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2024-2025学年四川省绵阳外国语学校高二下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.的展开式的二项式系数和为( )
A. B. C. D.
4.设等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，其中为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是( )
A. 或
B. 函数有且仅有一个零点
C. 函数恰有两个极值点
D. 函数在有最小值，无最大值
10.现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，则下列结果正确的是( )
A. 所有可能的方法有种
B. 若同学不去社区甲，不去社区乙，则不同的安排方法有种
C. 若社区甲必须有同学去，则不同的安排方法有种
D. 若有一个社区安排两名同学，还有一个社区安排一名同学，则不同的安排方法有种
11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：，，，，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：，，，，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是( )
A. ；
B. 既是三角形数，又是正方形数；
C. ；
D. 总存在，使得成立；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中含的系数为 用数字作答．
13.首项为的等差数列，当且仅当时取最小值，则公差的取值范围是
14.函数有两个不同零点，则实数的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，．
若是正项等比数列，且，求；
若，求．
16.本小题分
函数
若在处取得极小值，求实数的取值范围，
若在区间上的最大值是，最小值是，求的值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，，且．
求；
求的通项公式；
已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，
试讨论在上的单调性
若，求证：
19.本小题分
数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，我国的技术领先世界．目前某区域市场中智能终端产品的制造只由公司及公司提供技术支持．据市场调研预测，商用初期，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用公司技术的产品中恰有转而采用公司技术，采用公司技术的恰有转而采用公司技术，设第次技术更新后，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
求与的递推关系式
求数列的通项公式
设，求的前项和
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】因为是等比数列，设首项为，公比为，
由，知，，
所以；
得，又所以，
代入得，所以
因为，所以为常数
所以是以为首项，公差为的等差数列，
是以为首项，公差为的等差数列，
故
16.【详解】因为，
令得或，
当时，
所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意；
当时，
在递减，在递增，则为极小值点，符合题意；
所以的取值范围为．
当时，
在递增，在递减，
又，，
，，
，满足，则，
当时，
在递减，在递增，
，，
，满足，则，
综上：．
17.【详解】法：由，得，而，当时，
，
而满足上式，所以．
法：由，得，则，
因此数列是常数列，则，即，
所以．
由得，当时，，
则，而满足上式，
所以的通项公式．
由得，依题意，对任意的都成立，
设函数，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
而，因此当时，，则，
所以的取值范围是．
18.【详解】，因为，
所以：当时，，则在上单调递增；
当时，由得
若，即，当时，，则，
所以在上单调递减；
若，即，当单调递增；
单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当，在上单调递减；
当，在单调递增；在单调递减；
当时，，
要证，即证，
又，且即证，
设，
，
再设，
，且，
，使，即使，
当，，当，，且，
则，即，
，
，即．

19.【详解】由题意可知经过次技术更新后，
则
即，
由题意，可设
所以，
又，所以
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以
又，则，
所以：
两式相减得：

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