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2024-2025学年天津市南开区美达菲津英中学高二下学期阶段性质量检测（5月期中）数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，则( )
A. B. C. D.
2.不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.对四组数据进行统计，获得如下散点图，其中样本相关系数最小的是( )
A. B.
C. D.
5.下列说法中正确的有( )
线性回归方程至少经过一个样本点；
可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大则两个变量的相关程度越强；
在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好；
残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问名学生能否做到“光盘”行动，得到如下列联表：
单位：人
性别 “光盘”行动
做不到 能做到
女
男
经计算：．
附：
参考附表，得到的正确结论是( )
A. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”
B. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”
C. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”
D. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到光盘行动与性别无关”
7.一个盒子中有个黑球和个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中取一球，则第二次取出的是黑球的概率是( )
A. B. C. D.
8.若一个四位数的各位数字之和为，则称该四位数为“数”，这样的“数”有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
A. B. C. D.
10.已知函数若有个实数解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知随机变量服从正态分布，若，，则 ．
12.的展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，则展开式中的系数为 ．
13.已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则 ．
14.随机变量满足：若，则 ．
15.某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知的展开式中各项系数之和为．
求的值；
求展开式中的常数项．
17.本小题分
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查．
应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．
用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；
设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
18.本小题分
已知函数，且．
求的解析式；
求曲线在处的切线方程．
19.本小题分
甲乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题在第一轮比赛中，答对题者得分，答错题者得分；在第二轮比赛中，答对题者得分，答错题者得分已知甲乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为，在第二轮比赛中答对题的概率都为且在两轮比赛中答对与否互不影响设定甲乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲乙两人的得分之和为“星队”总得分已知在一次比赛中甲得分的概率为，乙得分的概率为．
求，的值；
求“星队”在一次比赛中的总得分为分的概率．
20.本小题分
已知函数其中．
求函数的单调区间；
若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；
当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记，求函数在区间上的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

16.解：由题意，令得，
解得．
因为二项式的通项为
，
所以展开式中的常数项为
．

17.解：Ⅰ由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，
由于采用分层抽样的方法从中抽取人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人，人，人．
Ⅱ随机变量的所有可能取值为，，，．
．
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望．
设事件为“抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人”；
事件为“抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人”，
则，且与互斥，
由知，，，
故．
所以，事件发生的概率为．

18.解：由，得，
因为，所以，得，
所以，
由，得，
则切线的斜率，
因为，
所以切点坐标为，
所以所求和切线方程为

19.解：设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件．
因为在一次比赛中甲得分的概率为，乙得分的概率为，
所以，即，解得．
由已知得，
，
，
，
设为“星队在一次比赛中的总得分为分，
则，
则
，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为分的概率是．

20.解：
由，得
当变化时，，的变化情况如下表：
极大值 极小值
故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．
解：由知在区间内单调递增，在内单调递减，从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当，解得．
所以，的取值范围是．
解：时，由知在区间内单调递增，在内单调递减，在上单调递增．
当时，，，在上单调递增，在上单调递减因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者由知，当时，，故，所以而在上单调递增，因此所以在上的最小值为．
当时，，且．
下面比较的大小由在，上单调递增，
有
又由，，
从而，
所以综上，函数在区间上的最小值为

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