的单调区间；
(3)若存在 0 ∈ [1, ]，使得 0 < 0 成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 10
14.15/0.2
15.144
16.2 9； 7
17.( 1, + ∞)．
18.1；16
19.2ln2 1
20. ∞, 1 1e
21.【详解】(1) 2 + 2 8展开式的通项公式为 = C 28 2 +1 8 ( = 0,1,2, , 8)，
故二项展开式第 3 项的二项式系数为C28 = 28．
(2)二项展开式第 8 项为 8 = C7 2 2 7 = 16 148 ，
故二项展开式第 8 项的系数为 16．
22.【详解】(1)由题意可知 = 0,1,2,3，
3 1 2
则 ( = 0) = C4 = 1 C6C4 3
C310 30
， ( = 1) = 3 = 10，c10
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2 1 3
( = 2) = C6C4 = 1 ( = 3) = C6 = 1， ，
C310 2 C
3
10 6
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
1 3 1 1
30 10 2 6
( ) = 0 × 1 3 1 1 3 1 18 930 + 1 × 10 + 2 × 2+ 3 × 6 = 10 + 1 + 2 = 10 = 5．
(2)设小明至少答对一道题为事件
( ) = 1 ( = 0) = 1 1 = 29则 30 30．
29
故小明至少答对一道题的概率为30．
23.【详解】(1)由题意得 (0, 2)在 ( ) = 3 + 2 + + 上，故 = 2，
而 ′( ) = 3 2 + 2 + ，由题意得 ′(0) = = 1，
又 ′(1) = 3 + 2 + = 0，解得 = 1，故 ( ) = 3 2 2；
此时 ′( ) = 3 2 2 1 = (3 + 1)( 1)，
当 ∈ ∞, 13 ∪ (1, + ∞)时，
′( ) > 0；当 ∈ 1 ′3 , 1 时， ( ) < 0，
故 ( )在 ∞, 13 , (1, + ∞)
1
上单调递增，在 3 , 1 上为减函数，
且 ( ) 1 49的极大值为 3 = 27，极小值为 (1) = 3．
(2) 1由(1)得当 ∈ 1, 3 , [1,2]时， ( )
1
单调递增，当 3 , 1 时， ( )单调递减，
而 (1) = 1 1 1 2 = 3, ( 1) = 1 1 + 1 2 = 3，
故当 ∈ [ 1,2]时，函数的最小值为 3．
24.【详解】(1)当 = 1 时， ( ) = ln 1 1，定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1 =
令 ′( ) = 0 得： = 1，当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调
递减，故 = 1 是函数 ( )的极小值点， ( )的极小值为 (1) = 1，无极大值
(2) ( ) = ( ) ( ) = ln + 1+ ( > 0)，定义域为(0, + ∞)
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1+ 2 1 ( + 1)( 1 )
′( ) = 1 = 2 2
=
2
因为 > 0，所以 1 + > 0，令 ′( ) > 0 得： > 1 + ，令 ′( ) < 0 得：0 < < 1 + ，所以 ( )在(1 +
, + ∞)单调递增，在(0,1 + )单调递减．
综上： ( )单调递增区间为(1 + , + ∞)，单调递减区间为(0,1 + )．
(3)存在 0 ∈ [1, ]，使得 0 < 0 成立，等价于存在 0 ∈ [1, ]，使得 0 < 0，即在 ∈ [1, ]上有
( )min < 0
由(2)知， ( )单调递增区间为(1 + , + ∞)，单调递减区间为(0,1 + )，所以
当 1 + ≥ ，即 ≥ 1 时， ( )在 ∈ [1, ]上单调递减，故 ( )在 = 处取得最小值，由 ( )min = ( ) =
2 2 2
+ 1+ +1 +1 +1 < 0 得： > 1，因为 1 > 1，故 > 1．
当 1 < 1 + < ，即 0 < < 1 时，由(2)知： ( )在 ∈ (1,1 + )上单调递减，在 ∈ (1 + , )上单调
递增， ( )在 ∈ [1, ]上的最小值为
令 (1 + ) = 2 + ln(1 + )
因为 0 < ln(1 + ) < 1，所以 0 < ln(1 + ) < ，则 2 + ln(1 + ) > 2，即 (1 + ) > 2，不满足题
意，舍去
2+1
综上所述： 的取值范围为 1 , + ∞
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