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2024-2025学年天津市滨海新区大港油田实验中学高二下学期第二次阶段性考试数学试卷
一、单选题：本题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.一个火车站有股岔道，如果每股岔道只能停放列火车，现要停放列不同的火车，不同的停放方法为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知集合，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知随机变量，若，则，分别是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
7.为了研究某班学生的脚长单位厘米和身高单位厘米的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为
A. B. C. D.
8.对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
9.已知随机变量的分布列：
则的值为( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是．
A. 设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均增加个单位；
B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于；
C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
D. 随机变量，，且，，则
11.在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
12.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
13.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
14.已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
15.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
16.设命题，则为
17.函数的极大值点 ．
18.的展开式中第项的二项式系数为，则其展开式中的常数项为 ．
19.中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有 种
20.若函数在上不单调，则实数的取值范围是
21.的展开式中，设各项的系数和为，各项的二项式系数和为，则 ．
22.已知，且，则的最小值为
23.甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是：：，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为
24.已知函数，若函数的零点有两个或三个，则实数的取值范围为 ．
25.已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是 ___
三、解答题：本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
26.一个袋子中装有个黑球，个白球，它们除颜色外完全相同．
现每次从袋子中不放回地随机取出一个球，在第一次取到黑球的条件下，求第二次取到白球的概率；
若从袋子中任取个球，设为取到黑球的个数，求随机变量的分布列和数学期望．
27.甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望；
设这次比赛共有局，设为甲得分的次数，求的分布列和数学期望；
设这次比赛共有局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
28.已知函数，．
若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
讨论函数的单调性；
已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，．
参考答案
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26.解：设“第一次取到黑球”为事件，“第二次取到百球”为事件，
则，，
所以；
设为取到黑球的个数，则的可能取值为，
，，
，，
随机变量的分布列为
．

27.解：在一局比赛中，甲得分的可能取值为，，．
表示甲答错且乙答对的情况根据独立事件的概率乘法公式，可得．
包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错．
甲、乙都答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，
根据互斥事件的概率加法公式，可得．
表示甲答对且乙答错的情况根据独立事件概率乘法公式，可得
的分布列为：
则的数学期望为：．
因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以．
则
，

的分布列为：
则的数学期望为：．
甲最终获胜有以下四种情况：
三局都得分，其概率为
两局得分，一局得分，其概率为
两局得分，一局得分，其概率为
一局得分，两局得分，其概率为
综上可得，甲最终获胜的概率为．

28.解：，
则，
由题意可得，解得；
由可得：，
当时，则恒成立，
令，解得；令，解得；
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
当，即时，则在定义域内恒成立，
故在上单调递增；
当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
由知：若在区间上存在零点，则，解得．
且在上单调递增，在上单调递减，
则，
构建，，则，
令，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
即当时恒成立，
则在上单调递减，则，
故．

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