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2024-2025学年四川省绵竹中学高二下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.将甲、乙等位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从位男嘉宾，位女嘉宾中随机选出位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中位，如果位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是( )
A. B. C. D.
6.函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为( )
A. B.
C. D.
7.函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，其中是自然对数的底数．，使得不等式成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组样本数据，，，的平均数等于，，，的平均数
B. 样本数据，，，，的标准差大于方差
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
10.若，则下列选项是正确的有( )
A. 二项式系数之和为 B. 展开式中含的系数为
C. D. 展开式中系数的绝对值最大是
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最大值为
D. 当时，方程有且只有两个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二项式的展开式中，二项式系数之和为，则含的项的系数为 ．
13.个停车位连成一排，有辆不同的车要停到车位上，恰有两个空车位相邻的不同方法数为 ．
14.若恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
若在上是增函数，求实数的取值范围．
16.本小题分
某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人．
求该机器人是甲品牌合格品的概率；
求该机器人是合格品的概率；
若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率．
17.本小题分
是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高的应用能力，某公司组织，两部门的名员工参加培训．
此次培训的员工中共有名部门领导参加，恰有人来自部门．从这名部门领导中随机选取人，记表示选取的人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
(ⅰ)求每位员工经过培训合格的概率；
(ⅱ)经过预测，开展培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润公司年利润员工创造的利润其他成本和费用．
18.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
求在上的最大值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.由求导可得，
则，解得．
将代入得，，
令，得或；令，得．
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
因为在上是增函数，所以在上恒成立，
分离参数可得，
当时，是增函数，所以，当时，取最小值为，
所以，则实数的取值范围是．
16.用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则，
所以该机器人是甲品牌合格品的概率．
用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，
由知，该机器人是不合格品的概率，
若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率．
17.的所有可能取值为，，，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”，
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
(ⅱ)记两部门开展培训后合格的人数为，则，
，则万元
即估计两部门的员工参加培训后为公司创造的年利润为万元．
18.函数的定义域为，
当时，，则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值；
，
当时，，所以函数在上单调递减，
此时，；
当时，令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，；
当时，，
所以函数在上单调递增，此时，，
综上所述，．
19.当时，，，，
则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
因为，恒成立，所以恒成立．
令，则，
令，则且不恒为，
即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为；
取，由得当时，，所以．
取，则有，
即，
所以，，，，
将上述式子相加得，得证．

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