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2024-2025学年天津外国语大学附属滨海外国语学校高二下学期5月期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共14小题，共70分。
1.设，若，则( )
A. B. C. D.
2.某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件，而软件的运行需要有相应的手机系统，目前主要的手机系统有种，在该区域使用的主要有种，如果公司要选种系统，那么合适的选择方法种数为( )
A. B. C. D.
3.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是( )
A. 在上单调递减 B. 在处取得极大值
C. 在上单调递减 D. 在处取得最小值
5.函数，则( )
A. B. C. D. 关系不确定
6.学校要求学生从物理历史化学生物政治地理这科中选科参加考试，规定先从物理和历史中任选科，然后从其他科中任选科，不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
7.由数字，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中小于的偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.从标有，，，，，的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
10.五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有 种．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
11.甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响、已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，则此题被正确解答的概率为( )
A. B. C. D.
12.现要从名学生中选名代表班级参加学校接力赛，其中已确定甲跑第棒或第棒，乙和丙人只能跑第、棒，丁不能跑第棒，那么合适的选择方法种数为( )
A. B. C. D.
13.若，则取最大值时的值为( )
A. B. C. D.
14.已知函数，有如下个结论：
当时，在区间上单调递减；
当时，有两个极值点；
当时，有最大值．
其中，正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共8小题，共40分。
15. ．
16.曲线在点处的切线方程为 ．
17.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 ，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．
18.展开式中的系数为 ．
19.已知在一次降雨过程中，某地降雨量单位：与时间单位：的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度某一时刻降雨量的瞬间变化率为 ．
20.设函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
21.现安排甲乙丙丁戊这名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是 ．
不同安排方案的种数为
若每项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
若司机工作不安排，其余三项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
若每项工作至少有人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
22.定义在区间上的函数，若存在正数，使得不等式对任意成立，则称函数在区间满足条件；已知，若函数在区间上满足条件，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.二项式展开式前三项的二项式系数和为．
求的值；
求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和；
求展开式中的常数项．
24.设，曲线在点处的切线与轴相交于点，求函数的极值．
25.已知函数，．
求函数的单调区间；
求在区间上的最小值．
26.已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”．
设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由；
若函数是“逆构造函数”，求实数的取值范围；
已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且．
求证：对任意实数，关于的方程无解．
参考答案
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23.【详解】展开式前三项的二项式系数和为，
，
或舍，
故的值为．
展开式中各项的二项式系数和为．
令，则展开式各项系数和为．
由题意得，展开式通项，
令，得，
所以常数项为．
24.【详解】因为，
所以，则，
又，
所以在点处的切线方程为，
由点在切线上，可得，解得．
所以，则定义域为，
所以，
令，解得或，
所以、、的关系如下表所示：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可知，的单调递增区间为和，的单调递减区间为，
所以，
．

25.【详解】根据题意，函数，其导数．
当时，，则在上为增函数；
当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为．
由可得，当或，．
当，即时，在上单调递增，此时在区间上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，在内单调递增，此时在区间上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，此时在区间上的最小值为．
综上可得：当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为．
26.【详解】由于，
故对有
所以是“逆构造函数”．
由于，
故
因为函数是“逆构造函数”，
所以对任意成立，
对任意成立，
也即对任意成立．
令，，则，
令，可得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在上单调递增．
故，
所以，则
综上，的取值范围是．
设，
则，
故在上单调递增．
一方面，对，有．
所以对任意，有；
另一方面，对，
假设，则根据及零点存在定理，存在使得．
再由条件，
知，矛盾．
所以对任意，有．
假设存在使得，则根据及零点存在定理，存在使得．
从而对任意，有．
但由，知，矛盾．
所以对任意，都有
综合两方面可知，对任意的，都有．
所以对任意，关于的方程一定无解．

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